Задачи синтеза оптимальных систем управления
11
Предмет: Теория Автоматического Управления
Тема:
ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Задачи синтеза оптимальных систем управленияСтатистический синтез заключается в отыскании и реализации оптимальных в определенном смысле свойств (структуры и параметров) системы по заданным статистическим характеристикам входных воздействий.Существуют различные методы статистической оптимизации. Рассмотрим задачу, сформулированную Винером-Колмогоровым.Постановка задачи Винера-Колмогорова.Дано:
x (t) - полезный сигнал;
z (t) - помеха;
Kи (p) - оператор преобразования.Рис. 1Определить: оптимальную передаточную функцию -
K0 (p).Передаточная функция
K0 (p) должна быть устойчивой и физически реализуемой. Если полезный сигнал -
x (t) и помеха -
z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем, в противном случае решение находится в классе нелинейных систем.В зависимости от оператора
Ки (р) рассматриваются следующие задачи:
Ки (р) = 1 - воспроизведения;Ки (р) = 1/р - статистического интегрирования;
Ки (р) = р - статистического дифференцирования;
Ки (р) = - статистического упреждения, экстраполяции, прогнозирования.Таким образом, задача Винера-Колмогорова решается при следующих предположениях:Сигнал и помеха представляют собой Гауссовские процессы.Искомая система должна принадлежать к классу линейных систем.Критерий оптимальности - минимум средней квадратичной ошибки.Решение: Определим выражение для средней квадратичной ошибкиСредняя квадратичная ошибка равнаМы получили некоторый функционал, в котором неизвестно
к (). Необходимо найти такое
к (), при котором ошибка будет минимальной.Это задача минимизации функционала: она решается с использованием вариационного анализа.Пусть ;где: - оптимальная функция веса; - приращение.Подставим это в исходное уравнение для ошибки и получим:;где А - функция, которая не зависит от
а; В - функция, которая зависит от
а; С - функция, которая зависит от
а2.Найдем экстремум по параметру
ак () -оптимально если
а = 0 т.е.
В = 0.Откуда можно получить следующее выражение (1)Это интегральное уравнение Винера-Хопфа, оптимальная передаточная функция должна удовлетворять этому уравнению.Решение уравнение Винера-Хопфа.Строгое решение этого уравнения сложно, решим это уравнение простым путем предложенным Шенноном. Уравнению Винера-Хопфа в частотной области соответствует следующее выражение: (2)Откуда (3)Но это уравнение физически нереализуемо так как
к0 () = 0 при
< 0 т.е.
K0 (j) содержит физически реализуемую и нереализуемую часть.Для выделения физически реализуемой части воспользуемся свойством формирующего фильтра.Используя операцию факторизации суммарную спектральную плотность сигнала и помехи можно представить в виде: (4)Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части (5)где [] + - реализуемая часть; [] - нереализуемая часть.Определим Отбросив нереализуемую часть, можно записать следующее выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости: (6)Это формула Винера-Колмогорова.
Примеры решений задачПример 1. Рассмотрим задачу фильтрации с воспроизведением. Определить оптимальную передаточную функцию -
K0 (p) устойчивой и физически реализуемой системы рис.2).Дано: Полезный сигнал -
X (t) и помеха -
Z (t), представляющие собой Гауссовские случайные процессы.
Kи (p) = 1; Рис. 2Решение: Так как полезный сигнал -
X (t) и помеха -
Z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем.Выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости имеет вид:Так как сигнал и помеха некоррелированы и
Kи (p) = 1, то выражение имеет вид:Определим
Кф (j)Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой частиПри этомЗначения А и В найдем методом неопределенных коэффициентовС учетом полученных выраженийПри этом передаточная функция представляет аппериодическое звеноГдеПример 2. Рассмотрим задачу фильтрации с дифференцированием. Определить оптимальную передаточную функцию -
K0 (p) устойчивой и физически реализуемой системы рис.3.Дано: Полезный сигнал -
X (t) и помеха -
Z (t), представляющие собой Гауссовские случайные процессы.
Kи (p) = р;Рис. 3Решение: Так как полезный сигнал -
X (t) и помеха -
Z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем.Выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости имеет вид:Так как сигнал и помеха некоррелированны то выражение имеет вид:Определим
Кф (j)гдеИспользуя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой частиГдеЗначения А и В найдем методом неопределенных коэффициентовС учетом полученных выраженийПри этом передаточная функция представляет апериодическое звеногде
ЛитератураГуляев В.И., Баженов В.А., Попов С.Л. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем, 1989.
Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения, 1985.
Светлицкий В.А., Стасенко И.В. Сборник задач по теории колебаний, 1973.