Дослідження однокрокових методів розв’язання звичайних диференційних рівнянь
1
Міністерство освіти і науки України
Вінницький національний технічний університет
Інститут АЕКСУ
Кафедра АІВТ
Контрольна робота
з дисципліни:
“Моделювання на ЕОМ”
Дослідження однокрокових методів розв'язання звичайних диференційних рівнянь
Виконав: ст. гр. 1АМ-04_____ Балко О.О.
Перевірив: доцент каф.АІВТ_____ Кабачій В.В.
2007
Вступ
1
Короткі теоретичні відомості
2 Алгоритми методів2.1 Блок-схеми алгоритмів розв'язку даного диференційного рівняння3 Вхідні та вихідні дані14. Аналіз результатів моделювання4.1 Розв'язок диференціального рівняння в Mathcad5. Інструкція користувачуВисновкиЛітератураДодаток А. Лістинг програми
Вступ
На даний момент велика роль в розвитку сучасного світу відводиться підвищенню технічного рівня обчислювальної техніки, пристроїв і засобів автоматизації. Це передбачає розвиток виробництва і широке використання промислових роботів, систем автоматичного управління з використанням мікропроцесорів і мікро-ЕОМ, створення гнучких автоматизованих виробництв. Розв'язок цих задач потребує широкого упровадження в інженерну практику методів обчислювальної математики.
Обчислювальна математика заснована на чисельних методах, придатних до застосування при розрахунках на ЕОМ. Сучасні ЕОМ дозволили дослідникам значно підвищити ефективність математичного моделювання складних задач науки і техніки. Нині методи дослідження проникають практично в усі сфери людської діяльності, а математичні моделі стають засобами пізнання.
Значення математичних моделей неперервно зростає у зв'язку з тенденціями до оптимізації технічних пристроїв і технологічних схем планування експерименту. Реалізація моделей на ЕОМ здійснюється за допомогою різноманітних методів обчислювальної математики, яка неперервно удосконалюється.
В даній роботі розглянуті однокрокові методи розв'язання звичайних диференційних рівнянь(на прикладі диференційного рівняння першого порядку), а саме прямий та зворотній методи Ейлера, та метод Рунге-Кутта.
Розробленна програма дозволяє розв'язати вказане диференційне рівняння методами Ейлера (прямим та зворотним) та Рунге-Кутта, порівняти їх результати та визначити похибки
1.
Короткі теоретичні відомостіНайбільш простим однокроковим методом, який потребує мінімальних затрат обчислювальних ресурсів, але дає змогу обчислювати результат із порівняно низькою точністю, є метод Ейлера.В цьому методі для оцінки наступної точки на кривій використовується лише один лінійний член в формулі Тейлора, (1)де визначається з початкового рівняння.Цей процес можна розповсюдити на наступні кроки: (2)Метод Ейлера є методом першого порядку (3)де , , , - визначається як(4)для всіх і .Метод Ейлера, крім значної похибки зрізання часто буває нестійким (малі локальні похибки призводять до значного збільшення глобальної).Цей метод можна вдосконалити різними способами.Найбільш відомі два з них: виправлений метод Ейлера і модифікований метод Ейлера (в літературі зустрічаються інші назви цих методів, наприклад, модифікований метод Ейлера й удосконалений метод ламаних).Ітераційні формули для цих методів мають вигляд, відповідно: (5)І (6)Де(7)Це методи другого порядку, їх похибка має третій ступінь, що досягається покращенням апроксимації похідної. Ідея полягає у спробі зберегти або оцінити член другого порядку у формулі Тейлора. Однак збільшення точності вимагає додаткових витрат машинного часу на обчислення . Ще більш висока точність може бути досягнута при обчисленні вищих похідних і збереженні більшої кількості членів ряду Тейлора. Такими методами є методи Рунге-Кутта.Принцип на якому побудований модифікований метод Ейлера, можна пояснити, користуючись рядом Тейлора і зберігаючи в ньому член з . Апроксимація другої похідної здійснюється кінцевою різницею (8)Аналогічно обчисленню другої похідної в кінцево-різницевому вигляді можна обчислити більш високі похідні: значення n-ї за значеннями попередньої (n-1)-ї.Метод Рунге-Кутта дає набір формул для обчислення координат внутрішніх точок, які потрібні для реалізації цієї ідеї. Оскільки існує ряд способів знаходження цих точок, то метод Рунге-Кутта об'єднує цілий клас методів для розв'язання диференціальних рівнянь першого порядку.Найбільш розповсюджений класичний метод четвертого порядку точності:(9)Де(10)(11)Метод Ейлера і його модифікації ще називають методами Рунге-Кутта першого і другого порядку. Метод Рунге-Кутта має значно більш високу точність, що дозволяє збільшити крок розв'язання. Його максималу величину визначає допустима похибка. Такий вибір часто здійснюється автоматично і включається як складова частина, вбудована в алгоритм, побудований за методом Рунге-Кутта.Раніше було відзначено, що помилка зрізання при використанні методу Рунге-Кутта n-го порядку . Обчислення верхніх границь для коефіцієнта с являє собою складну задачу, пов'язану з необхідністю оцінки ряду додаткових параметрів. Існує декілька способів для оперативного обчислення с. Найбільшого поширення набув екстраполяційний метод Річардсона (ще його називають методом Рунге), коли послідовно знаходять з кроком h і з кроком , а після цього прирівнюють отримані величини та визначають с з рівняння:(12)що відповідає точному значенню .Отримаємо оціночне співвідношення
:
(13)
2. Алгоритми методівВ курсовій роботі розроблена програма, що розв'язує задане диференційне рівняння першого порядку трьома методами:Ейлера : - прямим- Зворотнім та Рунге-КуттаТакож, програма рахує похибку на кроці та загальну похибку методу.В основі алгоритму лежить використання однокрокових методів, в основі яких лежить знаходження наступної точки на кривій лише за значенням попередньої. Основу методу складає розкладання функції в ряд Тейлора.Програма використовує основні функції Borland C++ 3.1, а саме:Цикли: while ()for()Оператори безумовного переходу: If ()elseswitch()
В основі програми лежить загальний алгоритм розв'язку диференційних рівнянь однокроковими методами.
Алгоритм:
1.за початковим значенням x,y знаходимо наступну точку кривої y=f(x) при кроці h=0.1;
2.знаходимо нові значення x,y;
3.перевряємо чи х належить проміжку, на якому шукаються розв'язки: якщо х належить цьому проміжку, то алгоритм повторюється з пункту 1, де замість початкових значень x,y; використовуються нові(обчислені в пункті 2); якщо ні, то алгоритм припиняє свою роботу ;
4.аналогічно шукаються розв'язки цього ж рівняння , але при кроці h=0.05;
5.Знаходження похибки зводиться до:
· знаходження C за формулою
с=(y1-y2))/(St(h1,p+1)-St(h2,p+1))
де y1,y2-значення в одній тій самій точці розв'язку,
але обчисленні з різним кроком;
St - функція піднесення до степеня, де р+1 степінь, а h1(h2) числа, що підносяться до степеня.
· знаходження глобальної похибки, шляхом додавання похибок знайдених на кожному кроці обчислень;
Для данного завдання, формули знаходження наступних значень за попердніми мають вигляд:
· прямий метод Ейлера:
yn:=yn+h*(yn+0.7*xn+1.2);
· зворотній метод Ейлера:
yn:=yn+h*(0.7*xn+1.2)/(1-h);
метод Рунге-Кутта
yn=yn+((k0+2*k1+2*k2+k3)/6);
2.1 Блок-схеми алгоритмів розв'язку даного диференційного рівняння
3 Вхідні та вихідні дані
Вхідними даними програми є: крок обчислення і задане диференціальне рівняння.
Вихідними даними програми є: графіки, таблиця з рішеннями диференціального рівняння і похибки обчислень.
4. Аналіз результатів моделювання
Розроблена програма дозволяє розв'язувати дане диференційне рівняння трьома методами. З результатів обчислень ми можемо перевірити функціональність програми і точність кожного з методів.
Прямий метод Ейлера:
|
Крок 0.1 | Крок 0.05 | Похибка | |
1.000000 | 1.000000 | 0.000000 | |
1.220000 | 1.227250 | 0.009667 | |
1.469000 | 1.484968 | 0.030958 | |
1.749900 | 1.776278 | 0.066128 | |
2.065890 | 2.104621 | 0.117769 | |
2.420479 | 2.473795 | 0.188856 | |
2.817527 | 2.887984 | 0.282799 | |
3.261280 | 3.351802 | 0.403495 | |
3.756408 | 3.870337 | 0.555401 | |
4.308049 | 4.449197 | 0.743598 | |
|
Даний метод не є точним на що вказує глобальна похибка 0.743598.Зворотній метод Ейлера :
|
Крок 0.1 | Крок 0.05 | Похибка | |
1.000000 | 1.000000 | 0.000000 | |
1.244444 | 1.239515 | 0.006572 | |
1.523827 | 1.512468 | 0.021717 | |
1.842030 | 1.822472 | 0.047795 | |
2.203367 | 2.173528 | 0.087580 | |
2.612630 | 2.570073 | 0.144322 | |
3.075144 | 3.017020 | 0.221821 | |
3.596827 | 3.519814 | 0.324504 | |
4.184252 | 4.084490 | 0.457521 | |
4.844725 | 4.717731 | 0.626846 | |
|
Даний метод є більш точним за прямий метод Ейлера так як його глобальна похибка складає 626846.Метод Рунге-Кутта
|
Крок 0.1 | Крок 0.05 | Похибка | |
1.000000 | 1.000000 | 0.000000 | |
1.229469 | 1.229644 | 0.000026 | |
1.489718 | 1.489644 | 0.000103 | |
1.783814 | 1.783663 | 0.000259 | |
2.115130 | 2.114874 | 0.000524 | |
2.487374 | 2.486981 | 0.000930 | |
2.904625 | 2.904060 | 0.001513 | |
3.371367 | 3.370593 | 0.002312 | |
3.892533 | 3.891508 | 0.003370 | |
4.473544 | 4.472224 | 0.004732 | |
|
Даний метод є найточнішим серед прямого і зворотного методу Ейлера, його глобальна похибка дорівнює 0.004732.Звідси можна зробити висновок; найбільш простим однокроковим методом, потребуючим мінімальних затрат розрахункових ресурсів, і який є дуже точним по відношенню до метода Ейлера є метод Рунге-Кутта. Метод Ейлера, крім значної похибки усічки, часто буває нестійким (малі локальні помилки приводять до значного збільшення глобальної).
4.1. Розв'язок диференціального рівняння в MathcadЗвіримо результати обчислень. Візьмемо найточніший метод Рунге-Кутта та результат отриманий в Mathcad відповідно: 4.472 та 4.603 похибка 0.131Тобто можна зробити висновок що результати обчислень програми і обчислення Mathcad майже співпадають.
5. Інструкція користувачуДля завантаження необхідно переписати з дискети файл kursova.exe і запустити його, для роботи програми потрібен графічний драйвер egavga.bgiПісля завантаження слід натиснути клавішу Enter потрібну кількість разів щоб обрати потрібний методПісля натиснення клавіші Esc відбудеться вихід з програми.
ВисновкиВ результаті виконання даної курсової роботи ми наглядно оцінили кожний з методів розв'язку диференційного рівняння і прийшли до висновку, що найточнішим методом з найменшою глобальною похибкою є метод Рунге-Кутта , а прямий метод Ейлера і зворотній метод Ейлера, є не досить точними. Але всі ці методи є простими однокроковими методами, що потребують мінімальні затрати розрахункових ресурсів. Тому можна сказати, що методи Ейлера краще використовувати для попередніх(приблизних) розрахунків, а щоб отримати точний результат можна застосувати більш точний метод Рунге-Кутта.
ЛітератураВ.Т. Маликов, Р.Н. Кветный . Вычислительные методы и применение ЭВМ . Учебное пособие -- К.: Высш. шк. Главное издательство,1989.-213 с .В.Е. Краскевич, К.Х. Зеленский, В.И. Гречко . Численные методы в инженерных исследованиях. -- К.: Высш. шк. Главное издательство, 1986.--263 с .