Дискретное преобразование Фурье
2
Министерство образования Республики Беларусь
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники
Кафедра Электронных вычислительных средств
Отчет по лабораторной работе
"Дискретное преобразование Фурье"
Выполнила:
Студентка гр. 610701
Лыпка Ю.А.
Проверил: Родионов М. М.
Минск 2009
1. Цель работы
Программирование дискретного преобразования Фурье в пакете Matlab. Изучение свойств ДПФ.
2 Выполнение заданий.
Задание 1-2
Разработайте функцию DFT, вычисляющую ДПФ от входного вектора, не используя функцию Matlab FFT, и рисующую графики действительной и мнимой частей входного вектора и результата преобразования, а также амплитудный спектр.
clear all;
close all;
clc;
n = 0:99;
k=(2*pi/length(n)).*n
s = (n >= 0) & (n <= 9);
figure(1);
subplot(221);
stem(n, real(s),'x');
title('Re(s(n))');
subplot(222);
stem(n, imag((s)),'x');
title('Im(s(n))');
subplot(223);
stem(k, abs(dft(s)),'x');
xlabel('\omega');
title('|S(k)|');
subplot(224);
stem(k, abs(dft(s)),'x');
title('|S(k)| cherez fft');
xlabel('\omega');
Рисунок 1 - Реальная и мнимая часть входного вектора, амплитудный спектр.
Задание 3
Исследуйте свойства симметрии ДПФ при следующих входных сигналах: действительном; мнимом; действительном четном; мнимом четном; действительном нечетном; действительном симметричном четном. Длину входного вектора выберите в соответствии с вариантом 2: N=35.
clear all;
%% 3 zadanie
N = 35;
n = 0:2*pi/N:2*pi;
figure;
subplot(311);
x = sin(n) + cos(n); % действительный входной сигнал
plot(n,x,'x');
title('real signal');
xlabel('n');
ylabel('Re(x)');
subplot(312);
plot(n, real(fft(x)));
title('real part of real signal');
xlabel('n');
ylabel('Re(x)');
subplot(313);
plot(n, imag(fft(x)));
title('image part of real signal')
xlabel('n');
ylabel('Im(x)');
Рисунок 2 - Real, image часть действительного входного сигнала
figure;
subplot(311);
x = j*(sin(n) + cos(n)); % мнимый входной сигнал
plot(n,imag(x),'x');
title('image signal')
xlabel('n');
ylabel('Im(x)');
subplot(312);
plot(n, real(fft(x)));
title('real part of image signal');
xlabel('n');
ylabel('re of Im(x)');
subplot(313);
plot(n, imag(fft(x)));
title('image part of image signal');
xlabel('n');
ylabel('Im of Im(x)');
Рисунок 3 - Real, image часть мнимого входного сигнала
figure;
subplot(311);
x = cos(n); % действительный чётный сигнал
plot(n,x,'x');
title('real even signal');
xlabel('n');
ylabel('Re(s)');
subplot(312);
plot(n, real(fft(x)));
title('real part of real even signal');
xlabel('n');
ylabel('Re of Re(x)');
subplot(313);
plot(n, imag(fft(x)));
title('Image part of real even signal');
xlabel('n');
ylabel('Im of Re(s)');
Рисунок 4 - Real, image часть действительного четного входного сигнала
figure;
subplot(311);
x = j*cos(n); % мнимый чётный сигнал
plot(n,imag(x),'x')
title('image even signal');
xlabel('n');
ylabel(' Even Im(x)');
subplot(312);
plot(n, real(fft(x)));
title('real part of image even signal');
xlabel('n');
ylabel('Re of Even Im(x)');
subplot(313);
plot(n, imag(fft(x)));
title('Image part of image even signal');
xlabel('n');
ylabel(' Im of Even Im(x)');
Рисунок 5 - Real, image часть мнимого четного входного сигнала
figure;
subplot(311);
x = sin(n); % действительный нечётный сигнал
plot(n,x,'x');
title('real odd signal')
xlabel('n');
ylabel('Re odd(x)');
subplot(312);
plot(n, real(fft(x)));
title('real part of real odd signal');
xlabel('n');
ylabel('Re of Re(x)');
subplot(313);
plot(n, imag(fft(x)));
title('image part of real odd signal')
xlabel('n');
ylabel('Im of Re(s)');
Рисунок 6 - Real, image часть мнимого нечетного входного сигнала
figure;
subplot(311);
n = -N/2:N/2;
x = n.^2; % действительный симметричный сигнал
plot(n,x,'x');
title('real symmetrical signal');
xlabel('n');
ylabel('Re(x)');
subplot(312);
plot(n, real(fft(x)));
title('real part of real symmetrical signal');
xlabel('n');
ylabel('Re of Re(x)');
subplot(313);
plot(n, imag(fft(x)));
title('Image part of real symmetrical signal');
xlabel('n');
ylabel('Im Of Re(x)');
Рисунок 7 - Real, image часть действительного симметричного входного сигнала
Задание 4
Разработайте функцию, позволяющую с помощью ДПФ формировать вектор, содержащий целое число периодов заданной функции. Длину выходного вектора, число периодов и функцию выберите в соответствии с вариантом 2: функция = - cos(x), длинна 90, число периодов 4.
function [x] = cosinus(leng, period);
%генерация функции -cos(x) длиной leng и числом периодов period
X = zeros(1,leng);%инициализируем нулями наш Фурье образ
X(period+1) = (leng-1)/2;%
X(leng-period + 1)= (leng-1)/2;
x = ifft(X);
figure;
Period = 4;
LengV = 90;
stem(cosinus(LengV,Period));
title('Function -cos(x)');
Рисунок 8 - Преобразование Фурье функции -cos(x)
Задание 5
Разработайте функцию, вычисляющую ДПФ для двух действительных векторов одной длины с помощью однократного вызова функции Matlab FFT. Продемонстрируйте ее работу.
%% 5 zadanie
N = 40;
n = 0:N-1;
k=(2*pi/length(n)).*n
x1 = cos(k);
x2 = sin(k);
x = real(x1) + j*real(x2);
y = fft(x);
y(N + 1) = y(1);
for k = 1:N+1
re1(k) = 0.5*(real(y(k)) + real(y(N - k + 2)));
im1(k) = 0.5*(imag(y(k)) - imag(y(N - k + 2)));
re2(k) = 0.5*(imag(y(k)) + imag(y(N - k + 2)));
im2(k) = 0.5*(real(y(N - k + 2)) - real(y(k)));
end;
y1 = re1 + j*im1;
y2 = re2 + j*im2;
subplot(221);
stem(0:N, real(y1));
title('real y1');
subplot(222);
stem(0:N, imag(y1));
title('imag y1');
subplot(223);
stem(0:N, real(y2));
title('real y2');
subplot(224);
stem(0:N, imag(y2));
title('imag y2');
Рисунок 9 - ДПФ для двух действительных векторов х1 и х2
Вывод по работе
При выполнении лабораторной работы мы ознакомились с дискретным преобразованием Фурье, его свойствами и реализацией. В ходе работы были исследованы свойства ДПФ при различных входных сигналах, применено обратное преобразование Фурье при генерации периодической функции косинуса, а также показана возможность вычисления ДПФ двух действительных векторов одинаковой длинны , с помощью однократного вызова функции ДПФ.
