рефератырефератырефератырефератырефератырефератырефератырефераты

рефераты, скачать реферат, современные рефераты, реферат на тему, рефераты бесплатно, банк рефератов, реферат культура, виды рефератов, бесплатные рефераты, экономический реферат

"САМЫЙ БОЛЬШОЙ БАНК РЕФЕРАТОВ"

Портал Рефератов

рефераты
рефераты
рефераты

Алгоритмы численного решения задач

9

Решить графоаналитическим методом.

Задача 1

max (X) = - 2x1 + x2 + 5x3

при 4x1 + 2x2 + 5x3 12

6x1 - 3x2 + 4x3 = 18

3x1 + 3x2 - 2x3 16

Х ? 0

Здесь число n = 3 и число m = 3.

Выразим из ограничений и х3:

? 0

Подставим его в целевую функцию

max (X) =

Получим новые ограничения:

х ? 0

Получили задачу линейного программирования в основном виде для n = 2

Вычисляем градиент :

= =

Рисунок 1

Прямые a, c, d и e пересекаются и образуют четырехугольник ACDE. Определим max ц (Х), который удовлетворяет условию Х>=0:

Это точка D (0,7; 4,7; 0).

Функция ц (Х*) в точке D:

ц (Х*) = 38,3

Найти экстремумы методом множителей Лагранжа

Задача 2

extr ц (X) = 4x1 - x22 - 12

при x12 + x22 = 25

Составим функцию Лагранжа:

L (X,л) = 4x1 - x22 - 12 + л (x12 + x22 - 25)

h (X) = x12 + x22 - 25 = 0 - функция ограничения.

Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их нулю.

Решим данную систему уравнений:

2x2 (л - 1) = 0

Предположим, что x2 ? 0, тогда л = 1 подставим в первое уравнение системы.

4 - 2x1 = 0

2x1 = - 4

x1 = 2

Подставим x1 в третье уравнение системы.

4 +x22 - 25 = 0

x22 - 21 = 0

x22 = 21

x2 = ±4,5826

Параболоид вращения функции h (x).

В двухмерной проекции график выглядит так:

Рисунок 2.

На рис.2 видно, что в точках А1 и А2 функция ц (X) = h (X). В этих точках функция ц (X) равна минимальному значению.

(X*,л*)

N

X1*

X2*

л*

ц (X*)

Примечание

1

2

4,5826

1

-24,25

Min

2

2

-4,5826

1

-24,25

Min

Решить обобщенным методом множителей Лагранжа или на основе условий Куна-Таккера.

Задача 3

extr ц (X) = 9 (x1 - 5) 2 + 4 (x2 - 6) 2 =

при 3x1 + 2x2 >= 12

x1 - x2 <= 6

Решим задачу на основе условий Куна-Таккера.

Составим функцию Лагранжа.

L (X,л) = + л1 (3x1 + 2x2 - 12) + л2 (x1 - x2 - 6) =

Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их нулю.

Решим систему уравнений.

1) Предположим, что л2 ? 0, тогда из уравнения (d) получим

x2 = х1 - 6

Пусть л1 = 0 и x1 ? 0, тогда из уравнения (а) получим

18x1 - 90 - л2 = 0, л2 = 18х1 - 90

Пусть x2 ? 0, тогда из уравнения (b) получим

8x2 - 48 - л2 = 0

Подставив в уравнение выражения для x2 и л2, получим

x1 = 4

x2 = - 2

x1* = 4; x2* = - 2; ц (Х) * = 265

Трехмерный график целевой функции для данной задачи

Двухмерная проекция

Рисунок 3

На рис.3 видно, что в точке А функция b (X) = a (X), которые находятся в параболоиде вращения целевой функции.

В этой точке функция ц (X) равна максимальному значению.

2) Предположим, что л2 = 0 и x2 ? 0, тогда из уравнения (b) получим

8x2 - 48 + 2л1 = 0

x2 =

x2 = 6 -

Предположим, что x1 ? 0, тогда из уравнения (а) выразим x1.

18х1 - 90 + 3л1 = 0

18 = 90 - 3л1

х1 =

х1 = 5 -

Подставим выражения для x1 и x2 в уравнение (с) системы.

а) = 0, x1 = 5; x2 = 6

б) = 15

x1 = 2,5; x2 = 2,25

Подставив корни x1 = 5; x2 = 6 в целевую функцию получим ц (Х) = 0, а корни x1 = 2,5; x2 = 2,25 - получим ц (Х) = 112,49

Таким образом:

x1* = 5; x2* = 6; ц* (Х) = 0

На рис.4 видно, что в точке В функция ц (X) = a (X). В этой точке функция ц (X) равна минимальному значению.

Рисунок 4

X*

N

X1*

X2*

ц (X*)

Примечание

1

5

6

0

Min

2

4

-2

265

Max

Получить выражение вектор-функции и матрицы Якоби системы и составить алгоритм численного решения задачи на основе условий Куна-Таккера.

Задача 4

max ц (X) = - x12 - x22 +2х2

при x1 + x2 >= 18

x1 + 2 x2 >= 14

Х>=0

Найдем выражение вектор-функции системы.

Составим функцию Лагранжа.

L (X,л) = - x12 - x22 + 2х2 + л1 (x1 + x2 - 18) + л2 (x1 + 2x2 - 14)

Вектор-функция системы:

Составим матрицу Якоби.

Составим алгоритм численного решения задачи:

Рисунок 5.

рефераты
РЕФЕРАТЫ © 2010