|
Вычисления по теории вероятностей
Задача 1. В партии из 60 изделий 10 - бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными: а) ровно 2 изделия; б) не более 2 изделий. Решение. А) Используя классическое определение вероятности: Р(А) - вероятность события А, где А - событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными ровно 2 изделия; m - кол-во благоприятных исходов события А; n - количество всех возможных исходов; Б) Р(А') - вероятность события А', где А' - событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными не более 2 изделий, ; - кол-во благоприятных исходов события ; - кол-во благоприятных исходов события ; - кол-во благоприятных исходов события ; n' - количество всех возможных исходов; Ответ: вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными: а) ровно 2 изделия равна 16%. б) не более 2 изделий равна 97%. Задача 2. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй - 2%, третий - 3%. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата в цех поступило соответственно 20, 10, 20 деталей. Решение. По формуле полной вероятности: где А - взятие хорошей детали, - взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, - вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата, - вероятность взятия хорошей детали из первого (второго / третьего) автомата, - вероятность попадания на сборку небракованной детали. ; (т. к. ) = 1% = 0.01) ; ; Ответ: Вероятность попадания на сборку небракованной детали равна 98%. Задача 3. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй - 2%, третий - 3%. С каждого автомата поступило на сборку соответственно 20, 10, 20 деталей. Взятая на сборку деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата. Решение. По формуле полной вероятности: где А' - взятие бракованной детали, - взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, - вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата, - вероятность взятия бракованной детали из первого (второго / третьего) автомата, - вероятность попадания на сборку бракованной детали. ; (согласно условию) ; ; Согласно формуле Байеса: Ответ: Вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата равна 20%. Задача 4. Рабочий обслуживает 18 станков. Вероятность выхода станка из строя за смену равна . Какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков? Каково наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену? Решение. Используя формулу Бернулли, вычислим, какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков: где n - кол-во станков, m - кол-во станков, которые придётся чинить, p - вероятность выхода станка из строя за смену, q =1-р - вероятность, не выхождения станка из строя за смену. . Ответ: Вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков равна 15%. Наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену равно 3. Задача 5. В двух магазинах, продающих товары одного вида, товарооборот (в тыс. грн.) за 6 месяцев представлен в таблице. Можно ли считать, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором? Принять = 0,05. Все промежуточные вычисления поместить в таблице. |
Магазин №1 | Магазин №2 | | 20,35 | 20,01 | | 20,60 | 23,55 | | 32,94 | 25,36 | | 37,56 | 30,68 | | 40,01 | 35,34 | | 25,45 | 23,20 | | |
Пусть, a1 - товарооборот в 1 магазине, a2 - товарооборот во 2 магазине. Формулируем гипотезы Н0 и Н1: Н0: a1 = a2 Н1: a1 ? a2 |
| xi | xi-a1 | (xi-a1)2 | yi | yi-a2 | (yi-a2)2 | | | 20,35 | -9,135 | 83,44823 | 20,01 | -6,35 | 40,32 | | | 20,6 | -8,885 | 78,94323 | 23,55 | -2,81 | 7,896 | | | 32,94 | 3,455 | 11,93703 | 25,36 | -1 | 1 | | | 37,56 | 8,075 | 65,20563 | 30,68 | | 18,66 | | | 40,01 | 10,525 | 110,7756 | 35,34 | 4,32 | 80,64 | | | 25,45 | -4,035 | 16,28123 | 23,20 | 8,98 | 9,98 | | ? | 176,91 | | 366,591 | 158,14 | -3,16 | 158,496 | | |
a1 = = = 29,485, a2 = = 1 = = 73.32 2 = = n 1 = n 2 = n =6 Вычислю выборочное значение статистики: ZВ = * = Пусть = 0,05. Определяем необходимый квантиль распределения Стьюдента: (n1+n2-2)= 2.228. Следовательно, так как ZВ=0,74 < =2,228, то мы не станем отвергать гипотезу Н0, потому что это значит, что нет вероятности того, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором. Задача 6. По данному статистическому ряду: Построить гистограмму частот. Сформулировать гипотезу о виде распределения. Найти оценки параметров распределения. На уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о распределении случайной величины. Все промежуточные вычисления помещать в соответствующие таблицы. |
Интервал | Частота случайной величины | | 1 - 2 | 5 | | 2 - 3 | 8 | | 3 - 4 | 19 | | 4 - 5 | 42 | | 5 - 6 | 68 | | 6 -7 | 44 | | 7 - 8 | 21 | | 8 - 9 | 9 | | 9 - 10 | 4 | | |
1. Гистограмма частот: 2. Предположим, что моя выборка статистического ряда имеет нормальное распределение. 3. Для оценки параметров распределения произведем предварительные расчеты, занесем их в таблицу: |
№ | Интервалы | Частота, mi | Середина Интервала, xi | xi*mi | xi2*mi | | 1 | 1-2 | 5 | 4,5 | 7,5 | 112,5 | | 2 | 2-3 | 8 | 2,5 | 20 | 50 | | 3 | 3-4 | 19 | 3,5 | 66,5 | 232,75 | | 4 | 4-5 | 42 | 4,5 | 189 | 350,5 | | 5 | 5-6 | 68 | 5,5 | 374 | 2057 | | 6 | 6-7 | 44 | 6,5 | 286 | 1859 | | 7 | 7-8 | 21 | 7,5 | 157,5 | 1181,25 | | 8 | 8-9 | 9 | 8,5 | 76,5 | 650,25 | | 9 | 9-10 | 4 | 9,5 | 38 | 361 | | ? | | n=220 | | 1215 | 7354,25 | | |
Найдем оценки параметров распределения: = = 5,523 2= 2 = 2,925 = = 1,71 4. все вычисления для проверки гипотезы о распределении занесем в таблицы. |
№ | Интервалы | Частоты, mi | t1 | t2 | Ф(t1) | Ф(t2) | pi | | 1 | -? - 2 | 5 | -? | -2,06 | 0 | 0,0197 | 0,0197 | | 2 | 2-3 | 8 | -2,06 | -1,47 | 0,0197 | 0,0708 | 0,0511 | | 3 | 3-4 | 19 | -1,47 | -0,89 | 0,0708 | 0,1867 | 0,1159 | | 4 | 4-5 | 42 | -0,89 | -0,31 | 0,1867 | 0,3783 | 0,1916 | | 5 | 5-6 | 68 | -0,31 | 0,28 | 0,3783 | 0,6103 | 0,232 | | 6 | 6-7 | 44 | 0,28 | 0,86 | 0,6103 | 0,8051 | 0,1948 | | 7 | 7-8 | 21 | 0,86 | 1,45 | 0,8051 | 0,9265 | 0,1214 | | 8 | 8-9 | 9 | 1,45 | 2,03 | 0,9265 | 0,9788 | 0,0523 | | 9 | 9-? | 4 | 2,03 | ? | 0,9788 | 1 | 0,0212 | | |
Где: t1= , t2 = , ai, bi - границы интервала, Ф(t) - Функция распределения нормального закона. pi = Ф(t2) - Ф(t1) Так как проверка гипотезы о распределении производится по критерию , составляем еще одну таблицу для вычислений: |
№ интервала | pi | mi | n* pi | | | 1 2 | 0,0708 | 13 | 15,57 | 0,4242 | | 3 | 0,1159 | 19 | 25,5 | 1,6569 | | 4 | 0,1916 | 42 | 42,15 | 0,0005 | | 5 | 0,232 | 68 | 51,04 | 5,6336 | | 6 | 0,1948 | 44 | 42,86 | 0,0303 | | 7 | 0,1214 | 21 | 26,71 | 1,2207 | | 8 9 | 0,0735 | 13 | 16,17 | 0,6214 | | ? | | | | 9,5876 | | |
Согласно расчетам, = = 9,5876 Выбираем уровень значимости = 0,05 и вычисляем 1-? (k-r-1), где k - число подмножеств, r - число параметров в распределении. 0,95(7-2-1) = 0,95(4) = 9,49. Сравнив полученное значение с расчетным можно сделать вывод, что так как расчетное значение больше, следовательно, гипотеза о нормальном распределении выборки статистического ряда не принимается. Задача 7. По данным выборки вычислить: а) выборочное значение коэффициента корреляции; б) на уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции. Решение Формулируем гипотезы Н0 и Н1: Н0: a1 = a2 Н1: a1 ? a2 |
| xi | xi-a1 | (xi-a1)2 | yi | yi-a2 | (yi-а2)2 | xi*yi | | | 4,40 | -0,476 | 0,2266 | 3,27 | -0,47 | 0,2209 | 14,388 | | | 5,08 | 0,204 | 0,0416 | 4,15 | 0,41 | 0,1681 | 21,082 | | | 4,01 | -0,866 | 0,7499 | 2,95 | -0,79 | 0,6241 | 11,829 | | | 3,61 | -1,266 | 1,6027 | 1,96 | -1,78 | 3,1684 | 7,075 | | | 6,49 | 1,614 | 2,605 | 5,78 | 2,04 | 4,1616 | 37,512 | | | 4,23 | -0,646 | 0,4173 | 3,06 | -0,68 | 0,4824 | 12,944 | | | 5,79 | 0,914 | 0,8354 | 4,45 | 0,71 | 0,5041 | 25,765 | | | 5,52 | 0,644 | 0,4147 | 4,23 | 0,49 | 0,2401 | 23,349 | | | 4,68 | -0,196 | 0,0384 | 3,54 | -0,2 | 0,04 | 16,567 | | | 4,95 | 0,074 | 0,0055 | 4,01 | 0,27 | 0,0729 | 19,849 | | ? | 48,76 | - | 6,9371 | 37,4 | - | 9,6626 | 190,36 | | |
a1 = = 4,876, a2 = = 3,74 1 = = 0,7708 2 = = 1,0736 n 1 = n 2 = n =6 а) Вычислим выборочное значение коэффициента корреляции = б) Проверим на уровне значимости =0,05 гипотезу о значимости коэффициента корреляции: (n-2)=2,306 Вычислим величину = получаем, что >0.6319 т.е. попадает в критическую область, следовательно, коэффициент корреляции можно считать значимым. Задача 8. По данным выборки найти: а) точечные оценки математического ожидания и дисперсии; б) с доверительной вероятностью р =1- найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии. |
? | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 | x10 | | 0.01 | 3,85 | 8,87 | 21,26 | 6,72 | 0,29 | 15,48 | 7,48 | 0,33 | 0,34 | 1,37 | | |
Решение а) Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Промежуточные значения поместим в таблицу. |
xi | mi | mixi | mixi2 | | 3,85 | 1 | 3,85 | 14,822 | | 8,87 | 1 | 8,87 | 78,677 | | 21,26 | 1 | 21,26 | 451,987 | | 6,72 | 1 | 6,72 | 45,158 | | 0,29 | 1 | 0,29 | 0,0840 | | 15,48 | 1 | 15,48 | 239,630 | | 7,48 | 1 | 7,48 | 55,950 | | 0,33 | 1 | 0,33 | 0,109 | | 0,34 | 1 | 0,34 | 0,115 | | 1,37 | 1 | 1,37 | 1,877 | | ?65,99 | 10 | 65,99 | 888,409 | | |
Математическое ожидание: m== Дисперсия: ?2== б) с доверительной вероятностью р =1- найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, считая, что выборка получена из нормальной совокупности. Определим из таблиц значение , где ; Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид: Подставив полученные значения, найдем доверительный интервал для математического ожидания: 0,271<M<12.927 Доверительный интервал для дисперсии имеет вид: Доверительный интервал для дисперсии равен: 23,192<D<240,79.
|
|
|