|
Вычисление вероятности
24 1. Задача 1. В урне четыре белых и пять черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что один из этих шаров - белый, а другой - черный. Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что один из этих шаров - белый, а другой - черный. Вероятность события А найдем используя условную вероятность. = 0,278 - вероятность того, что первый шар белый. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности. - вероятность того, что второй шар чнрный. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности. Ответ: 0,278. 2. Задача 2. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход. Решение. Пусть событие состоит в том, что сигнал пройдет с входа на выход. , где - событие, состоящие в том, что i-ый элемент находится в рабочем состоянии. Т.к. события - независимые совместные события. Ответ: 0,994. 3. Задача 3. На трех автоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что 30% продукции производится первым станком, 25% - вторым и 45% - третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99 , на втором - 0,988 и на третьем - 0,98. Изготовленные в течение дня на трех станках нерассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту. Решение. Событие А состоит в том, что что взятая наугад деталь не соответствует стандарту. Гипотезы Н1, Н2, Н3. - деталь изготовлена на первом станке; - деталь изготовлена на втором станке; - деталь изготовлена на третьем станке; Гипотезы Нi образуют полную группу событий. Воспользуемся формулой полной вероятности: - полная вероятность. =; =; =; =; =0,45; =; Тогда . = 0,015. Ответ: 0,0,015. 4. Задача 4. Игральную кость подбрасывают 12 раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений 6? Решение. Найдем - наиболее вероятное число выпадений 6. Наивероятнейшее число определяют из двойного неравенства: ; - вероятность появления события в каждом из независимых испытаний. - вероятность того, что при одном испытании выпадет 6 (по формуле классической вероятности). . - по условию. ; Так как - целое число, то наивероятнейшее число звонков равно . Ответ: 2. 5. Задача 5. Дискретная случайная величина может принимать одно из пяти фиксированных значений , , , , с вероятностями , , , , соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины . Рассчитать и построить график функции распределения. Решение. Таблица 1. Найдем числовые характеристики данного распределения. Математическое ожидание = 4,25 Дисперсию определим по формуле: . = 24,55. Тогда Найдем функцию распределения случайной величины. . Построим график этой функции 6. Задача 6. Случайная величина задана плотностью вероятности Определить константу , математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины , а также вероятность ее попадания в интервал [0;] Решение. Коэффициент найдем используя свойство функции плотности распределения: . Так как функция плотности распределения принимает отличные от нуля значения на интервале , то . Вычислим определенный интеграл: . Следовательно, , . Математическое ожидание найдем по формуле: . Т.к. плотность распределения принимает отличное от нуля значения только на отрезке [0, ], то = = = = . Вычислили интеграл, используя формулу интегрирования по частям. Найдем дисперсию , т.к. плотность распределения принимает отличное от нуля значения только на отрезке [0, ], то . =. Найдем . Воспользуемся формулой =. = Найдем функцию распределения СВ Х. При . При . При . 7. Задача 7. Случайная величина распределена равномерно на интервале . Построить график случайной величины и определить плотность вероятности . Решение. Найдем плотность распределения случайной величины . Случайная величина распределена равномерно на интервале , поэтому на этом интервале , вне этого интервала . Построим график функции на интервале и в зависимости от числа обратных функций выделим следующие интервалы: ; ; Так как на интервалах и обратная функция не существует, то для этих интервалов . На интервале одна обратная функция , следовательно На интервале две обратных функции и , следовательно . Найдем производные обратных функций ; . Учитывая, что , получим ; . В результате получим: . Таким образом, плотность вероятности величины равна: 8. Задача 8. Двумерный случайный вектор равномерно распределен внутри области В. Двумерная плотность вероятности о любой точке этой области В: Вычислить коэффициент корреляции между величинами и . Решение. Построим область Найдем значение константы . Воспользуемся свойством функции Поскольку принимает отличные от нуля значения внутри области , то получим = . Следовательно, . Значит, Значение коэффициента корреляции вычислим по формуле Корреляционный момент вычислим по формуле . . . . Определим корреляционный момент Ответ: 9. Задача 9. По выборке одномерной случайной величины 1. Получить вариационный ряд; 2. Построить гистограмму равноинтервальным способом; 3. Построить гистограмму равновероятностным способом; 4. Вычислить оценки математического ожидания и дисперсии; 5. Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия и критерия Колмогорова () |
0,22 | 0,42 | 0,07 | 1,69 | 0,42 | 0,94 | 1,81 | 2,24 | 0,74 | 0,75 | | 0,80 | 2,59 | 0,55 | 0,43 | 0,51 | 0,38 | 1,41 | 0,73 | 0,03 | 0,96 | | 0,63 | 0,17 | 0,10 | 0,09 | 1,09 | 1,52 | 2,97 | 0,91 | 1,53 | 0,55 | | 1,23 | 1,27 | 0,75 | 1,55 | 0,88 | 0,57 | 0,31 | 1,04 | 1,71 | 1,39 | | 1,16 | 0,86 | 1,13 | 0,82 | 2,02 | 1,17 | 0,25 | 0,64 | 0,07 | 0,11 | | 1,99 | 0,71 | 2,17 | 0,23 | 2,68 | 1,82 | 1,19 | 0,05 | 1,23 | 4,70 | | 0,37 | 0,40 | 1,31 | 0,20 | 0,50 | 2,48 | 0,32 | 1,41 | 0,23 | 1,27 | | 0,33 | 1,48 | 0,52 | 0,68 | 0,30 | 0,40 | 0,24 | 1,52 | 0,17 | 0,17 | | 0,83 | 1,20 | 0,65 | 0,05 | 1,45 | 0,23 | 0,37 | 0,09 | 3,66 | 0,28 | | 0,77 | 0,11 | 1,95 | 0,10 | 0,95 | 0,65 | 4,06 | 3,16 | 0,51 | 2,02 | | |
Решение. Найдем размах вариации . 0,03; 4,70; 4,70-0,03 = 4,67. Вариационный ряд распределения имеет вид: |
| | | | | 0,03 | 1 | 0,86 | 1 | | 0,05 | 2 | 0,88 | 1 | | 0,07 | 2 | 0,91 | 1 | | 0,09 | 2 | 0,94 | 1 | | 0,1 | 2 | 0,95 | 1 | | 0,11 | 2 | 0,96 | 1 | | 0,17 | 3 | 1,04 | 1 | | 0,2 | 1 | 1,09 | 1 | | 0,22 | 1 | 1,13 | 1 | | 0,23 | 3 | 1,16 | 1 | | 0,24 | 1 | 1,17 | 1 | | 0,25 | 1 | 1,19 | 1 | | 0,28 | 1 | 1,2 | 1 | | 0,3 | 1 | 1,23 | 2 | | 0,31 | 1 | 1,27 | 2 | | 0,32 | 1 | 1,31 | 1 | | 0,33 | 1 | 1,39 | 1 | | 0,37 | 2 | 1,41 | 2 | | 0,38 | 1 | 1,45 | 1 | | 0,4 | 2 | 1,48 | 1 | | 0,42 | 2 | 1,52 | 2 | | 0,43 | 1 | 1,53 | 1 | | 0,5 | 1 | 1,55 | 1 | | 0,51 | 2 | 1,69 | 1 | | 0,52 | 1 | 1,71 | 1 | | 0,55 | 2 | 1,81 | 1 | | 0,57 | 1 | 1,82 | 1 | | 0,63 | 1 | 1,95 | 1 | | 0,64 | 1 | 1,99 | 1 | | 0,65 | 2 | 2,02 | 2 | | 0,68 | 1 | 2,17 | 1 | | 0,71 | 1 | 2,24 | 1 | | 0,73 | 1 | 2,48 | 1 | | 0,74 | 1 | 2,59 | 1 | | 0,75 | 2 | 2,68 | 1 | | 0,77 | 1 | 2,97 | 1 | | 0,8 | 1 | 3,16 | 1 | | 0,82 | 1 | 3,66 | 1 | | 0,83 | 1 | 4,06 | 1 | | | | 4,7 | 1 | | |
Построим гистограмму равноинтервальным способом. Число интервалов рассчитаем по формуле . Длина частичного интервала вычисляется по формуле . Полученные значения запишем в таблицу |
№ | | | | | | | | 1 | 0,03 | 0,497 | 0,467 | 34 | 0,34 | 0,73 | | 2 | 0,497 | 0,964 | 0,467 | 27 | 0,27 | 0,58 | | 3 | 0,964 | 1,431 | 0,467 | 15 | 0,15 | 0,32 | | 4 | 1,431 | 1,898 | 0,467 | 10 | 0,1 | 0,21 | | 5 | 1,898 | 2,365 | 0,467 | 6 | 0,06 | 0,13 | | 6 | 2,365 | 2,832 | 0,467 | 3 | 0,03 | 0,06 | | 7 | 2,832 | 3,299 | 0,467 | 2 | 0,02 | 0,04 | | 8 | 3,299 | 3,766 | 0,467 | 1 | 0,01 | 0,02 | | 9 | 3,766 | 4,233 | 0,467 | 1 | 0,01 | 0,02 | | 10 | 4,233 | 4,7 | 0,467 | 1 | 0,01 | 0,02 | | |
Равноинтервальная гистограмма имеет вид: Построим гистограмму равновероятностным способом. |
№ | | | | | | | | 1 | 0,03 | 0,17 | 0,14 | 10 | 0,1 | 0,7143 | | 2 | 0,17 | 0,25 | 0,08 | 10 | 0,1 | 1,2500 | | 3 | 0,25 | 0,42 | 0,17 | 10 | 0,1 | 0,5882 | | 4 | 0,42 | 0,57 | 0,15 | 10 | 0,1 | 0,6667 | | 5 | 0,57 | 0,77 | 0,2 | 10 | 0,1 | 0,5000 | | 6 | 0,77 | 0,96 | 0,19 | 10 | 0,1 | 0,5263 | | 7 | 0,96 | 1,27 | 0,31 | 10 | 0,1 | 0,3226 | | 8 | 1,27 | 1,53 | 0,26 | 10 | 0,1 | 0,3846 | | 9 | 1,53 | 2,17 | 0,64 | 10 | 0,1 | 0,1563 | | 10 | 2,17 | 4,7 | 2,53 | 10 | 0,1 | 0,0395 | | |
Равновероятностная гистограмма имеет вид: Оценку математического ожидания вычислим по формуле 1,00. Оценку дисперсии вычислим по формуле: , 0,82, Построим доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии: В нашем случае 1,00, 0,82, , , . ; Доверительный интервал для математического ожидания . Доверительный интервал для дисперсии , =1,96 (). По виду равноинтервальной гистограммы выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по показательному закону: H0 : H1 : Определим оценку неизвестного параметра Предполагаемый закон распределения . Найдем вероятности попадания в каждый из интервалов Теоретические частоты найдем по формуле |
№ | Интервалы [xi; xi+1) | | | | | | | 1 | 0,03 | 0,497 | 0,36 | 36,00 | -2,00 | 4,00 | 0,1111 | | 2 | 0,497 | 0,964 | 0,23 | 23,00 | 4,00 | 16,00 | 0,6957 | | 3 | 0,964 | 1,431 | 0,14 | 14,00 | 1,00 | 1,00 | 0,0714 | | 4 | 1,431 | 1,898 | 0,09 | 9,00 | 1,00 | 1,00 | 0,1111 | | 5 | 1,898 | 2,365 | 0,06 | 6,00 | 0,00 | 0,00 | 0,0000 | | 6 | 2,365 | 2,832 | 0,04 | 4,00 | -1,00 | 1,00 | 0,2500 | | 7 | 2,832 | 3,299 | 0,02 | 2,00 | 0,00 | 0,00 | 0,0000 | | 8 | 3,299 | 3,766 | 0,01 | 1,00 | 0,00 | 0,00 | 0,0000 | | 9 | 3,766 | 4,233 | 0,01 | 1,00 | 0,00 | 0,00 | 0,0000 | | 10 | 4,233 | 4,7 | 0,01 | 1,00 | 0,00 | 0,00 | 0,0000 | | | | | | | | НАБЛ= | 1,24 | | |
Число степеней свободы определяют по формуле . По таблице критерия Пирсона находим: . Так как , то нет оснований отвергать гипотезу о показательном распределении. Проверим гипотезу о показательном распределении с помощью -критерия Колмогорова. Теоретическая функция распределения F0(x) показательного закона равна Проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью -критерия Колмогорова. Все вспомогательные расчеты сведем в таблицу. |
№ | Интервалы [xi; xi+1) | частота в интервале | | | | | 1 | -2,951 | 7 | 34 | 0,34 | 0,36 | 0,02 | | 2 | -2,513 | 10 | 27 | 0,61 | 0,59 | 0,02 | | 3 | -2,075 | 8 | 15 | 0,76 | 0,73 | 0,03 | | 4 | -1,637 | 12 | 10 | 0,86 | 0,82 | 0,04 | | 5 | -1,199 | 14 | 6 | 0,92 | 0,88 | 0,04 | | 6 | -0,761 | 11 | 3 | 0,95 | 0,91 | 0,04 | | 7 | -0,323 | 9 | 2 | 0,97 | 0,93 | 0,04 | | 8 | 0,115 | 4 | 1 | 0,98 | 0,95 | 0,03 | | 9 | 0,553 | 16 | 1 | 0,99 | 0,96 | 0,03 | | 10 | 0,991 | 9 | 1 | 1,00 | 0,97 | 0,03 | | |
; . То таблице квантилей распределения Колмогорова по уровню значимости находим критическое значение . Так как , то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении. 10. Задача 10. По выборке двумерной случайной величины 1. Вычислить оценку коэффициента корреляции; 2. Вычислить параметры линии регрессии и ; 3. Построить диаграмму рассеивания и линию регрессии; Решение Найдем числовые характеристики величин и . 0,88; 0,10. 1,59; . 1,76; . Корреляционный момент равен: -0,23 Найдем уравнения регрессии где ; Уравнение регрессии имеет вид: . Коэффициент корреляции равен: . Найдем интервальную оценку. . , Проверим гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости . Проверим нулевую гипотезу : о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции, при конкурирующей гипотезе . . По таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню и числу степеней свободы найдем критическую точку двусторонней критической области. . Так как - нулевую гипотезу принимаем.
|
|
|