Визначення емпіричних закономірностей
- План
- 1. Метод найменших квадратів
- 1.1 Задача про пошуки параметрів
- 2. Означення метода найменших квадратів
- Література
- 1. Метод найменших квадратів
1.1 Задача про пошуки параметрівПри експериментальному вивченні функціональної залежності однієї величини виконують вимірювання величини при різних значеннях величини . Задача полягає в аналітичному представленні шуканої функціональної залежності, тобто необхідно підібрати формулу, яка описала б результати експерименту. Наприклад для проведення прямої достатньо двох точок і , якщо ці точки відомі точно. Але за наявністю „шуму” в експерименті необхідно взяти декілька десятків точок.Емпіричну формулу вибирають із формул визначеного типу, наприклад: , , . Іншими словами, задача полягає у визначенні параметрів формули, в той час, як вигляд формули відомий. Позначимо вибрану функціональну залежність через (1)з явною вказівкою на параметри, які необхідно визначити. Ці параметри не можна визначити точно за емпіричними значеннями функції , так як останні мають випадкові похибки. При цьому передбачається, що вимірювання значень функції проведенц незалежно один від одного і що похибки вимірювання підпорядковуються нормальному закону розподілу ймовірностей.
2. Означення метода найменших квадратівЯкщо всі вимірювання значень функції виконані з однаковою точністю, то оцінки параметрів визначаються із умови, щоб сума квадратів відхилень виміряних значень від розрахункових , тобто є величина: (2)Сума квадратів відхилень фактичних (дослідних) даних приймала найменше значення від вирівняних.Якщо вимірювання виконані з різними дисперсіями ( не рівно точні), але відомі відношення дисперсій різних вимірювань, тоді сума замінюється сумою: (3)де множники називається
вагою вимірювання, обернено пропорційні дисперсіям: .Якщо всі вимірювання значень функції проводяться з однаковою точністю, але при кожному значенні аргумента вимірювань серія вимірювань, а в якості береться середнє арифметичне результатів вимірювань в серії, то вагою вимірювання можуть бути кількість вимірювань в серіях .Сформульована вище умова зберігається і для визначення оцінок параметрів функції декількох змінних. Наприклад, для функції від двох змінних оцінки параметрів визначається з умови перетворення в мінімум суми (4).Відшукування тих значень параметрів , які дають найменше значення функції полягає у розв'язку системи рівнянь (5).Нехай в процесі певного дослідження ми отримали такі дані:Таблиця 1
Виходячи із змісту розглядуваних явищ, припускаємо, що між цими величинами існує певна функціональна залежність . Метод найменших квадратів (метод Гауса) полягає в тому, що треба знайти такі параметри функціональної залежності , щоб сума квадратів відхилень фактичних даних від вирівняних була найменшою (рис. 1).Рис. 1 (6) де - фактичні (дослідні) значення; - вирівняні значення.Застосуємо цей метод для визначення параметрів функціональних залежностей.а) Нехай між даними прямопропорційна залежність, тобто теоретична крива, за допомогою якої будемо вирівнювати емпіричну залежність між цими величинами має такий вигляд: (7)Тоді (6) запишеться у вигляді:.Як видно, ця сума залежить від . Вона буде мінімальна тоді, коли похідна по змінній дорівнює нулю, тобто:Скоротимо це рівняння на -2:; ,звідки.Підставимо значення в рівняння (7), дістанемо:. (8)б) Нехай функціональна залежність має такий вигляд: . Підставивши в рівняння (6) замість відповідно , дістанемо: . У цій формулі невідомі коефіцієнти і . Знайдемо значення і , при яких функція матиме мінімальне значення. Щоб знайти ці значення, візьмемо частинні похідні по і та приведемо їх до нуля. Розв'язок здобутої системи рівнянь дає ті значення, при яких дана сума мінімальна.Скоротимо обидва рівняння на -2 і зробимо такі перетворення:Враховуючи, що , дістанемо: (9)Опустивши індекси перепишемо систему (9.9) так: (10)Одержана система рівнянь називається нормальною системою Гауса. Розв'язавши її знайдемо значення і .; (11); (12)в) Нехай функціональна залежність має такий вигляд: . Формула (9.6) в цьому випадку запишеться так:.Щоб знайти значення коефіцієнтів
, і , при яких функція мінімальна, знаходимо часткові похідні по , і від і прирівнюємо їх до нуля. Розв'язання одержаної системи трьох рівнянь і дають нам значення , і , при яких буде мінімальним:Прирівнявши ці похідні до нуля і зробивши відповідні перетворення, будемо мати: (13)Систему (9.13) запишемо без індексів: (14)Розв'язок цієї системи , і - це ті значення коефіцієнтів рівняння зв'язку другого степеня , при яких сума квадратів відхилень фактичних даних від вирівняних буде мінімальною. , (15).де , (16), (17).г) Аналогічно складається система нормальних рівнянь тоді коли зв'язок між ознаками близький до оберненого і досить добре виражається залежністю . Система нормальних рівнянь для цього випадку буде такою: (18)Вирівнювання за показниковою (експонентною) функцією проводиться тоді коли ознаки з більш-менш сталим відносним приростом. Вирівнювання проводиться за формулою . В цьому випадку параметри і визначаються за методом найменших квадратів відхилень логарифмів розв'язуванням системи нормальних рівнянь: (19)
Приклад
На основі вихідних даних, взятих із таблиці, згідно зі своїм варіантом, побудувати математичну модель, використовуючи метод найменших квадратів.
|
x | 0,6 | 1,2 | 1,5 | 2,0 | 3,0 | |
y | 5 | 8 | 10 | 12 | 16 | |
|
Знаходимо впіввідношення
; ; ; ;
Середнє арифметичне усіх чисел становить
;
За формулою знаходимо:
Отже, залежність між y та x описується рівнянням:
y = 2,58x ;
Література1. Белый И.В. и др. Основы научных исследований и технического творчества / И.В. Белый, К.П. Власов, В.Б. Клепиков. - Х.: Вища шк. Изд-во при Харьк. ун-те, 1989 - 200 с.2. Белуха Н.Т. Основы научных исследований в экономике. - К.: Вища шк. Головное изд-во, 1985. - 215 с. 3. Вознюк С.Т. и др. Основы научных исследований. Гидромелиорация / Вознюк С.Т., Гончаров С.М., Ковалев С.В. - К.: Вища шк. Головное издательство, 1985 - 192 с.4. Воловик П.М. Теорія імовірностей і математична статистика в педагогіці -Х.: Вища шк., 1969 - 222 с.5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Изд. 4-е - М.: Высшая школа, 1972. - 367 с.6. Митропольский А.К. Техника статистических вычислений. М.: Наука, 1971, 576 с.7. Нечаев Ю.И. Основы научных исследований - Киев, Одесса: Вища шк. Головное изд-во, 1983, - 160 с.8. Румшиский Л.Э. Математическая обработка результатов эксперимента. М.: Наука, 1971 - 192 с.9. Сиденко В.М. Грушко И.М. Основы научных исследований. Харьков. Вища шк, 1977 - 240 с.10. Сытник В.Ф. Основы научных исследований. К.: Вища шк. Головное изд-во. 1978 - 184 с.