Вивчення систем, еквівалентних системам з відомим типом крапок спокою
4
Курсова робота
"Вивчення систем, еквівалентних системам з відомим типом крапок спокою"
Реферат
Курсова робота складається з _____ сторінок, 3-х джерел.
Ключові слова: вложима система, з відомим типом крапок спокою, перший інтеграл диференціальної системи, функція, клас систем еквівалентних системі з відомим типом крапок спокою.
Метою курсової роботи є дослідження системи з відомим типом крапок спокою, знаходження першого інтеграла системи, застосування теореми про еквівалентність диференціальних систем.
Зміст
- Введення
- 1. Визначення вложимої системи. Умови вложимості
- 2. Загальне рішення системи
- 3. Знаходження першого інтеграла диференціальної системи й умови його існування
- 4. Функція, що відбиває
- 5. Застосування теореми про еквівалентність диференціальних систем
- Висновок
- Список джерел
ВведенняУ курсовій роботі розглядається вложима система з відомим типом крапок спокою. Як відомо система є вложимою, якщо будь-який компонент цієї системи вложима, тобто система вложима тоді й тільки тоді, коли множина її рішень є підмножиною множини рішень деякої лінійної стаціонарної системи.В 1-2 м пунктах розглядається вложима система, з відомим типом крапок спокою. Далі перевіряємо чи є x і y загальним рішенням нашої системи рівнянь.В 3-м ми знаходимо перший інтеграл системи й перевіряємо виконання тотожності.В 4-м пункті досліджуємо функції, що відбиваютьВ 5-м пункті застосовуємо теорему про еквівалентність диференціальних систем
1. Визначення вложимої системи. Умови вложимостіРозглянемо диференціальну систему D. (1)Будемо називати i-ю компоненту x системи (1) вложимої, якщо для будь-якого рішення x (t) = (x (t),…,x (t)),t, цієї системи функція x t, є многочленом. У такий спосіб i-я компонента системи (1) вложима тоді й тільки тоді, коли для кожного рішення x (t) цієї системи існує лінійне стаціонарне рівняння виду, (2)для якого є рішенням. Загалом кажучи, порядок і коефіцієнти рівняння (2) залежать від вибору рішення . В окремому випадку, коли компонента будь-якого рішення системи (1) є одночасно й рішенням деякого, загального для всіх рішень рівняння (2), компоненту системи (1) будемо називати сильно вложимої у рівняння (2).
2. Загальне рішення системиРозглянемо вложиму систему (1)(b>0 і а-постійні) із загальним рішенням, якщо з 0;x=0, y=at+c, якщо з=0, де постійні з, з, зі зв'язані співвідношенням з (b+c +c) =a, має два центри в крапках і . Рішення:Підставимо загальне рішення у нашу систему (1) одержимо = =c (c cosct-c sinct) =a-Для стислості розпишемо знаменник і перетворимо x +y +b==a+c (c sinct+c cosct)a-Одержуємо, що x і y є загальним рішенням системи.
3. Знаходження першого інтеграла диференціальної системи й умови його існуванняРозглянемо систему = f (t, x), x= (x,…,x), (t,x)
(1) с безперервної в області D функцією f. Функція U (t, x), задана в деякої під області G області D, називається
першим інтегралом системи (1) в області G, якщо для будь-якого рішення x (t), t, системи (1), графік якого розташований в G функція U (t, x (t)), t, постійна, тобто U (t, x (t)) залежить тільки від вибору рішення x (t) і не залежить від t.Нехай V (t, x), V: G
R, є деяка функція. Похідній від функції V у силу системи (1) назвемо функцію V V
R, обумовлену рівністюV (t, x (t)) t.
Лема 1.Для будь-якого рішення x (t), t, системи (1), графік якого розташований в G, має місце тотожністьV t.Без доказу.
Лема 2.Функція U (t, x), U: G
R, являє собою перший інтеграл системи (1) тоді й тільки тоді, коли похідна U у силу системи (1) тотожно в G звертається в нуль.Необхідність. Нехай U (t, x) є перший інтеграл системи (1). Тоді для будь-якого рішення x (t) цієї системи, застосовуючи лему 1 будемо мати тотожностіUЗвідки при t=t одержимо рівність U (t справедливе при всіх значеннях t і x (t). Необхідність доведена.Достатність. Нехай тепер U при всіх (t, x) Тоді для будь-якого рішення x (t) системи (1) на підставі леми 1 будемо мати тотожностіа з ним і достатність.З визначення першого інтеграла треба, що постійна на G функція також є першим інтегралом системи (1). Перший інтеграл U (t, x) будемо називати на G, якщо при всіх (t, x) виконується нерівність.Функцію U (x) будемо називати
стаціонарним першим інтегралом системи (1), якщо вона не залежить від t і є першим інтегралом системи (1).
Знайдемо перший інтеграл нашої системи:Піднесемо до квадрата й виразимо зyПокладемо , одержимоПеревіримо, що функція - це перший інтеграл системи (1), тобто перевіримо виконання тотожності (2)Знайдемо похідні по t, x, y Після вище зроблених перетворень одержуємо, що функція - це перший інтеграл системи (1), 2) Покладемо , тобто , де , Q3) Перевіримо виконання тотожності: (3), де Перетворимо (3). [у нашім випадку ] = = [з огляду на всі зроблені позначення] ==== [через те, що котре у свою чергу як ми вже показали їсти тотожний нуль] Таким чином, тотожність (3) щире.
4. Функція, що відбиваєВизначення. Розглянемо систему (5)вважає, що права частина якої безперервна й має безперервні частки похідні по . Загальне рішення у формі Коші позначений через ). Через позначимо інтервал існування рішення . Нехай
функцією, що відбиває, системи (5) назвемо функцію , обумовлену формулоюДля функції, що відбиває, справедливі властивості:для будь-якого рішення системи (5) вірна тотожністьдля функції, що відбиває, F будь-якої системи виконані тотожності3) функція буде функцією, що відбиває, системи (5) тоді й тільки тоді, коли вона задовольняє системі рівнянь у частинних похіднихі початковій умові
5. Застосування теореми про еквівалентність диференціальних системОдержуємо де - будь-яка непарна безперервна функція.Поряд з диференціальною системою (1) розглянемо обурену систему (2), де - будь-яка безперервна непарна функція. Відомо по [3], що диференціальна система (3) еквівалентна обуреній системі (4), де безперервна скалярна непарна функція задовольняючому рівнянню Тому що вище вже показано, що функція де {є перший інтеграл} задовольняє цьому рівнянню, те справедлива наступна теорема.Теорема 1.Система (1) еквівалентна системі (2) у змісті збігу функції, що відбиває.Тому що система (1) має дві особливі крапки, у кожній з яких перебуває центр, те й система (2) має центри в цих крапках.
ВисновокУ даній курсовій роботі розглянута вложима система з відомим типом крапок спокою, перевірене задоволення загального рішення нашій системі, знайдені перший інтеграл і перевірений виконання тотожності, потім за допомогою теореми 1 доведена еквівалентність диференціальних систем. Сформульовано визначення вложимої системи, першого інтеграла, що відбиває функції й загальні властивості функції, що відбиває. Сформульована теорема за допомогою якої ми довели еквівалентність нашої системи з диференціальною системою.
Список джерел1. Мироненко В.І. Лінійна залежність функцій уздовж рішень диференціальних рівнянь. - К., 2001.
2. Мироненко В.І. Функція, що відбиває, і періодичні рішення диференціальних рівнянь. - К., 2004.
3. Мироненко В.І. Збурювання диференціальних систем, що не змінюють тимчасових симетрій. - К., 2004 р.