Уравнение и функция Бесселя
28
Содержание
Задание на курсовую работу 2
Замечания руководителя 3
1. Бесселевы функции с любым индексом 5
2. Формулы приведения для бесселевых функций 10
3. Бесселевы функции с полуцелым индексом 13
4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом 15
5. Ряды Фурье-Бесселя 18
6. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента 23
Список литературы 30
1. Бесселевы функции с любым индексом
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах
Чтобы объяснить происхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:
. (1)
Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам:
, , ,
то уравнение (1) примет следующий вид:
. (2)
Поставим задачу: найти все такие решения уравнения, которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, то есть найти все решения вида:
,
где , , предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми.
Пусть есть решение упомянутого вида. Подставляя его в (2), получим:
,
откуда (после деления на )
.
Записав это в виде:
,
найдем, что левая часть не зависит от , правая не зависит от , ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:
; ;
; ;
.
В последнем равенстве левая часть не зависит от , правая не зависит от ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:
, ;
, .
Таким образом, , , должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:
,
(3)
, ,
из которых второе и третье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.
Обратно, если , , удовлетворяют уравнениям (3), то есть решение уравнения (2). В самом деле, подставляя в левую часть (2) и деля затем на , получим:
.
Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть , где , , - любые решения уравнений (3) при любом выборе чисел , .
Первое из уравнений (3) в случае , называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае , обозначая независимую переменную буквой (вместо ), а неизвестную функцию - буквой (вместо ), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:
. (4)
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.
Бесселевы функции первого рода
Будем искать решение уравнения Бесселя (4) в виде ряда:
.
Тогда
,
,
,
.
Следовательно, приходим к требованию
или к бесконечной системе уравнений
,
которая распадается на две системы:
Первая из них удовлетворится, если взять … Во второй системе можно взять произвольно; тогда … однозначно определяются (если не является целым отрицательным числом). Взяв
,
найдем последовательно:
,
,
,
и в качестве решения уравнения (4) получим ряд:
Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (4), сходится для всех положительных значений и, следовательно, является решением уравнения (4) в области (в случае целого в области ).
Функция
(5)
называется бесселевой функцией первого рода с индексом . Она является одним из решений уравнения Бесселя (4). В случае целого неотрицательного индекса получим:
, (5`)
и, в частности,
. (5``)
Общее решение уравнения Бесселя
В случае нецелого индекса функции и являются решениями уравнения (4). Эти решения линейно независимы, так как начальные члены рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, и содержат разные степени . Таким образом, в случае нецелого индекса общее решение уравнения Бесселя есть:
. (6)
Если (целое отрицательное число), то функция, определяемая формулой (5) (учитывая, что равно нулю для …), принимает вид:
(5```)
или, после замены индекса суммирования на ,
, (7)
откуда видно, что удовлетворяет вместе с уравнению Бесселя
.
Но формула (6) в случае целого уже не дает общего решения уравнения (4).
Полагая
( - не целое) (8)
и дополняя это определение для (целое число) формулой:
, (8`)
получим функцию , удовлетворяющую уравнению Бесселя (4) и во всех случаях линейно независимую от (в случае , где - целое). Функция называется бесселевой функцией второго рода с индексом . Общее решение уравнения Бесселя (4) можно записать во всех случаях в виде:
. (9)
2. Формулы приведения для бесселевых функций
Имеем:
; ;
, ;
.
Следовательно,
. (10)
Таким образом, операция (состоящая в дифференцировании с последующим умножением на ), примененная к , повышает в этом выражении индекс на единицу и меняет знак. Применяя эту операцию раз, где - любое натуральное число, получаем:
. (10`)
Имеем:
;
Следовательно,
. (11)
Таким образом, операция , примененная к , понижает в этом выражении индекс на единицу. Применяя эту операцию раз, получаем:
. (11`)
Из выведенных формул можно получить некоторые следствия. Используя (10), получим:
; ; .
Отсюда, в частности, следует, что . Используя (11), получим:
; ; .
Почленное сложение и вычитание полученных равенств дает:
, (12)
. (13)
Формула (13) позволяет выразить все бесселевы функции с целыми индексами через , . Действительно, из (13) находим (полагая ):
, (13`)
откуда последовательно получаем:
,
, …………………
3. Бесселевы функции с полуцелым индексом
Бесселевы функции, вообще говоря, являются новыми трансцендентными функциями, не выражающимися через элементарные функции. Исключение составляют бесселевы функции с индексом , где - целое. Эти функции могут быть выражены через элементарные функции.
Имеем:
,
,
следовательно,
.
Но , значит:
. (14)
Далее
,
,
следовательно,
.
Но , поэтому
. (15)
С помощью (10`) находим:
,
а учитывая (14)
,
следовательно, при целом положительном
. (14`)
С помощью (11`) находим:
,
но в силу (15)
,
и, следовательно, при целом положительном
. (15`)
4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом
Производящая функция системы функций
Рассмотрим систему функций (с любой общей областью определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел:
Составим ряд
,
где - комплексная переменная. Предположим, что при каждом (принадлежащем области определения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости, содержащее внутри себя единичную окружность . В частности, это кольцо может представлять собой полную плоскость комплексной переменной без точек 0 и ?.
Функция
(16)
(где x лежит в области определения функций системы , - внутри кольца сходимости, соответствующего рассматриваемому значению ) называется производящей функцией системы .
Обратно, пусть задана функция , где пробегает некоторое множество, находится внутри некоторого кольца, зависящего от , с центром 0 и содержащего внутри себя единичную окружность. Тогда, если при каждом аналитична относительно внутри соответствующего кольца, то есть производящая функция некоторой системы функций. В самом деле, разложив при каждом функцию в ряд Лорана по степеням :
,
найдем, что система коэффициентов этого ряда будет искомой системой .
Формулы для коэффициентов ряда Лорана позволяют выразить функции рассматриваемой системы через производящую функцию. Применяя эти формулы и преобразовывая затем интеграл вдоль единичной окружности в простой интеграл, получим:
. (17)
Производящая функция системы бесселевых функций с целыми индексами
Покажем, что для системы бесселевых функций первого рода с целыми индексами (…) производящая функция есть:
.
Имеем:
, ,
откуда после почленного перемножения этих равенств найдем:
(так как в предпоследней внутренней сумме и были связаны зависимостью , то мы могли положить , получив суммирование по одному индексу ). В последней внутренней сумме суммирование производится по всем целым , для которых , следовательно, при это будет ; при это будет . Таким образом, во всех случаях внутренняя сумма есть в силу формул (5`) и (5```). Итак,
, (18)
но это и доказывает, что есть производящая функция для системы .
Выведем некоторые следствия из формулы (18). Полагая в ней , получим:
,
откуда после разделения действительной и мнимой части (учитывая, что )
(18`)
(18``)
Заменяя в (18`) и (18``) на , найдем:
, (18```)
. (18````)
Интегральное представление Jn(x)
Так как, по доказанному, при имеем , то по формуле (17) получаем (используя в преобразованиях формулы Эйлера):
где принято во внимание, что есть четная функция от есть нечетная функция от . Итак, доказано, что для любого целого числа
. (19)
Формула (19) дает представление бесселевых функций с целым индексом в виде определенного интеграла, зависящего от параметра . Эта формула называется интегральным представлением Бесселя для , правая часть формулы называется интегралом Бесселя. В частности, при найдем:
. (19`)
5. Ряды Фурье-Бесселя
Рассмотрим на каком-либо интервале (конечном или бесконечном) два дифференциальных уравнения
, , (20)
где и - непрерывные функции на . Пусть и - ненулевые решения этих уравнений. Умножение на и на и последующее вычитание дают
.
Пусть и принадлежат и , тогда после интегрирования в пределах от до получим
. (21)
Если и - соседние нули решения , то между и сохраняет постоянный знак, пусть, например, на (, ) (в противном случае следует заменить на ), тогда , (равенство нулю исключено, так как - ненулевое решение дифференциального уравнения второго порядка). Если на , то должна, по крайней мере, раз обращаться в нуль между и , так как иначе сохранит постоянный знак на (,). Пусть, например, на (,) (в противном случае заменяем на ), и тогда из (21) получим противоречие, ибо левая часть ?0, а правая >0. Таким образом доказана теорема сравнения Штурма: если P(x)<Q(x) на рассматриваемом интервале I и если y и z - ненулевые решения уравнений (20), то между каждыми двумя соседними нулями y(x) находится по крайней мере один нуль z(x).
Из теоремы сравнения Штурма вытекают нижеследующие следствия. Если на , то каждое ненулевое решение уравнения может иметь на не более одного нуля (это легко видеть, если положить и взять ). Если на (где ), то для всяких двух соседних нулей и () каждого ненулевого решения уравнения имеем (это легко видеть, если положить , взять и заметить, что нулями будут только числа вида , целое). Если на (где ), то для всяких двух соседних нулей каждого ненулевого решения уравнения имеем (это легко видеть, если положить и взять ). Из сказанного следует, что если на , то для всяких двух соседних нулей и () каждого ненулевого решения уравнения имеем .
Изложенное показывает, что если непрерывна на и превышает некоторое положительное число вблизи +?, то каждое ненулевое решение уравнения имеет на бесконечно много нулей. Если еще вблизи не обращается в нуль, то эти нули образуют бесконечную возрастающую последовательность , имеющую пределом +?, а если, кроме того, , где , то .
Рассмотрим уравнение Бесселя
на интервале . Подстановка приводит к уравнению
.
Очевидно, и имеют одни и те же нули. Так как , где - целая функция, то не имеет нулей на при достаточно малом , и так как при , то при каждом нули на образуют бесконечную возрастающую последовательность
причем .
Если , то удовлетворит уравнению
на интервале (0, +?). Подстановка приводит к уравнению
и, следовательно, удовлетворяет этому уравнению. Таким образом, при любых положительных и имеем
, где ,
, где ,
откуда
,
следовательно,
, где . (22)
Пусть теперь . Разложение по степеням начинается с члена, содержащего , разложение по степеням начинается с члена, содержащего , так как коэффициент при равен нулю, что легко видеть, исходя из формулы (5). Следовательно, из (22) при получим
,
то есть
, (23)
откуда видно, что если и являются разными нулями функции , то
. (23`)
Этим доказано, что при система функций
на интервале является ортогональной относительно веса .
Переходя к пределу при в соотношении
и используя правило Лопиталя, получим при всяком
, (24)
следовательно, если является нулем функции , то
. (24`)
Таким образом, при каждом всякой непрерывной функции на , удовлетворяющей требованию
,
поставлен в соответствие ряд Фурье-Бесселя
, (25)
коэффициенты которого определяются формулами
. (25`)
Можно доказать, что система функций на , ортогональная относительно веса , замкнутая. В частности, если ряд Фурье-Бесселя (25) равномерно сходится к порождающей его непрерывной функции .
Можно показать, что если и непрерывная на и кусочно-гладкая на функция, то ряд Фурье-Бесселя этой функции сходится к ней при .
6. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента
Пусть - положительная функция и - какая-нибудь (вообще комплекснозначная) функция, определенные для достаточно больших значений . Запись
при
означает, что найдутся такие числа и M, что при имеем .
Подобная запись употребляется и в других аналогичных случаях. Например, если - положительная функция и - какая-нибудь функция, определенные для достаточно малых положительных значений , то запись
при
означает, что найдутся такие числа и , что на .
Вспомогательная лемма
Если дважды непрерывно дифференцируема на , то для функции
имеет место асимптотическое представление
при .
Докажем эту лемму. Заменяя на , получим:
. (26)
Рассмотрим интеграл, фигурирующий в первом слагаемом правой части формулы (20). Заменяя на , найдем:
,
но, заменив на , получим:
.
Если положительна, убывает и стремиться к нулю при , то и , а следовательно, и есть при , поэтому
при ,
откуда
при .
Итак, получаем асимптотическое представление:
при . (27)
Рассмотрим теперь интеграл, фигурирующий во втором слагаемом правой части формулы (20). Имеем:
,
.
Очевидно, дважды непрерывно дифференцируема на , но существуют и , поэтому становится непрерывно дифференцируема на . Интегрирование по частям дает:
,
где первое слагаемое правой части есть при , а интеграл во втором слагаемом несобственный при нижнем пределе мажорируется интегралом
,
который сходится, так как
при ;
следовательно, второе слагаемое есть тоже при .
Итак, имеем:
при . (28)
Из (26), (27), (28) получаем искомое асимптотическое представление:
при . (29)
Из этой формулы, переходя к сопряженным величинам, найдем еще:
при . (29`)
Формулы (29) и (29`) верны и для комплекснозначных функций .
Вывод асимптотической формулы для Jn(x)
Заменяя на , получим:
(учитывая, что есть четная функция от , а есть нечетная функция от ). Подстановка дает:
,
где есть, очевидно, полином n-й степени (полином Чебышева), так как из формулы Муавра видно, что есть полином n-й степени относительно . Но
и, заменяя в первом из этих интегралов на , получим:
Так как и на имеют производные всех порядков, то к двум последним интегралам применимы формулы (29) и (29`), и мы получаем:
;
но ; , следовательно,
.
Итак, имеем искомое асимптотическое представление бесселевой функции первого рода с целым индексом для больших значений аргумента:
при . (30)
Эта формула показывает, что с точностью до слагаемого порядка является затухающей гармоникой с волной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратно пропорционально квадратному корню из абсциссы.
В частности,
при ; (30`)
при . (30``)
Графики этих функций изображены ни рисунках 1 и 2.
Рассмотрим несколько примеров решения уравнения Бесселя.
1. Найти решение уравнения Бесселя при
,
удовлетворяющее начальным условиям при , и .
Решение.
На основании формулы (5`) находим одно частное решение:
.
2. Найти одно из решений уравнения:
, .
Решение.
Сделаем замену
.
При получим:
.
При будем искать решение в виде обобщенного степенного ряда:
.
Уравнение на имеет вид ;
, , , , поэтому
,
, .
Рисунок 1 - График функции y=J0(x)
Рисунок 2 - График функции y=J1(x)
Список литературы
1. Пискунов Н. С. «Дифференциальное и интегральное исчисления», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1985г., 560 стр.
2. Романовский П. И. «Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1983г., 336 стр.
