Теория вероятности
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
на тему «Теория вероятности»
по предмету «Математика»
Задание 1
Общее число возможных элементарных методов равно числу сочетаний из 10 по 5:
.
Подсчитываем число исходов, благоприятствующих нашему событию. Среди 3-х женщин две женщины могут быть выбраны способами; при этом остальные 5-2=3 людей должны быть мужчинами. Взять же 3 мужчины из 7 можно способами. Следовательно, число исходов благоприятствующих нашему событию:
.
Искомая вероятность равна:
.
Задание 2
.
Возможны следующие три случая:
А - среди трех студентов посетивших библиотеку первый заказал учебник по теории вероятностей, а два других не заказали;
В - второй студент заказал учебник по теории вероятностей, а первый и второй нет.
Вероятность каждого из этих событий по теореме умножения равны:
;
;
.
Искомая вероятность по теореме сложения несовместных событий:
.
Поэтому: .
Чтобы нити оказались одного цвета должны выполниться следующие события:
А - вынуть две нити красного цвета;
В - вынуть две нити белого цвета.
Вероятность каждого из этих событий по теореме умножения вероятностей будут:
;
.
Искомая вероятность по теореме сложения вероятностей: .
Задание 3
.
I - 4б; 6кр; II - 5б; 10кр
Обозначим события А - выбранный шар белый. Можно сделать два предложения:
- белый шар выбран из 1-го ящика
- белый шар выбран из 2-го ящика, так как ящик выбирают на удачу, то:
.
Условная вероятность того, что шар будет белым и извлечен он из первого ящика будет:
.
Вероятность того, что белый шар будет извлечен из второго ящика:
.
Формула полной вероятности:
.
Тогда вероятность того, что наугад взятый шар будет белым:
.
Задание 4
Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
;
;
.
В нашем случае n=600; k=25; P=0,05; q=0,95.
.
Так как функция - четная, то по таблице находим:
.
Тогда .
Задание 5
|
x | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | |
P | 0,2 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0,2 | |
|
.
;
;
;
.
Начальный момент первого порядка: .
Аналогично: .
.
Находим центральные моменты по формулам:
;
;
.
Следовательно:
; ; .
Многоугольник распределения
Задание 6
Распределение Х и распределение Y
|
Xi | 4 | 9 | 12 | | Yi | 6 | 7 | |
Pi | 0,36 | 0,24 | 0,4 | | Pi | 0,65 | 0,35 | |
|
;
.
;
;
;
;
;
.
Коэффициент коррекции находим по формуле:
,
где: Kxy - корелляционный момент связи случайных величин X и Y; - среднеквадратические отклонения величин X и Y.
.
Тогда:
;
;
.
.
Задание 7
; .
;
.
Задание 8
Распределение Х и распределение Y
|
Xi | 1 | 3 | 5 | | Yi | 12 | 13 | 15 | |
Pi | 0,1 | 0,7 | 0,2 | | Pi | 0,5 | 0,1 | 0,4 | |
|
x1=1; x2=3; x3=5; y1=12; y2=13; y3=15; x1+ y1=13; x1+ y2=14; x1+ y3=16;
x2+ y1=15; x2+ y2=16; x2+ y3=18; x3+ y1=17; x3+ y2=18; x3+ y3=20;
Обозначим xi + yj=7, тогда имеем следующие значения z:
z1=13; z2=14; z3=15; z4=16; z5=17; z6=18; z7=20.
Соответствующие вероятности будут:
;
;
;
;
;
;
.
Искомое распределение
|
x+y | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 20 | |
P | 0,04 | 0,06 | 0,12 | 0,28 | 0,04 | 0,36 | 0,10 | |
|
Контроль:
0,04+0,06+0,12+0,28+0,04+0,36+0,1=1.
Задание 9
|
Xi | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | |
ni | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 6 | 5 | |
|
Находим значение эмпирической функции.
Вычисления выполняем в таблице.
Таблица вычислений
|
Xi | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | |
Частота | 0,028 | 0,056 | 0,083 | 0,111 | 0,139 | 0,278 | 0,166 | 0,139 | |
| 0,028 | 0,084 | 0,167 | 0,278 | 0,417 | 0,695 | 0,861 | 1,00 | |
|
График эмпирической функции
Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя:
.
Тогда:
.
Несмещенную оценку генеральной дисперсии найдем по формуле:
Последовательно находим:
;
;
;
.
Модой называют варианту, имеющую наибольшую частоту.
.
Медиана:
.
Размах варьирования:
R=16-2=14.
Из соотношения находим и t=1,96.
Находим точность оценки по формуле:
.
Тогда:
.
Доверительный интервал таков: ().
