Теория вероятностей и математическая статистика
Министерство высшего образования Украины
Национальный Технический Университет Украины
“Киевский политехнический институт”
Кафедра автоматизированных систем обработки информации и управления
К о н т р о л ь н а я р а б о т а
по дисциплине :
“ Теория вероятностей и математическая статистика”
Вариант № 24
Выполнил студент гр. ЗІС - 91ІІI курса факультета ФИВТЛуцько Виктор Степанович2009г.Задача 1Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что:а) сумма числа очков не превосходит N;б) произведение числа очков не превосходит N;в) произведение числа очков делится на N.Исходные данные: N=18.Решение задачи:
Вероятностью случайного события А называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого данным испытанием.
где: n - число всех равновозможных элементарных событий, вытекающих из условий данного испытания;
m - число равновозможных событий, которые благоприятствуют событию А.
а) при сумме числа очков (N = 18), не превосходящих N:
n = 36;m = 36
б) при произведении числа очков, не превосходящих N:
n = 28;m = 36
в) при произведении числа очков, делящихся на N:
n = 3;m = 36
Ответы:
а) Р(А) = 1 ;
б) Р(А) = 7/9 0,778 ;
в) Р(А) = 1/12 0,083.
Задача 2
Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i-го сорта равно =1, 2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся т изделий. Определить вероятность того, что среди них т1 первосортных, т2, т3 и т4 второго, третьего и четвертого сорта соответственно .
Исходные данные: n1 = 3; n2 = 1; n3 = 6; n4 = 2;m1 = 2; m2 = 1; m3 = 3; m4 = 1.
Решение задачи.
Определяем количество способов нужной комбинации:
С = Сn1 m1 x Сn2 m2 x Сn3 m3 x Сn4 m4 = С3 2 x С1 1 x С6 3 x С2 1 ;
Определяем количество всех возможных способов:
С = Сn1+n2+n3+n4 m1+m2+m3+m4 = С12 7 ;
3) Определяем вероятность Р согласно условия задачи:
|
Р = | С3 2 x С1 1 x С6 3 x С2 1 | = | 3 х 1 х | 4 х 5 х 6 | х 2 | = | |
| | | | 2 х 3 | | | |
| С12 7 | | 8 х 9 х 10 х 11 х 12 | | |
| | | 2 х 3 х 4 х 5 | | |
|
Ответ: Р = 5/33 0,15 .
Задача 3
Среди п лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли т билетов. Определить вероятность того, что среди них выигрышных.
Исходные данные: n = 8; l = 3; m = 5; k = 4.
Решение задачи.
Общее число случаев, очевидно, равно Сn m , число благоприятных случаев Сk l x Сn-k m-l , откуда:
|
Р(А) = | Сk l x Сn-k m-l | = | С4 3 x С8-4 5-3 | = | 3 | 0, 4286 . | |
| Сn m | | С8 5 | | 7 | | |
|
Ответ: Р(А) = 3/7
0, 4286 .
Задача 7В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны S1 и S2. Исходные данные:R =14; S1 = 2,6; S2 = 5,6.Решение задачи
|
P(A1) = | S1 | = | 2,6 | 0,0042246 ; | | | | | |
| R2 | | 3,14 x 142 | | | | | | |
|
|
P(A2) = | S2 | = | 5,6 | 0,0090991 ; | | | | | |
| R2 | | 3,14 x 142 | | | | | | |
|
|
P(A) = | S1+ S2 | = | 2,6 + 5,6 | = | 8,2 | 0,013324 . | | | |
| R2 | | 3,14 x 142 | | 615,44 | | | | |
|
Ответ: Р(А) 0,013324 .Задача 8В двух партиях k1 и k2 % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:а) хотя бы одно бракованное;б) два бракованных;в) одно доброкачественное и одно бракованное?Исходные данные: k1 = 81; k2 = 37.Решение задачиСобытия А и В называются независимыми, если выполняется соотношение:Р(А/В) = Р(А) / Р(В) .Для любых событий А и В имеет место формула:Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) .Обозначения:Событие А - выбрали бракованное изделие из 1-й партии (1 - k1) ;Событие B - выбрали бракованное изделие из 2-й партии (1 - k2) .События А и В - независимые.а) Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = (1 - k1) + (1 - k2) - (1 - k1)(1 - k2) = = 0,19 + 0,63 - 0,19 х 0,63 0,82 - 0,12 0,70 .б) Вероятность пересечения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:Р(АВ) = Р(А) х Р(В) = (1 - k1)(1 - k2) = 0,19 х 0,63 0,12 .в) Р = Р(А) х Р(В) + Р(В) х Р(А) = (1 - k1)k2 + (1 - k2)k1 == 0,19 х 0,37 + 0,63 x 0,81 0,07 + 0,51 0,58 .Ответы:а) 0,70;б) 0,12;в) 0,58.Задача 9Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком р1 вторым -- р2 . Первый сделал n1, второй -- n2 выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.Исходные данные: p1 = 0,33; p2 = 0,52; n1 = 3; n2 = 2.Решение задачи.Обозначения:А - вероятность непоражения цели при одном выстреле первым стрелком (1 - р1) ;В - вероятность непоражения цели при одном выстреле вторым стрелком (1 - р2) ;Р - цель не поражена в результате общего количества испытаний.Р = (1 - р1)n1 x (1 - р2)n2 = (1 - 0,33)3 x (1 - 0,52)2 = 0,673 x 0,482 0,30 x 0,23 0,069 0,07 .Ответ: 0,07 .Задача 12Из 1000 ламп ni принадлежат i-й партии, i=1, 2, 3, . В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа -- бракованная.Исходные данные: n1 = 350; n2 = 440.Решение задачиРассмотрим три гипотезы:Н1 - выбор лампы из первой партии;Н2 - выбор лампы из второй партии;Н3 - выбор лампы из третьей партии;а также событие А - выбор бракованной лампы.Учитывая то, что Н1, Н2, Н3 - полная группа попарно несовместимых событий, причем Р(Нi) 0, i = 1,2,3, то для любого события А имеет место равенство (формула полной вероятности):
|
| | 3 | |
| Р(А) = | P(Hi) x P(A/Hi) . | |
| | i=1 | |
|
Тогда:P(H1) = 350/1000 = 7/20 ;P(H2) = 440/1000 = 11/25 ;P(H3) = 210/1000 = 21/100 .Р(А) = 7/20 х 0,06 + 11/25 х 0,05 + 21/100 х 0,04 = 42/2000 + 55/2500 + 84/10000 = 514/10000 = 0,0514 .Ответ: Р(А) = 0,0514 .Задача 18На каждый лотерейный билет с вероятностью p1 может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р2. -- мелкий выигрыш и с вероятностью р3 билет может оказаться без выигрыша, . Куплено n билетов. Определить вероятность получения n1 крупных выигрышей и n2 мелких.Исходные данные: n = 14; n1 = 5; n2 = 4;p1 = 0,25; p2 = 0,35.Решение задачиДля решения данной задачи используем формулу для полиномиального распределения вероятностей, т.к. события - является ли і-тый билет выигрышным (и насколько) или невыигрышным - независимы (для разных і):
|
Pn(m1,m2,…,mk) = | n! | p1m1 p2m2 … pkmk . | |
| m1! m2!…mk! | | |
|
В задаче: А1 - билет оказался с крупным выигрышем;А2 - билет оказался с мелким выигрышем;А3 - билет оказался без выигрыша.
|
Р14(5,4,5) = | 14! | х (0,25)5 х (0,35)4 х (0,4)5 = | 6х7х8х9х10х11х12х13х14 | х | |
| 5! 4! 5! | | 2х3х4х2х3х4х5 | | |
|
х 0,0009765 х 0,015 х 0,01024 = 2 х 7 х 9 х 11 х 13 х 14 х 0,0009765 х 0,015 х х 0,01024 0,0378.Ответ: Р 0,0378 .Задача 19Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна р. Поступило п вызовов. Определить вероятность m «сбоев».Исходные данные: m = 9; N = 500; p = 0,01.Решение задачиq = 1 - p = 1 - 0,01 = 0,99 .Так как n - большое число (n = N = 500), а npq 5, т.е. npq < 9 , то применяем формулы Пуассона:
Подсчет вручную дает следующие результаты:
|
Рn(m) | 59 | х | 1 | | 58 | х | 1 | | |
| 2х3х4х5х6х7х8х9 | | е5 | | 2х3х4х6х7х8х9 | | 2,75 | | |
|
|
| 390625 | | 390625 | 0,03751 . | | | |
| 72576 х 143,5 | | 10 413 862 | | | | |
|
Но, при известных а = 5 и m = 9 результат формулы Пуассона следует брать из таблицы III, гдеРn(m) 0,03627 .Ответ: Рn(m) 0,03627 .Задача 20Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующему неравенству. Варианты 22--31: Исходные данные: n = 100; P = 0,3; k1 = - ; k2 = 40.Решение задачиВероятность Рn(m) того, что в результате этих n опытов событие А произойдет m раз (наступит m успехов), определяется по формуле Бернулли:Pn(m) = Cnmpmqn-m, m = 0,1,2,…,n (1)где q = 1 - p - вероятность наступления противоположного события А при единичном испытании.Совокупность чисел, определяемых формулой (1), называется биномиальным распределением вероятностей.При больших значениях п (порядка десятков, сотен) для биномиального распределения применяют следующие приближенные формулы: (2)где: (3)
где:
(4)
(5)
(6)
Формула (2) основана на локальной теореме Муавра--Лапласа, (3) -- на интегральной теореме Муавра--Лапласа, (5) и (6) -- на формуле Пуассона. Асимптотику Муавра--Лапласа [формулы (2) и (3)] рекомендуется применять в случае, когда npq>9. В противном случае более точные результаты дает асимптотика Пуассона [формулы (5) и (6)].
З а м е ч а н и е 1. Приближенная формула (3) остается в силе и в том случае, когда входящие в нее неравенства являются строгими.
З а м е ч а н и е 2. Вычисления по формулам (2), (3), (5), (6) выполняются с использованием таблиц I--IV соответственно (см. приложение).
В данной задаче n = 100, т.е. n - число большое.
npq = 21, следовательно npq > 9.
При этом q = 1 - p = 0,7 ;np = 30 .
Наши рассуждения приводят к тому, что данную задачу следует решать с помощью формул Муавра-Лапласа, а именно с помощью формулы (3).
Тогда:
|
k2 - np | | 40 - 30 | | 10 | 2,18 . | | | |
npq | | 4,58 | | 4,58 | | | | |
|
|
k1 - np | | 0 - 30 | | -30 | - 6,55 . | | | |
npq | | 4,58 | | 4,58 | | | | |
|
Pn(m k2) Ф(х2) - Ф(х1) Ф(2,18) - Ф(- 6,55) Ф(2,18) + Ф(6,55)
0,48537 + 0,5 0,98537 .
Ответ: Pn(m 40) 0,98537 .
Задача 21
Дана плотность распределения р (х) случайной величины . Найти параметр , математическое ожидание М дисперсию D, функцию распределения случайной величины вероятность выполнения неравенства х1 < < х2
Варианты 17-24:
Исходные данные: a = -1,5; b = 1; x1 = -1; x2 = 1.
Решение.
|
Р(х) = | | , х [-1,5, 1], | |
| | 0, x [-1,5, 1]. | |
|
Найдем . Должно выполняться соотношение:F(+) = 1;
|
p(x)dx = 1; | | dx = 1; | x | 1 | = 1; | *(1+1,5) = 1; | = | 1 | =2/5 . | |
| | | | -1,5 | | | | 2,5 | | |
- | | -1,5 | | | | | | | | |
|
|
| 1 | | | | | | | |
Найдем: М = | х 2/5 dx = | 2 х2 | 1 | = | 1/5 (1-2,25) = | -1,25 | = -0,25 . | |
| | 5 2 | -1,5 | | | 5 | | |
| -1,5 | | | | | | | |
|
|
| 1 | | | | |
Найдем: D = М2 - (М)2 = | 2/5 x2 dx - 0,0625 = 2/5 | x3 | 1 | - 0,0625 = | |
| | 3 | -1,5 | | |
| -1,5 | | | | |
|
= 2/5 (1/3 + 3,375/3) - 0,0625 = 0,4 * 1,4583 - 0,0625 = 0,5833 - 0,0625 = 0,5208 .
|
| | | 0 , | x < -1,5; | |
| x | | x | | |
Найдем: F (x)= | p(х) dx = | | dt , | -1,5 x < 1; | |
| - | | -1,5 | | |
| | | 1 , | x 1 . | |
x | | x | | | | | | |
dt = | t | = | x + 1,5 = | 2/5x + 0,6 . | | | | |
-1,5 | | -1,5 | | | | | | |
|
Найдем: P{-1<<1} = F (1) - F (-1) = 1 - (-2/5 + 0,6) = 7/5 - 3/5 = 4/5 .Ответы: 1) = 2/5; 2) М = - 0,25; 3) D = 0,5208; 4) F (x) = 0,4x + 0,6; 5) P{-1<<1} = 4/5.Список использованной литературы
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т.1: Пер.с англ. - М.: Мир, 1994. - 528 с.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб.для вузов. - 6-е изд.стер. - М.: Высш.шк., 1999. - 576 с.
Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под редакцией А.А. Свешникова. - М.: Наука, 1998. - 656 с.
Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей. - М.: Просвещение, 1998. - 160 с.