Теория вероятностей
Независимо друг от друга 10 чел. Садятся в поезд, содержащий 15 вагонов.
Вероятность того, что все они поедут в разных вагонах?
Р= число близких иходов = 15….14…….- 6 = 15 ! -2
Число элемент. исходов 15*15*15…15 5 ! 1,88 * 1е
10 раз 50
15 _____________________________________
2. В электрической цепи последовательно включены 3 элемента, работающие
независимо друг от друга. Их вер-ть отказов равны 1 49 1 .
Найти вероятность того, что тока не будет? 50 ; 50 ; 4
-- - -
А -ток есть
Аi - i-й прибор не исправен
Р (А) = 49 Р (А2)= 1 Р ( А3) = 3
50 ; 50 ; 4
_
Р (А)=1-Р(А) = 1-Р (А1 А2 А3 ) = 1-Р (А1) Р (А2)* Р (А3) = 1- 49 * 1- 3 = 9,753
50 50 4 10,000
____________________________________________________________________________________________
3. Вер-ть попадания хотя бы раз в мишень при 12-ти выстрелах равно 41 .
Найдите вер-ть попадания при одном выстреле? 50
Аi - успешный i - выстрел
_________
Р = 41 = 1-Р ( А1 …..А12) - не попали ни в одном случае из 12-и выстрелов =
50
__ __ _ 12 12
= 1 - Р (А1) …..Р (А12) = 1 - Р (А1) ; 41 = 1-Р (А1)
50
Найти Р (А1)
_ 12
Р (А1) = 1- 41 = 9
50 50
_ 12__
Р (А1) = 9
50
_ 12__
Р (А1) = 1-Р (А1) = 1 - 9 0,133
50 ___________________________________________
Имеются 28 билетов, на каждом из которых написано условие нескольких
задач. В 13 билетах задачи по статистике, а в остальных 15 - задачи по теории
вероятности. 3 студента выбирают на удачу по одному билету. Найти вероятность
того, что хотя бы одному из студентов не достанется задача по теории вероятности.
Аi -студенту достанется задача по теории вероятности
А - всем достанется задача по теор. вероят.
А = А1 А2 А3
А - хотя бы одному не достанется задача по теор.вероят.
_
Р (А) = 1 - Р(А) = 1- Р (А1 А2 А3) = 1 - Р *(А3) * Р (А1 А2) = 1-Р *(А3) * Р *
А1А2 А1А2 А1
*(А2)*Р (А1)= 1 - 15 * 14 * 13 = 0,265
28 27 26
В ящике содержится 6 деталей, изготовленных на 1-м заводе, 2 детали на 2-м заводе
и 4 детали на 3-м заводе. Вероятность брака на заводах равна 19 , 19 и 59
20 50 100
Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь будет качественная.
Н1 - деталь с 1-го завода
Н2 - деталь со 2-го завода
Н3 - деталь с 3-го завода.
Р(Н1) = 6 = 1 ; Р(Н2) = 2 = 1 ; Р(Н3) = 4 = 1
12 2 12 6 12 3
А - извлеченная деталь качественная
_ _ _ _
Р (А) = Р *(А) * Р (Н1) + Р *(А) * Р (Н2) + Р *(А)*Р (Н3) =19 * 1 + 19 * 1 + 59 *1=147=
Н1 _ Н2 Н3 20 2 50 6 100 3 200
Р (А) = 1 - Р (А) = 53/200
__________________________________________________________________________________________
Независимые вероятные величины Х,У представляют только целые значения
Х: от 1 до 16 с вер-ю 1
16
У: от 1 до 23 с вер-ю 1
23
Р ( Х+У = 32)
Х У Р (Х=9; Х =23) = P (Х=9) * Р (У = 23) = 1 * 1
9 23 16 23
10 22
P ( X+y=32 )=P ( X=8, y=23 ) + P ( X=10; y=12 )+…+P ( y=16,X=16 )=
16 16 = 8* 1 * 1 = 1
23 46
_________________________________________________________________________________________
Независимые случайные величины Х , У принимает только целые значения.
Х: от 1 до 14 с вероятностью 1
14
У: от 1 до 7 с вероятностью 1
7
Найти вероятность того, что Р (Х У)
Если У = 7, то 1 Х 6 1 * 6
14
Если У = 6 то 1 Х 5 1 * 5
7 14
Если У = 5 то 1 Х 4 1 * 4
14
Если У = 4 то 1 Х 3 1 * 3
14
Если У = 3 то 1 Х 2 1 * 2
14
Если У = 2 то 1 = Х 1 * 1
7 14
Р (ХУ) = 1 * 6 + 1 * 5 + 1 * 1 = 1+2+3+4+5+6 = 21 = 3
7 14 7 14 7 4 7 * 14 714 14
_________________________________________________________________________________________
Независимые величины Х1……Х7 принимают только целые значения от
0 до 10 с вероятностью 1
11
Найти вероятность того , что Р(Х1…….Х7) = 0
Р (Х1……Х7 =0) = 1-Р (Х1….Х7 0) = 1- Р( Х10….Х7 )=1-Р( Х10 )*Р (Х20)
7
*….* Р(Х70) = 1 - 10 * 10 = 1 - 10
11……. 11 11
7 раз
Независимые случайные величины Х, У, Z принимают целые значения
Х: от 1 до 13 с вероятн-ю 1
13
У: от 1 до 12 _____/_____ 1
12
Z от 1 до 9 _____/_____ 1
9
Вероятность того, что Х;У;Z. примут разные значения?
Пусть “Z” приняло какое-то значение “а”. Р (Уа) = 11
12
Пусть при этом У= в
Р (Z a; Z в) = 11 ; Р = 11 * 11
13 12 13.
_______________________________________________________________________________________
10.
м = М (Х) - ? М (Х) = 0,1+1,6+3,5 = 5,2
Р ( Х м) - ? Р ( Х 5,2) = Р(Х=1) + Р(Х=4) = 0,5
___________________________________________________________________________________________
11.
Д (Х) - ?
М(Х) = 0,4+0,9+2,5=3,8
2
М (Х ) = 0,8+2,7+12,5 = 16
2 2 2
Д (Х) = М (Х ) - М (Х) = 16 - 3,8 = 1,56
______________________________________________________________________________________________________________
12. Независимые величины Х1,…….,Х9 принимают целое значение - 8, - 7,…..,5,6
с вероятностью 1
15 9
Найти М (Х1,Х2,…..,Х9) * М (Х2,….,Х9) = М (Х1) * М(Х2)*….* М(Х9) =М (Х9)
М (Х1) = 8 * 1 - 7 * 1 * 6 * 1 - … + 5 * 1 + 6 * 1 = 1 (-8-7-5….+5+6) = -1
15 15 15 15 15 15
9 9
= М (Х1) = ( -1) = -1
13.
|
Х | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | |
Р | 0,25 | 0,2 | 0,2 | 0,2 | 0,25 | |
|
м= М (Х)-? М (Х) = 2 + 2 + 1,2 + 2,8 + 4 = 12
д(Х) -? 2 2
Р ( (Х-м) ) Д (Х) = М (Х - М (Х) ) = М (Х-12)
|
Х-12 | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | |
Р | 0,25 | 0,2 | 0,1 | 0,2 | 0,25 | |
|
2
М (Х-Р) = 8+1,6
_____
(Х) = (Х) 3,1
Р ( Х -12 3,1 ) = Р (-3,1Х -12 3,1) = Р (8,9Х15,1) =
= Р (Х=10) + Р (Х=12) + Р (Х=14) = 0,5
___________________________________________________________________________________________________________
14. Х, У - неизвестные случайные величины
М (Х) = 3 8 2 2 2 2 2
М (У) =2 Д(ХУ) = М( ХУ ) - М (ХУ) = М (Х ) * М (У ) - [ М (Х)*М (Х)] =
Д(Х) = 4 2 2 2 2
Д(У) = 8 Д (Х)=М(Х ) - М (Х) = М (Х ) = Д (Х) + М (Х) = 4 + 9 = 13
Д (Х У) 2 2
М (У ) = Д (Х) + М (У) = 8 + 4 = 12
2
= 12*13 - (2 * 3) = 156 - 36 = 120
__________________________________________________________________________
15. Х, У - независимые неизвестные величины. Принимают значение 0 и 1.
Р (Х=0) = 0,3 2 2 2 2 2
Р (У=0) = 0,6 М(Х+У) + М (Х + 2ху +у ) = М (Х ) +2М (Х) * М (У) + М (У ) = 2 М (Х+У)
2М (Х) = 0,7 = М (Х ) 2М (У) = 0,4 = М ( У ) = 0,7 + 2 * 0,7 * 0,4 + 0,4 =
1,6616. Х, У независимые неизвестные величины Принимают значение 0 и 1. (задание как в 15).
х - у М (3 ) - ? х-у х -у х -у М (3 ) = М (3 * 3 ) =М (3 ) * М (3 ) = 2,4 * 2 = 1,6 3
Х -уМ (3 ) = 0,3 + 2,1 = 2,4 М (3 ) = 0,5 + 0,5 = 4 * 0,5 = 1 3 3 3_____________________________________________________________________________________________________________17. Производится 10240 независимых испытаний, состоящих в том, что подбрасываются 9 монетХ - число испытаний, в которых выпало 3 гербаМ (Х) -?1-испт. - 9 монет 9 испытаний Р = 1 2 3 3 6 3 9Р(Г = 3) = С9 * ( 1 ) * ( 1 ) = С9 * ( 1 ) = 84 * 1 - 21 = … 2 2 2 512 128n = 10240 испытанийР = 21 ; М (Х) = np = 21 * 10240 =
168012818. В серии независимых испытаний (одно испытание за ед.времени) вероятность наступления А равна 1 8.Пусть Т-время ожидания наступления события А 14 раз. Найти М (Т)1 Д (Т).Х1 - время ожидания до первого наступления АХ2 - время ожидания от первого наступления А до 2-го Т = Х1 + Х2 +Х3 + …..Х14Хi Р = 1 8 7/8М (Хi) = 1 = 8 ; d = 7 Д (Хi) = d = = 56 8 8 2 2 p 1/8 М (Т) = 14М * (Х1) 14 * 8 =
112Д (Т) = Д(X1 ) = 14 * 56 =
78419. Величины Х1 …..Х320 распределены по Биноминальному закону с параметрами
п =4, р = 3 Найти М (Х1 + Х2 + …+ Х320)=?
8
2 2 2
М (Х1 + …..+Х 320) = 320М (Х1 ) = Х1 - биноминальное
2 2 М (Х1) = пр = 3
= М(Х1 ) = Д(Х1) + М (Х1) = 2
2 Д (Х1 ) = nрq = 3 * 5 = 5
= 15 + 3 = 15 + 9 = 51 2 8 16
16 2 16 4 16
= 320 * 51 = 1020
16
_____________________________________________________________________________________________________________________
20. Величины Х1 …..Х18 распределены по закону Пуассона с одинаковым
мат. ожиданиям равным 8.
2 2
Найти М (Х1 +…+ Х18 ) - ?
M (Х) = Д (Х) = = 8
2 2 2 2
М (Х1 +…+ Х18 ) = 18 М (Х1 ) = 18 (Д (Х1) + М (Хi ) )=18(8 + 64)=18 * 72=1296
_________________________________________________________________________________________________________
21. Х - равномерно распределён на отр. - 8,2
Р ( 1 )5 = Р (0 Х 1 ) = (0 Х 0,5) =
Х 5
1 - 5 0 ; 1 - 5Х 0; Х -1/5 0 (0 Х 0,5)
Х Х Х
1 - 5Х 0; Х - 1/5 0
Х Х
х, в
0,Ха 0; Х а
f (Х)= 1 ; а Х в F (Х) = х - а ; а Х а 0 Х 1/5
в -о в -а
0,Х в 1, Х B
F (Х) = Х + 8 = F (1/5) - F ( 0 ) =1/5 + 8 - 8 = 1
5 10 10 50
_______________________________________________________________________________________________________________________
22. Х - равномерно распределена на отр. -17; 10
2 2
Р ( Х 64) = 1- Р ( Х 64) = 1 - 16
27
2
Р (Х 64 ) = Р (-8 Х 8) =
0; Х -17
F(Х) = Х + 17 , -17 Х 10
27
1, Х 10
= F (8) - F (-8) = 8 + 17 - -8 + 17 = 16
27 27 27
______________________________________________________________________________________________________________
23. Х - равномерно распределена на отр. -1; 1
8/9 X [a,b] ; f (x)
М ( Х ) a 0; x <-1
M(x)= ? x f(x) dx f (x)= -1<x<1
b 0; x>1
a
M((x))=? (x) f (x) dx
b
8/9 1 8/9 17/9 1
M(X ) = ? Ѕ* X DX = Ѕ * X = 9/17
-1 17/9 -1
24. Х - равномерно распределена на отр. 0.1
9/10 9/10
Д ( 19Х ) = 361 (Х )
9/10 9/10 2 2 9/10 9/4 2 9/10 9/10 * 2
Д (Х ) = М ( (Х ) ) - М (Х ) = М (Х ) - М (Х ) Х
__________________________________________________________________________________________________________
25. Х - равномерно распределена на отр. 5; 8 * Д (24x+ 36) - ?
Д (24Х + 36) = Д (24Х) = 576 * Д (Х) = 576 * 3 = 432
2 4
Д (Х) = ( в - а )
12
2
Д (Х) = 8 - 5 = 9 = 3
12 12 4
_______________________________________________________________________________________________________________
26. Х1,……Х2 - Независимые и распределенные по показательному закону.
2
Найти М (Х1 + Х2 + …..+ Х10) , если М (Хi ) = 4.
М (Х) = 1
Д (Х) = 1
2
M (Хi ) = Д (Хi) = 16
2 2 2
М (Х1 +….+ Х10) =Д(Х1 +…+ Х10) + М (Х1 +….+ Х10) =10Д (Х1)+ 10М (Х1) =
2
= 160 + ( 10 * 4) = 1760
_________________________________________________________________________________________________________________
2
М(Х) =1/ ; Д(Х) = 1/
27. Х -распределен по показательному признаку
2
Найти М [ (Х + 8) ] , если Д (Х) = 36 М (Х)=6
2 2 2 2
М (Х + 8) = M(Х + 16х + 64) = М (Х ) + 16М (Х) + М (64) = Д (Х) + М (Х) +
+ 16 М(Х) + 64 =36 + 36 + 96 + 64 =232
____________________________________________________________________________________________________________
28. Х -показательное распределение; Х - показательный закон
0, Х < 0
F (Х) = -2х
1 - е , Х >0, Найти Ln (1 - Р ( Х < 6) ) = Ln (1 - F (6) ) =
-6/7 -6/7 -6/7
= F (6) = 1 - е = Ln ( 1 - (1 - е ) ) = Ln е = - 6/7
29. (Х) - случайная величина
0, Х < 10
ѓ (Х) = С ; Х ? 10
5
Х
С - ? ; М (Х) - ?
опр. B -5
? ѓ (Х)dх = 1 = ? с dх = lim ? = cdx = C lim ? X dx =
10 10 5 b-> 10 5 b-> 10
Х X
b
-4 -4 4 4 4
= C * lim X = C lim - b + 10 = C * 10 = 1 = C 10 =
b-> -4 b-> 4 4 4 4
10
4
= C = 4 * 10
0; Х 10
ѓ (Х) = 4
4 * 10 , Х 10
5
Х
4
М (Х) = ? Х ѓ (Х) dx = ? 4 * 10 dx
10 10 4
Х
_________________________________________________________________________________
30. Х - нормальная случайная величина
М (Х) = 16
Д (Х) = 25
? - Р (Х10,5)
= 1 - 10,5 - 16 = 0,5 + (1,1) = 0,5 + 0,364 = 0,864
5
________________________________________________________________________________________
Р (d X b ) = b - m - d - m
2. P ( X b ) = 1 + b - m
3. P ( X b ) = 1 - b - m
2
