Теорема Дирихле
Содержание
- Введение 2
- 1. Характеры 3
- 1.1 Определение характера. Основные свойства характеров 3
- 1.2 Суммы характеров. Соотношение ортогональности 6
- 1.3 Характеры Дирихле 8
- 2. L-функция Дирихле 13
- 3. Доказательство теоремы Дирихле 29
ВведениеПростые числа расположены в натуральном ряде весьма неравномерно.
Целью данной работы является доказательство следующей теоремы о простых числах в арифметической прогрессии.
Теорема Дирихле. Если разность и первый член арифметической прогрессии есть взаимно простые натуральные числа, то она содержит бесконечное множество простых чисел.Пусть
mn + l, n=1,2, …,прогрессия, удовлетворяющая условию теоремы.Условие (
m, l)=1, наложенные на числа m и e в формулировке теоремы, естественно, поскольку в случае, когда
d=(
m, l)>1, все члены прогрессии делятся на
d и поэтому не являются простыми числами.Сформулированная теория была впервые высказана Л. Эйлером в 1783 г. В 1798 г. А. Лежандр опубликовал доказательство для четных
m, использовавшее, как выяснилось позднее, одну ошибочную лемму.Полностью доказал теорему в 1837-1839 гг. Петер Густав Лежен-Дирихле (1805-1859), немецкий математик, автор трудов по аналитической теории чисел, теории функций, математической физике.В 1837 г. вышли две работы Дирихле, посвященные теореме о простых числах в арифметической прогрессии. Они содержали формулировку теоремы в общем виде, однако доказательство приводилось только для случая, когда разность прогрессии есть простое число. В конце второй работы содержится построение характеров для произвольного модуля и некоторые утверждения о том, как можно доказать утверждение
L (1,?)0 для неглавных характеров x в одном случае. В 1839 г. Дилихле опубликовал полное доказательство теоремы о простых числах в арифметической прогрессии. С тех пор она носит его имя.
1. Характеры1.1 Определение характера. Основные свойства характеровХарактером (от греческого хара???p-признак, особенность) ? конечной абелевой группы G называется не равная тождественно нулю комплекснозначная функция, определенная на этой группе и обладающая тем свойством, что если, А
G и B
G? (АВ)= ? (А) ?(В).Обозначим через Е единичные элементы в группе G и через А-1 обратный элемент для А
GХарактеры группы G обладают следующими
свойствами:
1. Если Е-единица группы, то для каждого характера ?? (Е)=1
(1.1)Доказательство. Пусть для каждого элемента А
G справедливо неравенство1(А)=(АЕ)= (А) ? (Е)Из этого равенства получим, что (Е)0. Теперь из равенства (Е)= (ЕЕ)= (Е) (Е)=1следует равенство (1.1)
2. (А) 0 для каждого А
GДействительно, если бы ? (А) =0 для некоторого А
G, то (А) ? (А-1)= (АА-1)= ? (Е)=0,а это противоречит свойству 1.
3. Если группа G имеет порядок h, то Аh=Е для каждого элемента А
G Следовательно,1= ? (Е)= ? (Аh)= ? (А)h,то есть ? (А) есть некоторый корень степени h из единицы.Характер ?1, обладающий свойством ?1(А)=1 для каждого элемента АG, называется
главным характером группы
G. Остальные характеры называются неглавными.
Лемма 1. Пусть
Н подгруппа конечной абелевой группы
G, причем
G/H - циклическая порядка
n, тогда для каждого характера ?H - подгруппы
Н существует ровно
n характеров.
Доказательство. Рассмотрим группу
G=gkH, причем gnH=H, gnH и gn=h1=1.Для каждого элемента X
G существует и притом единственное к=кх и hх=h такое, что если 0 кх <n, то X= gkх hх=gkh. Возьмем еще один элемент группы
G, Y= gm hy, где 0 m<n. Перемножим эти два элементаХY= gк+m hhy.Определим характер ? (X).? (X)= ? (gк h)= ? (gк) ? (n)= ? к (g) ? H (h).В данном выражении неизвестным является ? (g).? n (g)= ? (gn)= ? (h1)= ? H(h1) - данное число.
? (g)= - n корней из 1,то есть ?јn=?n(g)= ? H(h1), получаем xk (g)= ?јn. Следовательно, x(g)= ?1, …, ?nИз полученных равенств получаем:? (X)= ? k (g) ? H(hx)= ?jkx ? H (hx)? (Y)= ? m (g) ? H(hy)= ?jky ? H (hy)Определим умножение характеров? (X) ? (Y)= ?jky ? H (hy) ?jk-x ? H (hx)= ?jkx+ky ? H (hx) ? H (hy)= jk+m ? H (hhy)Для того чтобы определение выполнялось, необходимо рассмотреть степень gkx+kx. Возможны два случая:1) Если 0 кх + ky<n, токх + ky= kxy,; hxhy = hxy.В этом случае определение выполняется.2) Если n кх + ky<2n-1, то получимкх + ky = n + kxy..ТогдаXY= g kx+ky hxhy=ghgkx+ky-n hx hy=gkx+ky-n h1hxhyВ свою очередь 0 кх + ky - nn-1 kx+ky - n=kxy, h1hxhy = hxy.? (XY) = ?j kх+kу ?н (hxу) = ?j kх + kу - n ?н (h1) ?н(hx) ?н (hy) = ?jкх ?j ку ?j- n ?н (h1) ?н(hx) ?н (hy) = ?j кх ?н (h1х) · ?j ку ?н(hy) = ? (X) ?(Y).Лемма доказана.5. Характеры конечной мультипликативной абелевой группы
G образуют конечную мультипликативную абелевую группу G.Под произведением двух характеров ?' и х ?'' группы G будем понимать характер х, определяемый следующим свойством:? (AB) = ?' (A) ?'' (В)Для любого элемента АG, имеем:? (АВ) = ?' (АВ) ?'' (АВ) = ?' (А) ?' (В) · ?'' (А) ?'' (В) = ?(А) ?(В)Таким образом, получаем ? ' ? '' действительно является характером.Роль единичного элемента группы G играет главный характер ?1Обратным элементом G является:?2 (g1 g2) = == = ?2(g1) ?2(g1)
1.2 Суммы характеров. Соотношение ортогональностиПусть G - конечная мультипликативная абелева группа порядка h. Рассмотрим сумму:S = ,где А пробегает все элементы G, и суммуТ = где пробегает все элементы группы характеров G.Рассмотрим чему равна каждая из сумм.а) Если В-фиксированный элемент группы G и А пробегает все элементы G, то АВ также пробегает все элементы группы G. Следовательно,S· (В) = (В) = = = S.Получили S (В) = S, откуда следует, что ( (В) - 1)·S = 0. Следовательно, возможны два варианта:1) S = 0, то (В) - негативный характер2) S?0, то (В) = 1 для каждого элемента В€G и в этом случае (В)= 1(В) есть главный характер и сумма S равна порядку h группы G. Таким образом,S = =
(1.2)б) Если мы умножим сумму Т на некоторый характер ' группы G, то аналогичным образом получим' (А) Т = ' (А) = = Т,Следовательно,1) или Т = 0, то А ?Е2) или Т ? 0, то ' (А) = 1 для каждого характера '€ G. В этом случае согласно свойству 3§ 1, имеем А=Е. И тогда Т=h. Таким образом,Т = =
1.3 Характеры ДирихлеПусть m - положительное целое число. Определим числовые характеры по модулю m. Мы знаем, что (m) приведенных классов вычетов по модулю m образуют мультипликативную абелеву группу порядка h=(m). Мы можем, следовательно, рассмотреть характер этой группы. Но определение характера для приведенных классов вычета по модулю m можно перенести на множество целых чисел следующим образом. Положим(а)= (А), если аА,где А - приведенный класс вычетов по модулю m. Тогда очевидно, (а)= (b) (mod m), и (ab)= (а) (b), если (а, m)=(b, m)=1. Поскольку (А)0 для каждого приведенного класса вычетов А, то (а)0, если (a, m)=1.Это определение применимо только к целым числам а, которые взаимно просты с m.Мы можем рассмотреть его на все целые числа, положив(а)=0, если (a, m)>1.Следовательно, характер по модулю m есть арифметическая функция , обладающая следующими свойствами:(а)= (b), если с=b (mod m)(ab)= (a) (b) для всех целых a и b(а)=0, если (a, m)>1(а)0, если (a, m)=1Имеется точно (m) - количество характеров по модулю m, где (m) - количество положительных целых чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m. Они образуют мультипликативную абелеву группу приведенных классов вычета по mod m. Единичным элементом этой группы будет главный характер 1, то есть такой характер, что 1(а)=1, если (а, m)=1. Далее имеем следующее соотношение ортогональности:= = Пусть m - положительное целое число. Определим числовые характеры по модулю m. Комплекснозначная функция, определенная для всех целых чисел n, называется числовым характером или характером Дирихле по модулю m, она удовлетворяет следующим условиям:а) (n) = 0 тогда и только тогда, когда (n, m) ? 1б) (n) периодична с периодом mв) для любых чисел а и b (аb) = (а) (b)Функция1(n) = является числовым характером и называется главным характером. Остальные числовые характеры по модулю m называются неглавными.Имеет место следующее утверждение о числовых характерах.
Теорема 1 Существует равно ?(m) числовых характеров по модулю m. Если = (n) - числовой характер по модулю m, то:1) для n, взаимно простых с модулем m, значения (n) есть корень из 1 степени ?(m).2) для всех n выполняется неравенство / (n)/ ?13) Имеет место равенство4) Для каждого целого числа n =
Доказательство. Пусть (n) - некоторый числовой характер по модулю m. Из пункта б) определения следует, что (n) задает некоторую функцию '() = (n) на мультипликативной группе классов вычетов по модулю m, взаимно простых с m, а именно'() = (n)Здесь обозначает класс вычетов по модулю m, содержащий n. Так как (1) ? 0, то '() не равняется тождественно нулю, а из пункта в) определения числового характера следует, что '() = '() = ' (
ab) = (
a) (
b) = '()'().Таким образом, '() есть характер модультипликативной группы Gm.Обратно, по каждому характеру '() группы Gm можно построить числовой характер (n) по модулю m, положивУстановленное соответствие является взаимнооднозначным. И все утверждения теоремы 1 следуют из доказанного выше для групповых характеров применительно к группе Gm, если учесть, что порядок группы Gm равен ?(m), где ?(m) - функция Эйлера.В дальнейшем требуется еще одно утверждение с числовых характерах. Обозначим для каждого , ? 1Где суммирование ведется по всем натуральным числам n, не превосходящим .Лемма 2. Пусть (n) - неглавный характер. Тогда для каждого , ? 1 справедливо неравенство/S(x)/<mДоказательство. Функция (n) периодична с периодом m и по теореме з0, так как ? 1Поэтому, представив [] - целую часть числа - в виде []=m1+z, 0zm, будет иметьS() =S([])=qВ виду равенства /(n)/1 отсюда получили S()zm
2. L-функция ДирихлеПусть х(п) - произвольный характер по модулю m. Рассмотрим ряд, (2.1)члены которого являются функциями комплексного переменного S. В области сходимости он определяет функцию, которая называется L-функцией Дирихле, соответствующей характеру (n), и обозначается L (s, ).Лемма 31. Если 1, то ряд (1) сходится в области ReS > 0 и определяемая им функция L (s, ) является аналитической в этой области.2. Ряд, определяющий L (S, 1), сходится в области ReS >1. Функция L (S, 1) является аналитической в области ReS > 1.Доказательство.Пусть (n) - произвольный характер по модулю m, а б - некоторое положительное число. Так как /(n)/ 1, то в области ReS > 1 + б справедливо неравенствоСледовательно, ряд (1) равномерно сходится в области ReS > 1 + б. Определяемая им функция L (S, ) по теореме Вейерштрасса о сумме равномерно сходящегося ряда аналитических функций является аналитической в этой области. Ввиду произвольности 6 это доказывает второе утверждение Леммы.Для неглавных характеров (n) потребуется более сложное исследование ряда (1).Лемма 4 (преобразование Абеля).Пусть an, n=1,2,…, - последовательность комплексных чисел, >1,А()=а q(t) - комплекснозначная функция, непрерывно дифференцируемая на множестве 1tТогда (2.2)Если жето (2.3)при условии, что ряд в левой части равенства сходится.Доказательство. Положим А(0)=0 и В(х) равным левой части равенства (2.2). Тогда при любом натуральном Nтак как А(0)=0. Далеепоскольку функция А(х) постоянна на каждом полуинтервале nt<n+1. Следовательно, равенство (2.2) доказано при целых значениях х.пусть х1 - произвольное число. Положим N=[x]; значит, NxN+1. Тогда А(х)=А(N), B(x)=B(N), аСледовательно,Тем самым доказано, что равенство (2.2) верно и для нецелых чисел значений х.Равенство (2.3) получаем из равенства (2.2) переходом к пределу при х. Лемма доказана.Воспользовавшись леммой 4, получим следующее равенство (2.4)гдефункция, введенная Лемме 4.Для s = +it из области ReS = , где - некоторое положительное число, пользуясь леммой 4, находимПоэтому интегралсходится в области ReS > . Поскольку в этой области выполняется неравенството из равенства (2) следует, что ряд (1), определяющий функцию L (S, x), сходится в области ReS > . Эти рассуждения справедливы для любого положительного числа . Значит, ряд (1) сходится в полуплоскости ReS > 0.Из равенства (2) следует, что в этой полуплоскости для L-функции, соответствующей неглавному характеру (n), справедливо представление (2.5)так какИнтеграл, стоящий в правой части равенства (2.5), можно также представить в виде (2.6)Члены ряда (2.6) являются аналитическими функциями в области ReS >, что следует из равенствПри этом использовано, что на полуинтервале nх< n+1 функция S(х) принимает значение S(n). Посколькуто ряд (2.6) равномерно сходится в области ReS >. Отсюда, как и выше, получаем, что сумма его, т.е.является аналитической функцией (по теореме Вейерштраса) в области ReS >.Из представления (2.5) следует теперь, что L (S, x) есть аналитическая функция в полуплоскости ReS >, а ввиду произвольности S - и b полуплоскости ReS > 0.Следствие. Пусть (n) - произвольный характер. Тогда в области ReS > 1 справедливо равенство (2.7)Это следует из того, что ряд (2.1) по доказанному равномерию сходится в области ReS>1+, где >0. Следовательно, по теореме Вейштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функций в этой области ряд (2.1) можно почленно дифференцироватьПоэтому в полуплоскости ReS>1+ выполняется равенство (2.7). Так как в этом рассуждении -любое положительное число, то равенство (2.7) будет справедливо в полуплоскости ReS>1.Для L-функций имеет место представление в виде бесконечного произведения по простым числам, аналогичное тождеству Эйлера. Рассмотрим вспомогательную Лемму.Лемма 5. Пусть функция f(n) вполне мультипликативна и ряд (2.8)абсолютно сходится. Тогда выполняется равенство (2.9)Доказательство. Отметим прежде всего, что /f(n)/<1 при любом натуральном n>1. В противном случае при каждом m/f(n)m/=/f(n)/m1,что противоречит сходимости ряда (2.6). Поэтому при каждом простом р рядабсолютно сходится, и его сумма как сумма бесконечно убивающей геометрической прогрессии равна (1-f(р))-1. Кроме этого, в силу абсолютной сходимости, ряды можно перемножить. Перемножая конечное число таких рядов и используя то, что f(n) есть вполне мультипликативная функция, получимгде ne = p … ps и в сумме в правой части равенства содержатся такие и только такие слагаемые f(ne), что все просты делители ne не превосходят х. Следовательно, в разностиостаются те и только те слагаемые f(me), для которых у числа me имеется хотя бы один простой делитель р>x. Тогда оценим разность/S-S(x)/и из абсолютной сходимости ряда (2.8) следует, чтоЭто доказывает, что бесконечное произведение (2.7) сходится и выполняется утверждение Леммы.Лемма 6. Для каждого характера (n) в области ReS > 1 справедливо представлениеДоказательство. Эта лемма является следствием Леммы 5, поскольку функция (n) вполне мультипликативна, то есть (АВ)= (А) (В), и выполняется неравенство /(n)/ 1 по теореме 1.Следствие 1. В области ReS > 1 для главного характера 1(n) по модулю m справедливо равенство (2.10)и поэтому функция L (S, 1) может быть аналитически продолжена в область ReS > 0, где она имеет единственный полюс (первого порядка) в точке S=1.Действительно, по определению главного характера 1(n) имеет место равенствоПоэтомуПользуясь теперь тождеством Эйлера для дзета-функции Римана получаем равенство (2.10). Остальные утверждения легко следуют из этого равенства, поскольку дзета-функция является аналитической в области ReS > 0 с единственным полюсом первого порядка в точке S = 1.Следствие 2. Для каждого характера функция L (S, x) не обращается в нуль в области ReS > 1.Доказательство.Если = ReS > 1. тоПользуясь неравенством для дзета-функции Римана, находимПолучаем:L (S,) ? > 0Теперь докажем утверждения, что L - функция, соответствующая неглавному характеру , точке S =1 отлична от нуля.
Теорема 2. Если - неглавный характер, то L (1, )?0Для доказательства рассмотрим 2 случая1. Пусть характер - комплексное число, не является действительным. Тогда характер 2(n) не является главным. В этом случае доказательство теоремы будет основываться на тех же идеях, что и доказательство отсутствия нулей дзета - функции на прямой ReS=1.
Лемма7. Пусть 0<
ч<1, а х - действительное число, тогда выполняется неравенство /(1 -
ч)3 (1 -
чеix)4 (1 -
че2ix)/-1 ? 1Доказательство.Для всех z из круга /z/<1 имеет место расположение-
ln (1 - z) =
(2.11)Так как ln(t) = Re lnt, то обозначая М (
ч ?), левую часть неравенства (2.11), получимlnM (
ч ?) = 3ln (1 -
ч) - 4 ln (1 -
чеi4) - ln (1 -
че2i4) = - 3ln (1-
ч) - 4Reln/1 -
чеi4/ - Reln/1 -
че2i4/=rc (3+4e)inl /1-rei4/= (3+4cosnl+2cos2nl)= (2+4cos+1+cos2)=1 (1+cos)20ln=M (r, l)=0Следовательно, M (r, l)=1 доказана.Из леммы 7 следует, сто при любом действительном S>1 выполняется равенство:
|L3(8, 1) L4(S, ) 4 (S, 4) 1 = П (1- )3(1- )4(1- )|-1 (2.12)Получая в лемме
ч =
р-s, т.е.0<
ч =
1(р)<10<
р-s <1
(р) р-s =
чеi4, в силу того что
(р) - комплексное
(р) р-s = че2i4Получаем, что каждый сомножитель в правой части равенства (f) не меньше 1 и, следовательно, при любом S>1 выполняется равенство:|L3(S1) · L4(S) L (S2)| ? 1 (2.13)Допустим, что для некоторого характера (2?1) выполняется равенствоL (1, ) = 0 (2.14)Оценим сверху левую часть неравенства. Из оценки дзета-функции Римана?(S) ? , следует, что при S € R, S>1 выполняется неравенствоа) 0 < 4 (S, 1) = получили 0<L (S, 1)?б) Функция L (S, ) разложим в ряд ТейлораL (S, ) = Cp + C1 (S - 1) + C2(S - 1)2 +… + Cn(S - 1)n +…Предположим, что у нее есть нуль L (1, ) = 1; тогда С0 = 0Перепишем разложение L - функции в рядL(S) = Cк (S - 1)к + Ск+1(S - 1)к+1 = (S - 1)1 (Cк + Ск+1(S -1) +….), где к?1, Ск ? 0, т. к. S>1| L (S, )| = |S - 1|k| Ck + Ck+1(S - 1) +….| ? 2 Ck|S - 1)k, при |S - | < rФункция L (S, 2) в точке S = 1 не имеет полюса, следовательно не имеет особенности. Это в силу того, что комплексное и 2?1Получаем неравенство:L (S, 2) ? C,При условии | S - 1|< ?Учитывая все неравенства и оценки| L3 (S, ) L4(S, ) L (S, 2)| = ()3 · 24 |Ck|4 (S - 1)4k· C?1Следовательно, это неравенство становится противоречивым, если перейти к пределу при S>1+0. Полученное противоречие показывает, что равенство (2.14) не выполняется.2. Рассмотрим - вещественный характер, т.е. принимающий только вещественные значения, несовпадающий с главным характером
Лемма 8. Пусть - вещественный характер.Рассмотрим функциюF(S) = ?(S) L (S, x) (2.15)Докажем, что если Re S>1, то (2.16)представляется рядом Дирихле, которого справедливы следующие утверждения:1) Все коэффициенты
аn ? 02) при n=k2, k € / N(N)/
аn?13) В области ReS<1 можно почленно дифференцировать, то естьF (k) (S)= (-1)k(ln n)k k=1,2…; (2.17)4) Ряд (1) в точке S=1/2 расходится.Доказательство. В области ReS > 1 ряды, определяющие функции S(S) и L (S,), абсолютно сходятся, поэтому их можно перемножить:где (2.19)Пусть - расположение числа n в произведение простых сомножителей. Тогда все натуральные делители l числа n имеют вид поэтому из равенства (14) находим, чтогде ani = 1+ (pi)+ … +Li (pi), i=1,…, m (2.21)так как - вещественный характер, то он может принимать только три значения: 0, 1, -1. Из равенства (2.21) следует, что (2.22)Во всех случаях числа ani0, а значит, и an=an1 … anm0Если же число п является полным квадратом, тоN=k2=p/2 … pm 2,и из равенств (2.20) и (2.22) следует, что аn 1При любом > 0 в области ReS> 1 + выполняется неравенствоРяд (2.18) сходится в области ReS > 1. Поэтому по признаку Вейерштрасса ряд (2.16) сходится равномерно в области ReS > 1 + , а по теореме Вейерштрасса его можно в этой области почленно дифференцировать любое число раз. Следовательно, в области ReS > 1 + выполняется равенство (2. 17), а в силу произвольности оно выполняется и в области ReS > 1.Однако ряд (39) расходится, так как по второму утверждению леммыРяд (2.16) при S = имеет неотрицательные члены. Поэтому, если бы он сходился, то также сходился бы ряд (2.23)Следовательно, ряд (2.23) расходится. Лемма доказана.Переходим непоредственно к доказательству второго случая теоремы. Допустим, что L (1,) = 0. Тогда полюс дзета-функции будет компенсироваться в произведении S(S) L (S, ) нулем функции L (S, ).Поэтому функция (2.15) F(S) будет аналитической в области ReS > 0 так как в точке S=1 у F() - устраненная особая точка. Следовательно, ее можно разложить в ряд Тейлора в точке S = 2: (2. 24)радиус сходимости которого не меньше 2 R2/Из равенств (2.17), в частности S=2, находим (2.25)В радиусе сходимости будет брать не все S, а только вещественные ReS= S=(0,2). Пользуясь разложениями (18) и (19), находимЧлены двойного ряда неотрицательны, поэтому он сходится абсолютно, и в нем можно поменять порядок суммирования. ТогдаСледовательно, ряд (2.16) сходится во всех точках, < (, 0, 2), и в точке , а это противоречит четвертому утверждению леммы. Поэтому L (S,)0/Этим завершается доказательство теоремыПо следствию 2 леммы 2 функция является аналитической в области ReS > 1. Для дальнейшего доказательства теоремы Дирихле нам будет необходимо представление этой функции в виде ряда, аналогичного ряда (2.16).Лемма. Для каждого характера (n) в области ReS > 1 справедливо равенство (2.26)Доказательство.Так как S=+it имеет место неравенствополучаем, что ряд стоящий в правой части равенства (2.26), абсолютно сходится в области >1. Умножим этот ряд на ряд определяющий L (S, ). ПолучилиПредпоследнее равенство имеет место ввиду равенства ), а последнее - по следствию из леммы 3, равенство 2.7.
3. Доказательство теоремы ДирихлеТеорема. Если разность и первый член арифметической прогрессии есть взаимно простые натуральные числа, то она содержит бесконечное множество простых чисел.Доказательство.Рассмотрим равенство (2.26), которое справедливое по Лемме в области ReS > 1. Поскольку (n) = 0 для всех n, не являющихся степенями простых чисел, то все отличные от нуля члены ряда в правой части (2.26) имеют видгде р - простое и k - натуральное числа. Ряд (2.26) абсолютно сходится, следовательно, его можно представить в виде двойного ряда) и, значит, в области ReS > 1 (3.1)Второе слагаемое в правой части этого равенства равномерно ограничено по s в области ReS3/4. Действительно, если S=+it, 3/4, тоСледовательно, при S1+0 для каждого характера имеет место равенство (3.2)Здесь и в дальнейшем s 1 + обозначает, что S стремится к 1 по действительной оси справа.Пусть - некоторое натуральное число, удовлетворяющее сравнению (3.3)Умножим обе части равенства (3.2) на () и просуммируем получившиеся равенства по всем числовым характерам . Тогда получим (3.3)Если простое число р удовлетворяет сравнению р l (mod m), то p ? 1 (mod m), и по теореме 1Если же p?l (mod m), то p? 1 и по той же теоремеТаким образом, равенство (3.3) можно переписать в виде (3.4)По лемме 3 и теореме 2 для неглавного характера функция является аналитической в точке S = 1. Поэтому для таких характеров при S 1 + 0 имеем (3.5)По следствию 1 леммы 4 функция L (S, 1) имеет в точке S=1 полюс первого порядка. Значит, при S1+0 (3/6)Учитывая равенства (3.5) и (3.6.) из равенства (26) получаем, чтоТак как число удовлетворяет сравнению (3.3), то (, m) = 1 и 0()=1. Итак, при S1+0
(3.7)Правая часть равенства а (3.7) при S1+0 имеет бесконечный предел. Значит, сумма, стоящая в левой части этого равенства, имеет бесконечное множество слагаемых. Поэтому существует бесконечное множество простых чисел, удовлетворяющих сравнениюpe (mod m)Теорема Дирихле доказана.