Структурные особенности учебного материала в школьном курсе геометрии

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины

Математический факультет

Кафедра высшей математики

Структурные особенности учебного материала в школьном курсе геометрии

Дипломная работа

Исполнитель

студентка группы М - 61 Цыкунова Т.В.

Научный руководитель

к.ф. - м.н., доцент Ермаков В.Г.

Рецензент

к.ф. - м.н., профессор Мироненко В.И.

Гомель 2004 год

РЕФЕРАТ

Дипломная работа страниц, 43 рисунка, 1 блок-схема, 12 источников, 2 приложения.

Ключевые слова: геометрия, математическое образование, метод обучения, структура учебного материала, структура и содержание курса геометрии, реформа.

Объект исследования: структура и содержание учебного материала в школьном курсе геометрии.

Цель работы: выявление узких мест в строении школьного курса геометрии, построение карты-схемы взаимосвязей между определениями и теоремами данного курса.

Для достижения этой цели в работе решены следующие задачи:

- проведен анализ структурных изменений в курсе геометрии, инициированных реформами математического образования;

- проанализированы учебные пособия по геометрии, выявлены их недостатки и достоинства;

- составлена карта-схема взаимосвязей определений и теорем в школьном курсе геометрии;

- разработан план специализированного урока, призванный помочь учащимся в восстановлении связей между основными фактами курса геометрии.

Практическое значение полученных результатов состоит в дополнительном привлечении внимания учителей и учащихся к особой роли внутрипредметных связей в курсе геометрии, освоение которых является необходимым условием глубокого и неформального изучения курса геометрии.

ВВЕДЕНИЕ

Данная дипломная работа посвящена исследованию структурных особенностей учебного материала в школьном курсе геометрии.

Вопрос о структуре учебного материала курса геометрии является очень важным по многим причинам, потому что:

1) связан с серьезными проблемами обучения математике (успеваемость, качество обучения, доступность),

2) тесно связан с психологическими аспектами обучения.

Мнения педагогов и методистов о причинах хронически тяжелой обучаемости школьников геометрии, практически не расходятся. В качестве главных причин указываются невысокий уровень пространственного мышления учащихся, а также слабое развитие логического аппарата.

3) косвенным подтверждением этого положения является тот факт, что вопрос о структуре рассматривался в процессе подготовки и проведения неоднократно реформ математического образования.

Например, первый этап реформы датируется 1965 годом, которая в 1968 году подготовила и издала программы по математике для средней школы. Следующий этап реформы 80-е годы. Так была принята программа, в которой был учтен уровень логического мышления школьников - через отказ от обязательного единого теоретико-множественного подхода к построению курса и чрезмерной строгости в изложении материала. Началом современного этапа реформы математического образования (90-е годы) в нашей стране является 1989 год, когда была разработана в русле перестройки школы новая концепция общего среднего образования и подготовлена концепция школьного математического образования, определяемая новыми социально-экономическими условиями в стране, и основное содержание общего математического образования на данном этапе (более подробно об особенностях реформы смотри в главе 1).

Одной из общих причин актуальности вопроса о структуре содержания курса геометрии состоит в том, что в математике важны не только отдельные факты, но и связи между ними, причем из-за растянутости процесса обучения во времени эти связи зачастую теряются. Поэтому многие тесно связанные между собой факты, изучение которых разделено во времени, представляют учащимся трудности при изучении материала.

Эффективность обучения геометрии находится в прямой зависимости не только от степени владения логической структурой пособия, но и от уровня усвоения системы всех его внутрипредметных связей, имеющих дидактическую силу. При такой постановке вопроса каждая теорема - это очередная «станция» на пути изучения геометрии, на которую поезд обучения прибывает по четкому методическому расписанию. В противном случае теоремы становятся лишь «остановками» в море геометрии, для освоения которых требуются различные искусственные приемы. Широкое использование механизма внутрипредметных связей в учебном процессе диктуется также требованием бережного отношения к школьному учебнику как к единому целому, все элементы которого взаимосвязаны и взаимообусловлены.

Внутрипредметные связи учебного пособия направлены на развитие логического мышления школьников, для которого геометрия представляет наилучшие возможности. В их основе такие достоинства традиционного со времен Евклида изложения геометрии, как простота и наглядность, доступность и совершенство методического аппарата. В учебном пособии они проявляются ярче, благодаря, с одной стороны строго дедуктивному изложению предмета, а с другой практической направленности курса, т. е. благодаря неразрывному единству теории и практики. Строго дедуктивное изложение предмета позволяет сформировать у учащегося систему логических навыков, помогающих им выстраивать разрозненные геометрические факты в логические цепочки.

И, тем не менее, несмотря на тщательное упорядочение материала в учебниках, разрывы в изложении материала остаются.

В первой главе дипломной работы рассказывается о перестройке школьного курса математики, в связи с проведением реформ математического образования. Во второй главе проводится сравнительный анализ структуры и содержания учебных пособий по геометрии, на примере двух учебных пособий. Структура основных взаимосвязей в системе определений и теорем в курсе геометрии представлена в третьей главе. О подготовке учителя к доказательству теорем на уроке, основные действия при доказательстве теорем рассказывается в четвертой главе.

1 ПЕРЕСТРОЙКА СТРУКТУРЫ И СОДЕРЖАНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ В ПРОЦЕССЕ ПРОВЕДЕНИЯ РЕФОРМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Если во времена Клейна речь шла только о знакомстве школьников с некоторыми завоеваниями математики 17 в., то теперь ставится вопрос о перестройке школьного курса в направлении сближения его с духом и буквой современной математики (т. е. математики середины 20 в.). В реформистском движении этого этапа выделяются три основные направления, делающие акцент на:

а) общеобразовательный характер образования,

б) прикладной, политехнический характер образования,

в) направленность образования на подготовку учащихся к обучению в вузе.

Каждое из этих направлений в известной степени противоречит двум другим, что делает проблему наиболее рационального построения учебных программ очень трудной. Поэтому попытки разных стран перестроить школьное математическое образование на базе основных обобщающих идей математики редко оказывались удачными. Это относилось как к отбору нового материала для школьной программы, так и к вопросу о слиянии «классических» «ядра» и «современных» тем в едином курсе; чаще всего новые понятия сосуществовали рядом со старыми, не работая на них по существу. Дело в том, что очень немногое из «ядра» - традиционного содержания школьного курса математики может быть из нег исключено и, следовательно, не очень многое из современной математики может быть в него включено. Выход подсказывался тем обстоятельством, что и традиционный материал так называемой элементарной математики может быть построен на базе идей и методов современной математики (в то время как традиционная трактовка основана на идеях и методах классической элементарной математики, т. е. математики до 17 в.). Таким образом, стали говорить не только и не столько о преподавании современной математики, сколько о современном преподавании математики, т. е. реформа содержания математического образования должна сопровождаться реформой методов обучения. При этом оказывается, что сама разработка новых методов изучения математики вызывает необходимость в изменении содержания.

Именно на этой основе осуществлялась на этом этапе реформа школьного математического образования в нашей стране. Она датируется 1965 годом, когда под председательством видного математика, вице-президента ААН СССР А.И. Маркушевича и под руководством выдающегося математика современности академика А.Н. Колмогорова была образована комиссия по определению содержания среднего математического образования, которая в 1968 г. подготовила и издала программы по математике для средней школы. Отметим характерные особенности этой программы:

1) Изменение сроков и содержания начального обучения математике: 3 года вместо 4-х; вместо курса арифметики с основной задачей обучение счету - курс математики, т. е. арифметики натуральных чисел и основных величин с элементами алгебры (с ранним введением буквенной символики и уравнений как главного способа решения задач) и геометрии положения.

2) Изменение структуры и названия предметов систематического курса математики: 4 - 5 классы - курс арифметики с элементами алгебры и геометрии с общим названием «математика», 6 - 8 классы - систематические курсы алгебры и планиметрия; 9 - 10 классы - курс «алгебра и начала анализа» и систематический курс стереометрии.

3) Построение всего курса - линейное, устранен излишний концентризм. Но явно выделены три этапа его изучения (4-5, 6-8, 9-10 классы), отличающиеся уровнем изложения, названиями предметов, отдельными учебниками; допускаются некоторые повторения отдельных вопросов на новом уровне. Курс геометрии носит одно название но тоже разделен на два этапа: 4 - 5 - пропедевтический курс; 6 - 8 - систематический курс планиметрии, завершающий ее изучение; 9 - 10 - систематический курс стереометрии, построенный с использованием векторов и координат, дающий представление об аксиоматическом строении геометрии.

4) Устранение из школьного курса математики многих архаических вопросов и частностей, не имеющих ни научного, ни прикладного, ни общеобразовательного значения (например, алгоритма извлечения квадратного корня и т. п.).

5) Из большого числа новых вопросов введение в школьный курс лишь таких, которые имеют широкое общеобразовательное значение, содействуют формированию научного мировоззрения, помогают понять место математики в системе наук и в практической деятельности человека. Это: элементы дифференциального и интегрального исчислений, теории вероятностей, систем счисления, некоторые сведения об ЭВМ и программировании.

6) Особое место элементов теории множеств и математической логики, которые представляют собой непросто новый дополнительный материал образовательного значения, но и язык, на котором излагаются многие вопросы курса (в том числе традиционные). Другие обобщающие и объединяющие математические понятия могут появляться в курсе не как исходные данные, а как итоги изучения, по мере накопления фактов и закономерностей, дающих повод к соответствующим обобщениям (группа, поле, линейное пространство и т.п.).

7) Создание существенно новой для нашей школы формы обучения факультативных занятий по выбору учащихся. Факультативные занятия по математике предполагаются двух видов. Первый - «Дополнительные главы и вопросы математики» - имеет целью углубление программных вопросов; изучение вопросов, примыкающих к программным; и изучение некоторых дополнительных вопросов, важных с образовательной точки зрения и раскрывающих приложения математики. Значительная часть времени выделяется на решение задач по обязательной программе. Кроме того, на ближайшее время этот вид занятий имеет целью помочь учителям освоиться с первым содержанием обучения, идеями и методами, входящими постепенно в новые программы. При этом будет меняться и программа факультативных курсов. Учитель, при обязательности изучения некоторых тем, может в каждом классе с учетом конкретных возможностей и интересов учащихся, выбрать из нескольких предложенных те темы, изучение которых представляется ему наиболее целесообразным.

Второй вид занятий - «Избранные вопросы математики» (программирование, вычислительная математика, векторная алгебра, задачи линейного программирования и др.) рекомендуется, в основном для учащихся старших классов, интересующихся математикой, и только в тех школах, где возможна, работа специалистов по этим вопросам.

Факультативные занятия призваны обеспечить индивидуальное развитие учащихся, основательную подготовку в вуз. Программы факультативных занятий по математике составляются так, что они являются продолжением друг друга, образуют некоторую идейнотеоретически законченную систему. Оценка факультативным занятиям вносится в аттестат.

8) Развитие системы школ и классов с углубленным теоретическим и практическим изучением отдельных предметов, который начали создаваться начиная с 1959 г. на базе средних общеобразовательных школ с производственным обучением и хорошо себя зарекомендовали. С 1966 г. организовываются также физикоматематические школы-интернаты при крупных университетах страны. Их основная цель - обеспечить приход в науку талантливых людей, разработка содержит и методики преподавания современных вопросов математики.

Курс математики в школах с математической специализацией состоит из трех предметов - алгебры, математического анализа и геометрии. Это предметы и физика являются профилирующими, преподавание остальных предметов ведется по обычным программам. Прикладным предметов является курс «Программирование и вычислительная математика», но это могут быть и другие приложения математики.

9) В соответствии с содержанием и построением курс математики программы этого этапа реформы предполагают и некоторые новые методы обучения, о которых - пойдет речь в дальнейшем.

Работа по совершенствованию содержания обучения в нашей стране происходит постоянно, следующий этап реформы 80-е годы. При сохранении всего того ценного что апробировано школой и дает возможность обеспечить высокий уровень образования, в программе по математике, находят отражение основные направления развития научно-технического прогресса, современные достижения науки и техники, культуры; усиливается практическая направленность, уточняются требования к знаниям, умениям и навыкам школьников, устраняются перегрузки и т. д.

Так, в 1980 г. была программа, в которой был полнее учтен уровень логического мышления школьников - через отказ от обязательного единого теоретико-множественного подхода к построению курса и чрезмерной строгости в изложении материала. Такой подход позволил усилить прикладное содержание школьного курса математики, сделать его менее абстрактным и формализированным, хотя при этом и терялись некоторые достижения предыдущего этапа реформы.

В 1985 г. силами АПН СССР и АН СССР, ведущих специалистов университетов, пединститутов была подготовлена новая учебная программа по математике. В ней предпринята попытка разгрузить содержание обучения и усилить его практическую направленность. С этой целью, при сохранении в основном структуры предыдущей программы, в ней внесены следующие изменения:

1) Увеличены сроки обучения за счет начальной школы; начальная школа - 1 - 4 классы, три этапа средней школы - 5 - 6, 7 - 9, 10 - 11 классы.

2) В структуре программы появились новые разделы («Организация учебно-воспитательного процесса», «Рекомендации по оценке знаний», «Межпредметные связи» и другие), уточняются цели обучения математике на данном этапе. В программе заложены возможности реализации преемственности в обучении математике (пропедевтика, обобщение и развитие понятий, их свойств, логических умений), внутрипредметных и межпредметных связей, связи обучения математики с жизнью и современным производством.

3) Исключены некоторые темы (например, «Координаты и векторы в пространстве», вычисления с логарифмами), хотя такая мера устранения перегрузки учащихся имеет очевидные пределы и может привести к ошибкам (примером такой ошибки, на наш взгляд, является исключение понятий предела и непрерывности).

4) Перераспределен материал некоторых тем между классами, устранена излишняя фрагментарность. Так, например, за счет исключения большого по объему материала о степени с рациональным показателем из курса алгебры неполной средней школы в него введен первоначальный курс тригонометрии (тождественные преобразования тригонометрических выражений). Это разгружает старшие классы, дополняет линию тождественных преобразований выражений, усиливает вычислительную линию и межпредметные связи алгебры и геометрии неполной средней креолы.

5) Введен новый курс «Основы информатики и вычислительной техники». Он насыщен примерами алгоритмов решения математических задач и их реализации с помощью вычислительной техники, что повышает уровень прикладной и политехнической направленности курса математики.

6) В дополнение к программе по каждому классу и предмету в соответствии с разделом программы «Тематическое планирование» разработаны «Обязательные результаты обучения», определяющие для каждого этапа обучения опорный уровень подготовки учащихся по математике, которого должны достичь все учащиеся для получения положительной оценки.

Началом современного этапа реформы математического образования (90-е годы) в нашей стране является 1989 год, когда Госкомитетом СССР по народному образованию была разработана в русле перестройки школы новая концепция общего среднего образования и на ее основе НИИ СиМЩ АПН СССР подготовил концепцию школьного математического образования. В ней характеризуется место математики в системе школьного математического образования. В ней характеризуется место математики в системе школьного образования, определяемое новыми социально-экономическими условиями в стране, и основное содержание общего математического образования на данном этапе. Ведущей идеей обновления математического образования признается его гуманизация; ее основные направления, как отмечалось выше, - дифференциация обучения математике, гуманитарная направленность общеобразовательного курса математики, уровневая подготовка учащихся по математике, перестройка учебно-воспитательного процесса в направлении изменения к ученику и создания возможностей для проявления индивидуальности как учащегося, так и учителя. В дополнение к этой концепции в 1995 г. РАО разработан документ «Стандарт среднего математического образования».

Исходя из новых целей обучения математике на современном этапе формы, меняются и принципы отбора содержания. Профессор Г.В.Дорофеев формулирует их следующим образом: 1) информационная емкость, 2) социальная эффективность, 3) интеллектуальная емкость, 4) дифференцированная реализуемость, 5) познавательная емкость, 6) диагностико-прогностическая емкость, 7) возможность изучения смежных предметов на современном уровне развития, 8) преемственность.

Интересно, что некоторыми учеными на Западе - также формулируется новая концепция математического образования, согласно которой:

а) математика должна рассматриваться как деятельность человека, а не как готовый предмет;

б) математика должна внедряться, а не навязываться;

в) обучение должно происходить в форме повторного открытия, а не простой передачи идей;

г) реальность должна быть в большей мере источником математических идей, чем областью их приложений;

д) особое внимание должно быть уделено связям между математическими идеями, а не изолированным фактам;

е) следует обращать внимание на богатство содержания курса, а не на наборы задач;

ж) следует добиваться создания у учащихся мысленных образов предметов, а не достижения концепций;

з) следует искать многосторонние подходы к новым концепциям, а не рассматривать многообразные воплощения этих концепций;

и) главным в изучении математики является понимание, а не навыки.

2 СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ И СОДЕРЖАНИЯ УЧЕБНЫХ ПОСОБИЙ ПО ГЕОМЕТРИИ

Эффективность преподавания геометрии, как и любого предмета в школе, зависит от многих факторов, но в первую очередь - от обучающих возможностей учебника, с одной стороны и степени их реализации в ходе учебного процесса, с другой. Сказанное в полной мере относится к пособию «Геометрия 7 - 11», созданному академиком А.В. Погореловым, преподавание по которому в школах началось с 1982 г.

До сих пор разговор об особенностях данного пособия касался в основном вопросов, связанных с аксиоматическим построением школьного курса геометрии. При этом, все внимание уделялось изложению теоретического материала. О системе упражнений пособия и ее роли в развитии логического мышления школьников вопрос ставился только в общих чертах. А ведь это - неотъемлемая составляющая часть пособия А.В. Погорелова.

2.1 Научно-методические достоинства учебного пособия по геометрии А.В. Погорелова

Чтобы полнее выявить достоинства рассматриваемого учебного пособия, надо сначала понять его особенности. Основные из них следующие: 1) традиционное содержание и аксиоматическое построение, 2) экономное изложение и организующая роль вопросов для повторения, 3) единство теории и практики. Остановимся на каждой из названных особенностей.

1. На протяжении двух тысячелетий образцом изложения геометрии была система Евклида, реализованная в знаменитых «Началах». Их геометрическое содержание получило всеобщее признание и послужило основой для написания многочисленных учебников для геометрии.

Имевшие место в прошлом попытки отступить от Евклида себя не оправдали. Так алгебраизированный курс начальной геометрии М. В. Остроградского в трех частях с общим объемом 750 с., увидевший свет в 1855 - 1860 гг., не нашел сочувственного отношения в учительских кругах, хотя и обладал несомненными научными достоинствами. Объяснялось это тем, что выдающийся ученый в вопросах преподавания стаял на позициях, правильность которых не была подтверждена школьной практикой, в результате чего дидактика вступила в противоречие с логикой. В частности М. В. Остроградский придавал второстепенное значение чертежам, считая их только средством сокращения речи.

Следует подчеркнуть, что сохранение «разумных и глубоко продуманных основ» не является простым возвратом к традиционной системе, т. е. шагом назад, наоборот автор делает существенный шаг вперед, поднимая традиционный курс геометрии на качественно новую высоту, чего он достигает с помощью аксиоматического построения на основе оригинальной системы аксиом. Особая важность этого последнего обстоятельства заключается в том, что во всей современной математике аксиоматический метод изложения стал доминирующим и поэтому значение логического доказательства выходит далеко за рамки геометрии, приобретая общенаучный характер.

Оригинальная система аксиом автора позволяет строго дедуктивно построить весь курс элементарной геометрии. Но в учебном пособии она «работает» в полную силу не по всем направлениям, а только по основным. К основным относятся центральные вопросы курса, играющие фундаментальную роль в его дедуктивном построении: углы, равенство треугольников; параллельные прямые, теорема о сумме углов треугольника, параллелограмм, теоремы Фалеса и Пифагора, подобие треугольников и др. И наоборот, периферийные вопросы, находящиеся в основном на стыке элементарной и высшей математики (длина окружности, площади фигур, объемы тел и площади их поверхности), которые являются конечными результатами дедукции и имеют лишь прикладное значение, излагаются с привлечением наглядных соображений. Естественность такого решения вопроса о строгости изложения в учебном пособии А. В. Погорелова очевидна; не признать последовательность и целесообразность этого просто невозможно.

2. Д. Гильберт, выдающийся ученый, сумевший глубоко и убедительно раскрыть существо аксиоматического метода, говорил: «Будет большой ошибкой думать… что строгость в доказательстве - это враг простоты. Многочисленные примеры убеждают нас в противоположном: строгие методы являются в то же время простейшими и наиболее доступными. Стремление к строгости как раз и приводит к отысканию простейших доказательств». В свете этого высказывания становится до очевидности понятным, что экономность изложения в новом учебном пособии не является чем-то инородным. Наоборот, она есть прямое следствие традиционности содержания и аксиоматичности построения курса. Короче говоря, экономность в изложении является выражением лаконизма мысли.

Эта особенность пособия позволяет создать учащимся благоприятные условия для самостоятельной работы с ним. Действительно, как показывает опыт, в пространном тексте ученики не умеют выделить существенное, не могут отделить главное от второстепенного, что отрицательно сказывается на всем процессе обучения; в данном случае это исключается, так как на домашнее задание в среднем на один урок приходится 1/3 страницы текста.

Отмеченный педагогический эффект нового пособия значительно усиливается организующей ролью вопросов для повторения. Обеспечивается она тем, что, с одной стороны, на каждый вопрос в тексте имеется прямой ответ, а с другой - все вопросы образуют систему, охватывающую его содержание в целом. В связи с этим появляется реальная возможность давать домашние задания по теории не по разделам, а по вопросам, что в сочетании с экономностью изложения создает, пожалуй, оптимальные условия для самостоятельной работы учащихся с учебником, способствуя сознательному усвоению изучаемого материала.

Последовательное развитие разумных и глубоко продуманных основ традиционной системы изложения материала с необходимостью привело автора к созданию принципиально нового пособия - пособия для ученика, с которым он работает самостоятельно после предварительного объяснения учителем нового материала на уроке.

3. Теоретические знания, не подкрепленные практическими упражнениями, по словам английского философа Г. Спенсера, отлагается в мозгу как жир. Поэтому единство теории и практики, выражающееся в полном соответствии заданного и теоретического материала, служит обязательным условием превращения знаний в «умственные мышцы». При этом активное владение предметом является определяющим, ведущим по сравнению с пассивным накоплением знаний. Именно такую возможность - установление единства теории и практики - создает новое учебное пособие по геометрии.

Задачи полностью соответствуют духу учебного пособия как по содержанию, так и по методам решения. Более того, в решения задач, основной материал курса повторяется многократно, причем в самых разных вариантах, что создает благоприятные условия для закрепления изучаемых теорем.

Не менее важной является и возможность формирования понятий на основе решения задач. Недооценка ее приводит к непроизводительной трате времени урока, так как «отработка» понятий на специальных упражнениях мало что дает учащимся для решения настоящих задач, а времени забирает много. Искусственные упражнения только отвлекают внимание учащихся от основного содержания пособия, снижая эффективность учебного процесса. Чтобы умение было связано со знанием, надо решать содержательные задачи, и чем больше, тем лучше.

В свете сказанного становятся понятными программные требования автора, заключающиеся в том, что учащиеся в итоге должны:

1) давать четкие и безупречные ответы на все вопросы для повторения, включая доказательства теорем и вытекающих из них следствий;

2) уметь применять свои теоретические знания к решению задач;

3) решить все или почти все задачи из пособия, причем половину из них в классе вместе с учителем.

Это и есть единство теории и практики на деле.

Далее остановимся на сопоставлении отмеченных особенностей учебного пособия А. В. Погорелова и принципов обучения в современной общеобразовательной школе.

Принцип научности обучения в новом учебном пособии реализуется с наибольшей полнотой, чему способствует аксиоматическое построение курса геометрии. В полном соответствии с этим принципом находятся и требования автора к знаниям, умениям и навыкам учащихся, предлагающие строгое соблюдение в ходе обучения всего объема требований учебных программ и в их теоретической, и в практической части. С принципом научности органично сочетается и принцип доступности. Доступность изложения обеспечивается прежде всего простотой и наглядностью изучаемых объектов. Но несмотря на простоту изучаемых объектов, изложение в учебном пособии ведется на высоком научном уровне.

Как известно, в педагогике важной задачей издавна считается возбуждения у учащихся потребности в знаниях, формирование у них познавательного интереса. Новое учебное пособие создает самые благоприятные условия для реализации принципа стимулирования положительного отношения школьников к учению. Решающим при этом оказывается сам аксиоматический метод, выступающий как форма представления учебных требований: доказывать все без исключения.

В силу экономности изложения материала в пособии выделить в нем главное, т. е. ответить на заданные вопросы для повторения, не составит для учащихся большого труда. Кроме того, при таком подходе возникают предпосылки для активного участия всех учеников в учебном процессе, сознательного усвоения ими программного материала и развитие их самостоятельности. Новое учебное пособие укрепляет также и руководящую роль учителя, поскольку теперь содержание каждого проводимого им урока не станет копией текста пособия; оно будет гораздо богаче и даст ему возможность проявить свое педагогическое мастерство, чтобы наилучшим образом подготовить школьников к самостоятельной работе над учебником.

Структура рассматриваемого пособия способствует рациональной организации учебного процесса. Она дает возможность выделить на решение задач более половины учебного времени, что резко усиливает практическую направленность школьного курса геометрии. В свете требований принципа прочности и действенности знаний очень важно не упустить эту возможность, расходуя драгоценное время урока не по прямому назначению. Конечно, сказанное не означает полного игнорирования известных методов и приемов обучения. Наоборот, решение главной задачи обучения требует оптимального сочетания всех методов на основе научно-методических достоинств пособия.

2.2 Анализ недостатков учебника «Геометрия 7-9»

Рассматриваемая книга была задумана как учебник, в котором будут устранены недостатки ныне действующих пособий.

Авторы этого пробного учебника отмечают, что в их книге курс геометрии строится дедуктивно на основе аксиоматики, которая не нарушает традиционной системы изложения материала, что они старались упростить терминологию и сократить до минимума число обозначений и символов. Курс геометрии, - считают авторы, пробного учебника, - призван способствовать развитию логического мышления учащихся.

Учебник должен способствовать решению сложной и ответственной задачи, стоящей перед школой в области преподавания геометрии: научить школьников логическому мышлению и в то же самое время развить у них наглядные представления об окружающем пространстве. Повышенное внимание к логической строгости и пренебрежение наглядными представлениями приводит в конечном счете к тому, что теряется мотивировка изложения материала, обучение превращается в формальное заучивание, у школьников возникает путаница и непонимание логических основ геометрии, а в результате они теряют навыки логического мышления. Наоборот, отсутствие четкого логического каркаса в учебнике приводит к непониманию материала, ухудшает геометрическое представление и принуждает школьников к зубрежке.

Требуется разумно сбалансировать строгость доказательных рассуждений с геометрической наглядностью.

Рассматриваемый пробный учебник обладает некоторыми достоинствами. Изложение материала основано на частичном отказе от теоретико-множественного подхода, от применения теории отображений и перемещений. В учебнике использована более простая система аксиом, способ изложения материала более нагляден, чем имеющийся в учебном пособии по геометрии для VII - IX классов под редакцией А.Н. Колмогорова.

Данный пробный учебник отличается запутанностью логической структуры, наличием большого числа ошибок, нечеткостью изложения и громоздкостью формулировок. Его объем очень велик, своей толщиной он отпугивает школьников. Перейдем теперь к конкретному анализу недостатков данного пробного учебника.

I. Самым главным недостатком является большое количество математических ошибок. Сразу же оговоримся: имеется ввиду не должную математическую строгость, которую длительное время требовали от школьных учебников; речь идет об ошибках и неверных утверждениях того уровня строгости, который выбрали сами авторы. Неверные утверждения наносят существенный вред, поскольку полностью дезориентируют учащихся.

II. Существенным недостатком пробного учебника «Геометрия 7-9» является его идейная непоследовательность. Это относится в первую очередь к выбранному авторами уровню сложности. По соседству фигурируют утверждения, из которых одни доказаны на наглядном уровне, в других педантично исследована вся логическая схема доказательства, а третьи вообще оставлены без доказательств. Непонятна разница между аксиомами и теоремами, приведенными без доказательства, некоторые теоремы перенесены в задачи.

III. Чрезвычайно серьезным недостатком является то, что авторы рассматриваемой книги неоправданно много места уделяют разъяснению вводимых понятий. Они ошибочно полагают, что понятия лучше усваиваются, если их долго и подробно описывать в разных вариантах, тратить время на решение специально подобранных упражнений, посвященных закреплению этих понятий. Вредность такого громоздкого изложения в том, что изучение понятий проходит без применения их к решению осмысленных задач, на которых только и можно хорошо освоить понятия. Громоздкие описания понятий превратились в самоцель. Стремление обучить школьников понятиям с помощью длинных описаний привело к неоправданному размножению понятий.

IV. Как уже отмечалось, пробный учебник перегружен методическим материалом. Его авторы ошибочно полагают, что учебник должен содержать наряду с основным материалом и вспомогательный, который необходим учителю для изложения новой темы на уроке. Сюда относятся мотивировки, предварительные наводящие примеры, упражнения на закрепление понятий, замечания к понятиям и способам проведения доказательных рассуждений. Весь этот методический аппарат мешает школьнику в процессе домашней подготовки выделить главное в море второстепенного.

Стремление мотивировать любой шаг в данном пробном учебнике доведено до абсурда. Например, перед каждой вводимой аксиомой авторы ставят вопрос, подвергающий ее сомнению. Это может вызвать у школьников представление о том, что любое вызывающее сомнение утверждение можно принять за аксиому, вместо того чтобы доказать его. К такому представлению об аксиомах приводит и то, что они появляются по мере необходимости.

Понятие аксиомы является основным для геометрии. Его следует четко сформулировать, и не должно возникать путаницы между аксиомами и теоремами.

В заключение отметим, что объем книги очень велик. На три класса (7-9) приходится 470 с. в то время как у Погорелова на те же три класса приходится 170 с., т. е. почти в три раза меньше.

2.3 О практической направленности учебника «Геометрия 7-9»

Критика действующих учебников геометрии направлена в основном на излишнюю теоретизацию курса, на недооценку принципа доступности в обучении математике. Поэтому одной из основных задач в деле совершенствования школьных учебников геометрии является поиск оптимального соотношения между теоретическим и практическим аспектами, формальным и содержательными подходами к изложению материала.

Первые варианты пробного учебника «Геометрия 7-9» выпускались отдельно сначала для шестых, потом для седьмых классов начиная с 1979 г. Тогда же началась их экспериментальная проверка в ряде территорий РСФСР, которая продолжается и поныне. В ходе эксперимента с помощью учителей формируется структура курса и методика его преподавания.

Изложение материала в пробном учебнике строится дедуктивно на основе экономной системы понятий и аксиом; приведены полные и обоснованные доказательства почти всех геометрических утверждений, предлагаемых для изучения. Строгость логического построения курса сочетается с педагогическими требованиями: геометрические понятия вводятся последовательно и постепенно по мере необходимости и сразу «работают». Каждое понятие или теорема подключаются к системе ранее изученных и усваивается в процессе активного использования в последующих темах курса.

Одной из основных методических идей авторов рассматриваемого пробного учебника является мысль о целесообразности наглядного-опытного преподавания школьного курса геометрии, особенно его начальных разделов. В связи с этим в пробном учебнике большое внимание уделяется наглядности изложения: в нем много чертежей и рисунков, снабженных подрисуночными подписями, большое место в книге занимают задания, нацеливающие учащихся на самостоятельное выполнение разнообразных геометрических построений.

Характерной особенностью пробного учебника является его практическая направленность, которая обеспечивается различными средствами:

1. Реальные объекты служат исходным пунктом при введении основных геометрических понятий: точки, луча, прямой и т. д. В учебный текст внесены иллюстрации связей изучаемого материала с жизнью, с трудовой деятельностью людей. Так, в ходе изучения свойств прямой учащиеся знакомятся с практическими приемами провешивания прямых при определении направления прорубаемых лесных просек, при прокладывании дорог и т. п. Вопросы измерения длин отрезков и мер углов сопровождаются описаниями измерительных приборов: рулетки, штангенциркуля, астролябии, теодолита. Определению перпендикулярности прямых сопутствует описание способа построения прямых углов на местности с помощью экера. Использование свойств параллельных прямых демонстрируется на уголковом отражателе.

2. Авторы пробного учебника настойчиво реализуют принцип единства теории и практики. Для школьного учебника геометрии этот принцип прежде всего означает соразмерность теории с решением задач. Общие положения являются голой схемой, пока учащийся на собственном опыте не убедится в том, как они проявляются и применяются на практике, в конкретных задачах. С другой стороны, всякая недооценка теоретического материала создает преграды в решении задач. Перегрузка теоретическим материалом, так же как минимализм в этой области, служат тормозом для развития активности учащихся.

3. В пробном учебнике особая роль отводится практическим заданиям. Они предлагаются почти к каждому параграфу курса геометрии VII-IX классов. В ходе их выполнения учащиеся самостоятельно устанавливают опытным путем наиболее существенные факты.

Практические задания, рекомендующие чертежно-измерительные работы, облегчают первые шаги ознакомления с дедуктивным построением курса геометрии, прививают учащимся интерес к учебе. Кроме того, формирование геометрических понятий на интуитивно-опытной основе позволяет вырабатывать навыки построений и измерений, развивать пространственные представления и логическое мышление учащихся.

4. В процессе изучения геометрии по пробному учебнику Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Э. Г. Позняка особая роль отводится задачам: они иллюстрируют эффективное применение теории и служат мотивом для ее дальнейшего изучения.

Педагогическая практика показала, что наиболее продуктивным планом построения уроков, посвященных изучению нового материала, особенно в VII-IX классах, является следующий: 1) установление учащимися определенной истины опытным путем; 2) подведение школьников к потребности доказать гипотезу; 3) доказательство утверждения или принятие его в качестве аксиомы; 4) организация закрепления теории с помощью решения задач.

5. Практическая направленность курса определяется не только набором задач, но и их систематизацией. Авторский коллектив уделяет большое внимание отработке с и с т е м ы задач учебника. В книгу включены основные виды геометрических задач, традиционно подразделяемых на вычислительные, логического характера (обоснование, исследование, доказательство) и задач на построение.

Главный принцип подбора задач - это постепенное наращивание сложности, чем создаются предпосылки для развития самостоятельности и творчества учащихся. Однако стремление расположить дидактический материал линейно встречается с рядом трудностей. Одна из них связана с необходимостью представить в системе задач все основные их виды в оптимальном объеме и в соответствии с возрастными возможностями школьников. Недооценка какого-либо класса задач - на построение, на доказательство или вычисление - негативно сказывается на результатах обучения.

Авторы стремились к тому, чтобы подбор задач на закрепление начинался с самых простых вопросов, предназначенных для прямого применения изученной теории и требующих одно-, двухшагового решения.

Практика показала, что особую ценность на уроке имеют задачи на готовых чертежах, экономящие учебное время и позволяющие концентрировать внимание учащихся на наиболее существенных моментах текущего материала.

Последующее нарастание сложности в системе задач связано с моделированием ситуаций, в которых новое понятие или суждение переплетается с ранее изученным. Такие задачи особенно полезны для организации сквозного повторения.

Для реализации целей развивающего обучения система задач учебника должна располагать заданиями, мотивирующими дальнейшее математическое развитие, формирующими дальнейшее математическое развитие, формирующими элементы творческого математического мышления. Эту роль в пробном учебнике выполняют дополнительные задачи к главам и курсам, а также задачи повышенной трудности. Обширный набор нестандартных задач используется учителями в работе с учащимися, проявляющими повышенный интерес к изучению математики.

3 СТРУКТУРА ОСНОВНЫХ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ В СИСТЕМЕ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ТЕОРЕМ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

Вопрос о структуре содержания курса геометрии состоит в том, что в математике важны не только отдельные факты, но и связи между ними, причем из-за растянутости процесса обучения во времени эти связи зачастую теряются. Поэтому многие тесно связанные между собой факты, изучение которых разделено во времени, представляют учащимся трудности при изучении материала.

Эффективность обучения геометрии находится в прямой зависимости не только от степени владения логической структурой пособия, но и от уровня усвоения системы всех его внутрипредметных связей, имеющих дидактическую силу. При такой постановке вопроса каждая теорема - это очередная «станция» на пути изучения геометрии, на которую поезд обучения прибывает по четкому методическому расписанию. В противном случае теоремы становятся лишь «остановками» в море геометрии, для освоения которых требуются различные искусственные приемы. Широкое использование механизма внутрипредметных связей в учебном процессе диктуется также требованием бережного отношения к школьному учебнику как к единому целому, все элементы которого взаимосвязаны и взаимообусловлены.

Рассмотрим на конкретном примере структуру взаимосвязей определений и теорем в школьном курсе геометрии для 7 - 8 классов. А именно построение карты-схемы.

КАРТА-СХЕМА (см. плакат)

1. Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: : .

Доказать:

Доказательство

Проведем высоту из вершины прямого угла

Рассмотрим : .

По определению косинуса угла .

Рассмотрим : .,

Отсюда ,

Аналогично , отсюда .

Складывая полученные равенства почленно и, замечая, что , получим

Т. д.

2. Теорема

Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.

Дано: и - прямоугольные треугольники.

Доказать:

Доказательство

Построим , равный . Так как прямые и перпендикулярны прямой , то они параллельны.

По теореме о пропорциональных отрезках . А так как по построению:

, то

Т. д.

3. Теорема о пропорциональных отрезках

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Дано: , стороны угла пересекаются параллельными прямыми в точках , и , соответственно.

Доказать:

Доказательство

Докажем равенство (*) в случае, когда существует такой отрезок длинной , который укладывается целое число раз и на отрезке и на отрезке . Пусть и . Разобьем отрезок на равных частей (длины ). При этом точка будет одной из точек деления. Проведем через точки деления прямые, параллельные прямой . По теореме Фалеса эти прямые разбивают отрезок на равные отрезки некоторой длины . Имеем , мы видим, что

и , значит .

Т. д.

4. Теорема Фалеса

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки на другой его стороне.

Дано: , - точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла, лежит между .

- соответственно точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. .

Доказать:

Доказательство

Проведем через точку прямую , параллельную прямой , т.е. . По свойству параллелограмма , . И так как , то .

- по второму признаку. У них по доказанному. , как вертикальные, а , как внутренние накрест лежащие при параллельных и и секущей . Из равенства треугольников следует равенство сторон .

Т. д.

5. Свойство противоположных сторон и углов параллелограмма.

У параллелограмма противоположные стороны равны, противоположные углы равны.

Дано: - параллелограмм, .

Доказать: , , ,

Доказательство

Рассмотрим и .

У них , как вертикальные, и , по свойству диагоналей. = (по первому признаку равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство сторон и , т. е. .

Точно также из равенства и следует равенство другой пары противолежащих сторон и .

Рассмотрим и .

У них и по доказанному, а сторона - общая = (по третьему признаку).

Из равенства треугольников и следует равенство противолежащих углов и .

Точно так же равенство противолежащих углов и следует из равенства треугольников и .

Т. д.

6. Теорема о вертикальных углах

Вертикальные углы равны.

Дано: и - вертикальные.

Доказать: =

Доказательство

Угол является смежным с углом . Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов и дополняет угол до , т. е. углы и равны.

Т. д.

7. Теорема о сумме смежных углов.

Сумма смежных углов равна .

Дано: и - смежные углы.

Доказать: +=.

Доказательство

Луч проходит между сторонами и развернутого угла. Поэтому сумма углов и равна развернутому углу, т. е. .

Т. д.

8. Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. А

 (1) (2)

(3) (4)

Дано: и , , =, =

Доказать: =

Доказательство

Пусть - треугольник, равный , с вершиной на луче , и вершиной в той же полуплоскости относительно прямой , где лежит вершина (рис. 1).

Так как , то вершина совпадает с вершиной (рис. 2). Так как , то луч совпадает с лучом (рис. 3). Т. к. =, то вершина совпадет с вершиной (рис. 4). Итак, треугольник совпадает с треугольником , значит, равен треугольнику .

Т. д.

9. Второй признак равенства треугольников

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: и , =, и =

Доказать: =

Доказательство

Пусть - треугольник, равный , с вершиной на луче , и вершиной в той же полуплоскости относительно прямой , где лежит вершина .

Так как , то вершина совпадает с вершиной. Так как , то луч совпадает с лучом , а луч совпадает с лучом . Отсюда следует, что вершина совпадает с вершиной . Итак совпадает с а значит, равен .

Т. д.

10. Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: и , =, , .

Доказать: =

Доказательство

Допустим треугольники не равны, тогда у них , , . Иначе они были бы равны по первому признаку.

Пусть - треугольник, равный треугольнику , у которого вершина лежит в одной полуплоскости с вершиной , относительно прямой .

Пусть - середина отрезка . и - равнобедренные с общим основанием . Поэтому их медианы и являются высотами, значит прямые и перпендикулярны прямой .

Прямые и не совпадают, т. к. точки не лежат на одной прямой. Но через точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.

Т. д.

11. Первый признак параллелограмма

Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник - параллелограмм.

Дано: - четырехугольник, .

Доказать: - параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим и .

У них , как вертикальные, и - по условию, значит =, . А они являются внутренними накрест лежащими для прямых и и секущей .

По признаку параллельности прямых и параллельны.

Так же доказывается параллельность прямых и с помощью равенства треугольников и .

Так как противоположные стороны параллельны, то по определению этот четырехугольник параллелограмм.

Т. д.

12. Признак параллельности прямых

Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна , то прямые параллельны.

Дано: и и - секущая и внутренние накрест лежащие углы равны.

Доказать: .

Доказательство

Допустим, прямые , а значит пересекаются в некоторой точке . Секущая разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка . Построим , равный , с вершиной в другой полуплоскости. По условию внутренние накрест лежащие углы при параллельных , и секущей равны. Так как соответствующие углы треугольников и с вершинами и равны, то они совпадают с внутренними накрест лежащими углами. Значит, прямая совпадает с прямой , а прямая совпадает с прямой . Получается, что через точки и проходят две различные прямые и . А это невозможно. Значит, прямые и параллельны.

Если у прямых и и секущей сумма внутренних односторонних углов равна , то, внутренние накрест лежащие углы равны. Значит, по доказанному выше, прямые и параллельны.

Т. д.

Из теоремы , что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

13. Свойство медианы равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию является биссектрисой и высотой.

Дано: - равнобедренный, - основание, - медиана.

Доказать: - биссектриса, - высота.

Доказательство

(по первому признаку равенства треугольников). (У них стороны , потому что - равнобедренный, как углы при основании равнобедренного треугольника. Сторона , потому что - середина .)

Из равенства треугольников следует равенство углов: , . Так как , то - биссектриса. Так как и смежные и равны, то они прямые, поэтому - высота треугольника.

Т. д.

14. Теорема

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.

Дано: - прямая, - точка .

Доказать: , - единственная.

Доказательство

Обозначим через одну из полупрямых прямой с начальной точкой . Отложим от полупрямой угол , равный . Тогда прямая, содержащая луч , будет перпендикулярна прямой .

Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку и перпендикулярная прямой . Обозначим через полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом .Углы и равны каждый , отложены в одну полуплоскость от прямой . Но от полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить только один угол, равный .

Поэтому не может быть другой прямой, проходящей через точку и перпендикулярную прямой .

Т. д.

4 ПОДГОТОВКА УЧИТЕЛЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ НА УРОКЕ

Доказательство теорем - постоянный элемент уроков математики, особенно геометрии. Знакомство с содержанием теоремы и ее доказательством вооружает учащихся материалом, который используется при изложении дальнейшего теоретического материала и решении разнообразных упражнений. Доказательство развивает навыки логических рассуждений, приучает учащихся обосновывать свои рассуждения, использовать аналитико-синтетический метод в рассуждениях, рационально записывать ход рассуждений, дает возможность осознать дедуктивный характер математики. В ходе доказательства теорем развиваются также умения расчленять рассуждения на отдельные логические шаги, получать следствия, анализировать формулировку теоремы, умения, связанные с поиском доказательства, с исследованием математической ситуации, и некоторые другие. Все навыки и умения, приобретенные учениками в ходе изучения теорем, совершенствуются при решении задач.

Таким образом, умение проводить доказательства теорем позволяет учащимся сознательно и глубоко изучать математику на протяжении всего этапа обучения. Естественно поэтому, что методика доказательства теорем на уроке - одно из важнейших звеньев процесса обучения математике и оно требует от учителя особого внимания.

Однако наблюдения за работой отдельных учителей математики, имеющих разный опыт работы, показывает, что в ряде случаев изучение теоремы, ее доказательство носит формальный характер. При этом преобладает синтетический способ доказательства, постоянное применение которого не раскрывает сути теорем; их изложение не дополняется анализом, позволяющим ученикам осмыслить ход рассуждений, понять обоснованность ряда дополнительных построений, не выделяются главные особенности доказательства. Не всегда проводится анализ формулировки теорем, не раскрывается значение каждого из элементов формулировки, не производятся необходимые контрпримеры. Все это ведет к тому, что значительная часть учащихся заучивают доказательство теоремы без достаточного понимания. Процесс доказательства теорем не становится тем основополагающим звеном процесса обучения математике, в ходе которого развивается математическое мышление учащихся, приобретаются умения и навыки, необходимые для осмысленного изучения предмета.

Одна из причин указанных недостатков, как нам представляется, коренится в недостаточно обстоятельной подготовке к таким урокам учителей. Наши методические пособия, давая учителям готовые рекомендации, не нацеливают их на самостоятельный всесторонний методический анализ материала изучаемого на уроке. Ни в одном из широко распространенных методических пособий нет перечня действий, выполнение которых помогало бы учителю анализировать материал при подготовке к уроку. Между тем такой анализ в настоящее время приобретает особое значение в связи с изучением геометрии по учебному пособию А. В. Погорелова [3]. Чрезвычайная краткость и сжатость изложения материала, основные принципы составления учебника, реализованные в указанном пособии, требуют от учителя большой самостоятельной подготовительной работы к уроку.

Именно поэтому мы хотим привести перечень некоторых основных умственных действий; их выполнение поможет учителю при подготовке к доказательству теорем. Хотя в основном они и знакомы учителю, но, как показывает практика, не всегда реализуются в работе. Для обстоятельного анализа теоремы при подготовке к уроку важно выполнение совокупности всех или большей части из ниже указанных действий. Перечень их дает учителю, особенно начинающему, возможность получить необходимые ориентиры для повседневной работы, более целенаправленно и рационально вести подготовку к уроку.

Приведем основные действия.

1. Анализ формулировки теоремы. Выделение условия и заключения теоремы. Выяснение существенности каждого элемента формулировки. Учет ошибок, которые могут допустить учащиеся. Подготовка соответствующих контрпримеров.

2. Выяснение проблемы, приводящей к необходимости доказательства теоремы, значение теоремы в системе теорем раздела и всего курса геометрии и ее приложений.

3. Применение аналитико-синтетического метода при доказательстве теоремы. Подготовка аналитико-синтетического метода при доказательстве теоремы. Подготовка аналитического рассуждения, позволяющего учащимся уяснить особенности и последовательность доказательства, необходимость тех или иных построений.

4. Выяснение метода, идеи, приема и других особенностей доказательства.

5. Исследование математической ситуации, возникающей при доказательстве теоремы. Рассмотрение всех возможных случаев.

6. Выяснение других возможных способов доказательства теоремы.

7. Расчленение доказательства теоремы на отдельные части, на отдельные логические шаги. Составление плана доказательства. Рациональная запись доказательства.

8. Выявление понятий, предложений, на которых основано доказательство теоремы. Выделение предложений, требующих повторения.

9. Составление содержания подготовительной работы к доказательству теоремы, подбор упражнений и заданий, подготавливающих учащихся к ее восприятию.

10. Подбор упражнений, закрепляющих изученную теорему, выявляющих ее связь с другими предложениями.

В результате анализа теоремы и ее доказательства необходимо сделать вывод о методике изучения рассматриваемой теоремы на уроке, целесообразности применения тех или иных методов и средств обучения.

Рассмотрим подробнее наиболее важные из перечисленных действий: анализ и исследование теоремы.

Одной из основных составных частей анализа теорем является применение аналитико-синтетического метода доказательства и подготовка аналитического рассуждения, являющегося частью изложения теоремы этим методом.

Анализ доказательства позволяет выделить метод, идею, прием, характерные черты доказательства теоремы. Это помогает учащимся выяснить особенности применяемого метода, возможности использования рассматриваемого метода или приема при доказательстве других теорем и решении задач, т. е. создает условия для переноса знаний. Приведем пример.

Рассмотрим доказательства признаков равенства двух треугольников и [3, § 3]. Метод доказательства всех трех признаков один: на основании аксиомы , утверждаем, что существует третий треугольник , равный треугольнику и определенным образом расположенный относительно луча ; мысленно строим его и доказываем, что он совпадает с треугольником . Схема рассуждений может быть представлена в следующем виде.

Во всех трех признаках равенства треугольников и имеется хотя бы одно условие равенства сторон.

Пусть .

Надо доказать:

1) Выберем полупрямую . По аксиоме существует , такой, что

вершина совпадает с ,

вершина лежит на полупрямой ,

вершина лежит с вершиной в одной полуплоскости относительно прямой .

2) Пользуясь определением равных треугольников, условием теоремы и ранее рассмотренными предложениями, доказываем, что

совпадает с .

Следовательно .

Таким образом более отчетливо выявляется структура доказательства. Первая часть повторяется во всех трех случаях. Вторая часть различна и зависит от условия теоремы.

Выявление метода, идеи доказательства в отдельных случаях помогает организовать самостоятельный поиск доказательства учащимися.

В качестве примера возьмем вывод формул для вычисления площадей многоугольников: параллелограмма, треугольника, трапеции [3, § 14]. Вычисление площади каждого из этих многоугольников сводится к вычислению площадей многоугольников, для которых уже выведены соответствующие формулы. На примере вывода формулы для вычисления площади параллелограмма ученики знакомятся с применением этого метода. А для треугольника или трапеции можно предложить им самим подумать, как свести вычисление площадей к вычислению площадей многоугольников по уже известным формулах. Наверняка учащиеся предложат несколько различных вариантов вычислений, среди которых могут быть и отличные от имеющихся в учебном пособии. Например, для вычисления площади треугольника использовать формулу площади параллелограмма (рис. 1, а, б) или прямоугольника (рис. 1, в); для вычисления площади трапеции использовать формулы площади треугольника (рис. 2, а), площади прямоугольника, ромба, параллелограмма и формулу площади треугольника (рис. 2, б - г).

Рис. 1

а) б)

в)

Рис. 2

а) б)

в) г)

В некоторых случаях вычисления будут более сложными, чем приведенные в учебном пособии. Сравнивая их, ученики убеждаются, что в пособии выбран наиболее простой и рациональный способ рассуждений.

Элементом доказательства многих теорем является исследование. Опыт ведения уроков показывает, что доказательство теоремы легче осмысливается, если все возможные случаи четко выделены. Элемент исследования имеет место при доказательстве третьего признака равенства треугольников [3, § 3]. После того как на основании аксиомы рассмотрен треугольник , равный треугольнику , и после того доказано, что сторона совпадает со стороной , мы рассматриваем положение вершины . В полуплоскости относительно прямой содержащей , она может занимать следующие положения: а) либо совпадает с , тогда терема доказана; б) либо лежит на одной из полупрямых или , тогда легко доказывается, что в силу равенства и или равенства и вершина совпадает с , и теорема доказана; в) либо не лежит ни на одной из полупрямых и . Последнего случая быть не может, что и доказывается в пособии.

При выводе формул координат середины отрезка и расстояния между точками [3, § 8] важно в начале доказательства четко выделить случаи расположения отрезка , определяемого точками и , относительно осей координат. Иначе, как показывает опыт, частные случаи учащимися, как правило не рассматриваются, и следовательно, доказательство не носит завершенного характера.

Анализ теоремы, выделение приемов доказательства помогают в отдельных случаях найти другой способ доказательства теоремы. В качестве примера возьмем теорему 4.4 [3] о сумме углов треугольника.

Чтобы доказать, что сумма углов треугольника равна , можно использовать такие приемы рассуждений: показать, что сумма углов треугольника может быть сведена 1) к сумме внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых, 2) к сумме смежных углов, 3) к сумме углов, составляющих развернутый угол.

В пособии [3] используется первый прием. Для того чтобы воспользоваться им, и выполняется дополнительное построение (рис. 3).

Затем доказывается, что а) треугольники и равны; б) прямые и параллельны; в) углы и являются внутренними односторонними при соответствующих параллельных прямых, и сумма их равна ; г) угол является суммой углов и ; д) сумма углов треугольника равна .

В статье П. М. Олоничева [9] использован прием доказательства, при котором сумма углов треугольника сводится к сумме углов, составляющих развернутый угол.

Теперь рассмотрим несколько иной вариант доказательства, который основывается на знакомом уже учащимся методе доказательства с применением аксиомы .

Пусть - данный треугольник. Выберем на плоскости полупрямую . По аксиоме существует треугольник , равный треугольнику , такой, что вершина совпадает с вершиной , вершина лежит на полупрямой ; вершину расположим так, чтобы она и вершина лежали в разных полуплоскостях, определяемых прямой . Так как , то вершина совпадает с и рассматриваемый треугольник есть (рис. 4).

Рис. 4

Точки и лежат в различных полуплоскостях относительно прямой , поэтому отрезок пересекает эту прямую. Полупрямая проходит между сторонами угла , значит,

Углы и , по определению, внутренние накрест лежащие при прямых и и секущей , и так как они равны как соответствующие углы в равных треугольниках и , то

(1)

и

Отрезок в силу выбора точки не имеет общих точек с прямой,и поэтому точки и лежат в одной полуплоскости относительно прямой .

Дальнейшие рассуждения могут быть различными.

I способ. Так как точки и лежат в одной полуплоскости относительно прямой , то углы и - внутренние односторонние при параллельных прямых и и секущей . Отсюда , и с учетом равенства (1)

II способ. Рассмотрим полупрямую , дополнительную к полупрямой (рис. 5).

Рис. 5

Точки и лежат в одной полуплоскости относительно прямой , поэтому точки и лежат в разных полуплоскостях относительно той же прямой. Углы и - внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей . Следовательно,

(2)

Углы и - смежные, значит, , а тогда, учитывая равенства (1) и (2), получаем, что

Итак, доказательство теоремы о сумме углов треугольника может быть проведено различными способами. Считаем, что было бы желательно познакомить с ними учащихся, проявляющих интерес к изучению математики. Такая работа может быть предложена ученикам и при доказательстве других теорем.

Анализ содержания и доказательства теоремы, расчленение доказательства на отдельные логические шаги, выделение тех понятий и теорем, на основе которых доказывается данная, помогает учителю осознать содержание подготовительной работы, которая должна быть выполнена перед рассмотрением теоремы. Много внимания такой подготовительной работе при изучении отдельных теорем уделено в пособиях для учителя [7,8].

Рассмотрены лишь некоторые приемы анализа содержания и доказательства теорем, однако и они дают представление о том, каким образом вести анализ отдельной теоремы. Всесторонний и обстоятельный анализ теорем школьного курса поможет учителю глубже раскрыть перед учениками их суть. Такой подход даст возможность развивать не только память учащихся, но и их математическое мышление, сделает процесс изучения теорем более содержательным и интересным, настоящей школой познания математики, а это позволит перенести полученные знания, умения и навыки на решение разнообразных математических задач.

5 ПРОТИВОРЕЧИЯ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

В произошедшем столкновении разных точек зрения на школьный курс математики, в его перестройке общие, по существу философские установки сказались самым непосредственным образом, хотя они не были во всем ясно осознанны. Более всего это касается курса геометрии. Именно для понимания геометрии философский взгляд представляется особенно существенным, прежде всего, потому, что в этом курсе, в самой геометрии содержится глубокая трудность - внутреннее противоречие.

Исследование противоречия в сущности предмета составляет ядро, главное содержание диалектики.

В данном параграфе рассматривается основной источник статья А. Д. Александрова «Диалектика геометрии» [10].

Курс геометрии начинается с указания примеров геометрических фигур, изображаемых на рисунках. Так, например, пишут: «Посмотрите на рисунок. Вы видите прямую и три точки , , на этой прямой».

Дальше, опять со ссылками на рисунки, вводятся понятия (или представления) о расположении точек на прямой и об отрезках. Затем говорится: «Посмотрите на рисунок. прямая разбивает плоскость на две полуплоскости».

В самом деле, посмотрите на воспроизведенный из учебника рисунок. «Прямая » на нем не разбивает плоскость, потому что от точки до можно дойти, огибая нарисованную «прямую». На это, случается, обращают внимание сами ученики. Разбивает плоскость не «прямая» на рисунке, а воображаемая мыслимая прямая, которая «считается» неограниченно продолженной в обе стороны. Каждому понятно, что одно дело то, что видно на рисунке, а совсем другое - то, что «считается».

Аналогичное явление обнаруживается еще раньше в формулировке: «Через любые две точки можно провести прямую, и только одну». Но если «прямая», как перед этим объясняется, проводится с помощью линейки, то через две точки можно провести много разных «прямых» - одну покороче, другую подлине и т. д.

Понятно, что указанное свойство принадлежит прямой, которая «считается неограниченно продолженной в обоих направлениях». Но это не оговаривается. Однако в жизни каждый понимает прямую как конечную линию, которая может быть или короче, или длиннее, и никто не считает ее неограниченно продолженной в обоих направлениях. Неограниченно - значит и за пределы Солнечной системы, за пределы метагалактики!? Понятно, неограниченно продолженная прямая - это абстракция.

Итак, мы обнаруживаем противоречие в самом начале курса геометриипротиворечие между реальностью, представленной на рисунке, с одной стороны, и мыслимым образом или абстрактным понятием геометрической фигуры - с другой. И если это противоречие конкретного объекта и абстрактного понятия не разъяснено, то оно оборачивается путаницей и внушением учащимся, будто они видят на рисунке то, что на самом деле не видят и видеть не могут. (Понятие прямой отражает реальность, но в идеализированной форме, дополненной представлением о бесконечном продолжении.)

В самом начале школьного учебника показывают на рисунке примеры простейших фигур и тут же говорят, что «фигуры состоят из точек», что «всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек».

Но это не может непосредственно относится к фигурам, как они нарисованы, и к точкам, которые «наносятся остро отточенным карандашом». На самом деле имеются ввиду абстрактные фигуры и идеальные точки без всяких размеров, не наносимые на рисунок никаким карандашом, идеальные прямые без всякой толщины, не проводимые по линейке; подразумевается взгляд на фигуру как на множество точек. Но этот взгляд, представляющий далеко идущую абстракцию, сложился менее 100 лет назад, а до того никто не мыслил себе фигуры, составленные из точек, и теперь математики их так не столько «представляют себе», сколько абстрактно мыслят (что, впрочем, тоже спорно). Так здесь, в самом начале курса, мы вновь обнаруживаем вариант уже указанного противоречия: фигура подается как то, что есть на рисунке, т. е. как нечто материальное, и вместе с тем как множество точек, т. е. как нечто совершенно абстрактное. Если это противоречие не раскрыто, то, «что такое геометрическая фигура» остается неясным.

Другая сторона того же противоречия обнаруживается в доказательствах теорем: требуется, чтобы они проводились путем «чисто логического рассуждения», и вместе с тем они неизбежно опираются на наглядные представления. Иногда в учебниках даже особо подчеркивается, что при доказательстве теорем разрешается пользоваться только теми свойствами фигур, которые указаны в аксиомах или установлены доказанными теоремами; другими свойствами фигур, даже если они кажутся очевидными, пользоваться нельзя.

Однако это указание постоянно нарушается прежде всего тем, что ряд понятий и свойств фигур, не оговоренных в аксиомах, в дальнейшем изложении вводится из наглядных соображений. Не доказывается, что точка на отрезке делит его на два отрезка, что треугольник (как фигура из трех точек и соединяющих их отрезков) ограничивает часть плоскости, не определяется, что значит «ограничивает», и др. Все это очевидно и может оставаться в школьном курсе без доказательств и определений, но не согласуется с запрещением ссылаться на очевидность.

Таким образом, в области доказательств и определений также обнаруживается противоречие, аналогичное противоречию в представлении о фигурах и их основных свойствах, - противоречие между реальностью и наглядностью с одной стороны, и логической строгостью, соответствующей абстрактности, с другой стороны. Эти противоположности - диалектические, т. е. они взаимосвязаны и взаимообусловлены, они необходимо соединяются в курсе геометрии: в нем невозможно отказаться от наглядных представлений, нелепо не опираться на них, нелепо не применять геометрию к реальным вещам и вместе с тем также невозможно отказаться от логической строгости, требующей отвлечения от наглядности. Когда же эти противоположности либо разрываются, как в запрещении опираться на очевидность, либо смешиваются, как в ссылке на рисунок, где якобы видно бесконечную прямую, то возникает грубое противоречие, путаница.

Соединение указанных противоположностей лежит в самой сущности геометрии. Во всяком подлинно геометрическом предложении, будь то аксиома, теорема или определение, неразрывно присутствуют эти два элемента: наглядная картина и строгая формулировка, строгий логический вывод. Там, где нет одного из них, не подлинной геометрии.

В этом состоит в конечном счете противоречие в сущности геометрии: в ней непосредственно изучаются идеальные геометрические фигуры, которых нет в действительности, но ее выводы применяются к реальным вещам, к практическим задачам. Так оно происходит и в школьном преподавании: аксиомы, определения, теоремы относятся к идеальным фигурам, но поясняются на реальных примерах и применяются в решении реальных задач. Предложения геометрии выражают реальные факты, но в идеальном виде и поэтому могут не вполне соответствовать реальным фактам, а в некоторых случаях вовсе от них отделятся. Вместе с тем очевидно, что, скажем, теоремы о равенстве и подобии треугольников, теорема Пифагора и другие выражают реальные факты.

По поводу же логической строгости выводов геометрии следует заметить, что строгость их, как и выводов всей математики, не абсолютна, тем более в школьном изложении. Абсолютной строгости не бывает вообще; в школьном курсе нужно держаться «достаточного» уровня строгости, не исключающего опоры на наглядную очевидность. Где провести границу, какую опору на наглядность считать допустимой, а какую - нет, это вопрос педагогического такта [10, с. 13].

Таким образом, соединенные в геометрии противоположности взаимно проникают: наглядность входит в доказательства и определения, которые в свою очередь придают наглядности большую точность. Эта диалектика лежит в самом начале, в самых основах курса геометрии. Недостаточное ее понимание ведет, как уже сказано, к тому, что диалектическое противоречие превращается в путаницу, в ошибочные утверждения.

Сделанные замечания о фактах и строгости тоже относятся к диалектике: всякое содержательное утверждение нужно понимать не в абсолютном смысле, а с возможностью его ограничения, с возможностью, что оно не совсем, не абсолютно верно. Нет абсолютной строгости, нет полного соответствия утверждений геометрии реальным фактам.

Внося этот элемент критики, диалектика побуждает к развитию мысли, к углублению понимания, к достижению более глубокой и более точной истины. Эта черта диалектики также имеет существенное значение для преподавания геометрии.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Приложение 1

Урок - лабиринт

Для создания педагогических ситуаций, стимулирующих познавательную деятельность учащихся, нередко используют игровые приемы и задания, которые способствуют воспитанию у учащихся заинтересованного и созидательного отношения к процессу обучения математике.

Данную игровую форму занятия можно применить на уроках практического повторения с целью систематизации и обобщения материала.

Для тематического повторения отбираются, как правило, самые существенные вопросы раздела. И чтобы завершающий его контроль был максимально продуктивен, можно проводить уроки - лабиринты.

Такое повторение рассматривается, во первых, как формирующее определенные качества личности: познавательную активность, умение логически мыслить и рационально работать;

во-вторых, для закрепления программного материала.

Недостаточно только вводить в повторение новый материал и новые учебные задачи. Надо включить в активную работу максимальное количество учащихся, привлечь их самих к контролю результатов повторения, дать ощущение успеха, достижения трудного. Поэтому мы организуем непосредственное общение детей друг с другом в процессе решения конкретных учебных задач.

Для дифференцированной работы с учащимися можно использовать разноуровневые задачи.

Классу предлагается разделиться на команды по 4 - 5 человек. Оговаривается принцип подбора: в каждой команде должен быть ведущий - ученик, обладающий достаточным объемом знаний по данной теме, и ведомый - тот кому в силу различных обстоятельств (пробелы, стиль мышления и т. д.) не под силу трудные задания. Выбирается капитан, координирующий работу команды. Договариваются, кто будет выполнять роль контролера и знатока в то время, как вся команда не будет непосредственно проходить лабиринт. Устанавливается, что поощряется высказывание любой идеи, какой бы странной на первый взгляд она не казалась. Допускается критика только идей, а не высказавших их учеников. Высоко оценивается оказание творческой помощи партнеру по команде.

Урок-лабиринт проводится в соревновательной форме в три этапа. Продолжительность его обычно ограничивается сдвоенным уроком математики. На первом и втором этапах соревнуются по три различные команды. Остальные в это время или осуществляют роль контролеров при прохождении чужой командой пунктов лабиринта, оценивая добавлением или снятием очков продуктивность участия каждого члена команды, творческую атмосферу при работе, уровень взаимопомощи, или как «знатоки» вместе с учителем работают в «справочном бюро», где не просто подсказываются, а даются указания, советы, консультации, вспомогательные задания. «Знатоки» анализируют черновики решений и ответов, после того как команда прошла пункт лабиринта, чтобы исключить элемент угадывания или подбора ответа. У «справочного бюро» есть право после окончания этапа задать уточняющие вопросы членам команды, а также поощрить или наказать команду очками. Команда, первая из трех закончившая этап, получает весомую сумму очков и объявляется, как правило, победительницей этапа. На третий этап вызываются две лучшие команды предыдущих этапов. Иногда к ним по решению ребят может быть добавлена третья команда, не намного отставшая от них по очкам и показавшая достаточно интересную творческую работу внутри своей группы. Свободные в данный момент от лабиринта учащиеся самостоятельно работают на месте, видя через кодоскоп образцы заданий с каждого пункта и имея возможность сравнить свою скорость решения и ответы с быстротой и правильностью решений участвующих команд и последующим анализом заданий.

Пример одного этапа урока-лабиринта по теме «Теорема Пифагора».

В начале урока активизируется, обобщаются и систематизируются знания по этой теме. Каждая команда предъявляет и защищает свой плакат - опорный сигнал. Это их домашняя работа. На плакате должны найти отражения повторяемые объекты, связи между ними. Опорный сигнал должен быть лаконичным, красочным, позволяющим как повторять по нему материал, так и развивать свое мышление. Подготовительная работа по обучения ребят обобщать и систематизировать материал вообще и по этой теме в частности, по составлению опорных сигналов проводились на предыдущих уроках и консультациях. Опорный сигнал - плод групповой творческой работы.

Предъявленные схемы обсуждаются учащимися, выбирается оптимальный вариант.

Затем команды начинают прохождение лабиринта. Для этого выбираются по 4 парты в трех рядах, как четыре пункта для каждой команды. На каждой парте лежат по 3 карточки с заданиями. Свои места занимают: на первых пунктах - «контролеры», за «столом справок» - «знатоки». Остальные учащиеся, не занятые в лабиринте, контроле и консультациях, располагаются по периметру класса, наблюдая за кадоскопом.

Каждое задание в карточке оценивается в 5, 10 и 20 балов. Задание, которое оценено в 20 балов - задание повышенного уровня сложности.

Команды одновременно подходят к первому пункту и начинают работать. Вариант решения на каждую карточку записывают и сообщают «контролеру».

После каждого из первых двух этапов «справочное бюро», сверившись с «контролерами», объявляет баллы команд и победителя. Перед третьим этапом проводится общее обсуждение для выбора двух или трех команд. После окончания завершающего этапа в конце урока анализируются вопросы, ответы, наиболее каверзные задания, дается оценка работы команд, личного вклада каждого, «контролеров» и «знатоков».

Пункт I

Задание 1. Укажите, какой из рисунков содержит треугольники, к которым применима теорема Пифагора (5 баллов).

а) б)

в) г)

Задание 2. В прямоугольном треугольнике : =13 см, =12 см, =5 см. Найдите (10 баллов).

Задание 3. Из точки к окружности с центром в точке проведена касательная . Отрезок равен 20 см, а - 16 см, тогда длина отрезка равна:

а) 2 см; б) см; в) 12 см; г) 6 см (20 баллов).

Пункт II

Задание 1. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см, тогда его сторона равна:

а) 10 см; б) см; в) 2 см; г) см (5 баллов)

Задание 2. Из одной точки на прямую опущены перпендикуляр и наклонная. Если проекция наклонной равна 12 см, а перпендикуляр - 5 см, то длинна наклонной равна:

а) см; б) см; в) 13 см; г) см (10 баллов).

Задание 3. В окружности с центром в точке и радиусом, равным 10 см, проведена хорда . Если хорда =16 см, то расстояние от центра окружности до нее равно

а) см; б) 6 см; в) см; г) см (20 баллов).

Пункт III

Задание 1. Сторона равностороннего треугольника равна 8 см, а его медиана равна:

а) 4 см; б) см; в) 2 см; г) см (5 баллов).

Задание 2. Дан прямоугольный треугольник . В нем гипотенуза =10 см, =0,25. Найдите катет (10 баллов).

Задание 3. Две окружности равных радиусов с центрами в точках и пересекаются в точках и . Одна сторона треугольника равна 13 см, другая - 6 см. Определите расстояние между центрами окружностей (20 баллов).

Пункт IV

Задание 1. Сформулируйте теорему Пифагора (5 баллов).

Задание 2. У прямоугольного треугольника один катет равен 8 см, а косинус прилежащего к нему угла равен 0,8. Найдите гипотенузу и второй катет (10 баллов).

Задание 3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найти высоту приведенную к основанию (20 баллов).

Безусловно, при такой организации урока присутствует и элемент случайности или угадывания ответа, и возможности безделья за счет сильных учащихся. Но урок-лабиринт не является единственной формой организации тематического повторения, он не исключает, а только дополняет другие виды уроков. Контроль непосредственно на пунктах лабиринта самих ребят, проверка наличия необходимых черновых записей, комментарий к ним да и зависимость успеха всей команды от работы каждого, демократичность общения делают практически незначительными негативные моменты.

Анализ подготовки и результатов таких уроков показывает не только упрочнение знаний учащихся по данной теме, совершенствование их умений обобщать и систематизировать материал, но и изменение их отношения к математике - доминирующим для них становится сам процесс приобретения знаний и его содержание, а не оценка.

Приложение 2

Материал для учителя

История геометрии - это объяснение того, что геометрию следует считать связной теорией. Она нужна в комплексе, а не обрывками, например, о истории зарождения.

О зарождении математики

Итак, взгляд на математику. Откуда она произошла, когда и где это было? Считается, что не только математика, но и вся наука как единая система знаний, не обязательно непосредственно связанных с практической деятельностью, и как отдельная сфера человеческой деятельности, имеющей своей целью получение новых знаний, возникла в Древней Греции. До того уже имелись научные сведения, подчас немалые. Может быть то, что было до греков, стоит назвать «протонаукой».

У греков эстафету переняли арабы. Это были не только этнические арабы, но и вообще народы исламского мира. Арабский язык, будучи языком Корана, стал языком, который каждый образованный мусульманин должен быть знать. Поэтому он стал международным языком. Научные труды тоже писали по-арабски. Ну а у арабов науку переняли европейцы. Здесь стоит сделать оговорку, что переход от протонауки к науке произошел, пусть не столь отчетливо и несколько познее, так же и в Древнем Китае, и никакого греческого влияния при этом быть не могло. Но если во втором тысячелетии нашей эры различные китайские достижения - порох, ракеты, примитивное книгопечатание, бумага - проникли в Европу, а лет за 500 до того же произошло с шелком и все это оказало немалое влияние на средневековую Западною Европу, то о китайских научных достижениях европейцы узнали тогда, когда они уже в этом не нуждались.

Итак, говоря о зарождении математики, надо сначала сказать о возникновении протонауки, а потом о ее преобразовании в науку.

Протонаука зародилась в Древнем Египте и Древней Месопотамии. Древние греки об этом знали. Но начало этого процесса отстояло от них примерно на столько же, на сколько древние греки отстояли от нас. Интересующий нас период в истории Древней Греции - это, грубо говоря, 500 лет до н. э. плюс-минус двести лет, после чего уже идет эпоха эллинизма. А возникновение первого египетского государства и шумерских государств или протогосударств в Месопотамии - это примерно 3000 лет до н. э. плюс-минус несколько столетий. Примерно тогда же возникла письменность, и, по-видимому, примерно тогда же человечество овладело первыми знаниями, составившими начало протонауки. Значительное развитие первые протонауки - протоматематика и протоастрономия - получили вскоре после 2000 года до н. э., и к середине второго тысячелетия до н. э. они уже определенно сложились. Древнегреческие мыслители, писавшие о зарождении науки, знали, что цивилизации Египта и Месопотамии намного древнее греческой и что довольно многочисленные подчас далеко не простые сведения были там известны задолго до того, как они стали достоянием греков, независимо от того, заимствовали ли греки эти сведения на Востоке или приобрели их самостоятельно. Но эти древнегреческие мыслители не умели читать ни египетские иероглифы, ни месопотамскую клинопись, а теперь это умеют, хоть и не всегда свободно. Греки нередко путешествовали в Египет, реже в Месопотамию, но на западном берегу Средиземного моря тогда имелись греческие города, у которых были связи со многими частями Персидской Империи, в том числе и с Вавилоном, так что и из Вавилона до греков тоже кое-что доходило. Кроме того, в греческую эпоху связи между Вавилоном и Египтом были довольно развитыми, так что вавилонская наука могла доходить до греков и через Египет. Но греческий автор мог узнать только то немногое, что ему во время сравнительно непродолжительного пребывания в Египте или Вавилоне мог сообщить переводчик или что рассказывали приезжие из этих стран. Так что хотя за несколько столетий до н. э. египетские и месопотамские архивы находились в куда лучшем состоянии, чем то, что дошло до нас, положение современных историков отчасти лучше, чем древнегреческих. Должно быть, из-за того, что возможности ознакомления с египетскими и месопотамскими научными сведениями были ограничены, древнегреческие историки науки, насколько известно, не отмечали качественного отличия возникшей у них науки от протонауки Древнего Востока. Т. е. они не осознавали главного достижения своих соотечественников!

Что же все таки говорили древние греки о начальном этапе зарождения науки? Они считали родиной науки Египет, хотя теперь известно, что в Месопотамии она возникла независимо и что в некоторых отношениях уровень вавилонян был намного выше. Это свидетельствует о том, связи с Египтом в Греции были лучше налажены, чем с Вавилоном. Как полагал Аристотель, зарождение математики было связано с тем, что у египетских жрецов было много свободного времени и они размышляли о возвышенных предметах. Другие авторы, и прежде всего Геродот, который сам побывал в Египте, связывали зарождение математики, а точнее геометрии, с практической необходимостью - землемерными работами. (Само название «геометрия» по-гречески как раз и означает «землемерие»). В Египте необходимость в быстром и точном проведении землемерных работ стояла особенно остро. До недавнего времени - до строительства Асуанской плотины - Нил ежегодно, начиная с июня, разливался на несколько месяцев, затопляя значительную часть Нильской долины и принося на затопленные поля плодородный ил. После спадения воды необходимо было восстанавливать границы полей и дороги, а также определять какую часть того или иного участка в этом году в следствии причиненных разрушений использовать не удастся - это было нужно для уточнения размера налога. К этому можно добавить, что землемерие требовалось также при крупномасштабном строительстве, будь то строительство пирамид, храмов, дворцов или ирригационных каналов. В Месопотамии вопрос стоял не столь остро, но все же и там случались наводнения и велись строительные работы, включая ирригационные, так что тоже имелась немалая потребность в землемерных работах.

Кто же прав, Аристотель или Геродот? В известной степени правы оба. В более общем духе можно сказать, что речь идет о задачах практического происхождения и о развитии математики, а отчасти проматематики, под действием внутренне присущих ей причин. Оба фактора действуют и в наши дни, только надо пояснить, что теперь для самой математики «практический» характер имеют и ее применения в других науках, даже если поначалу при этом речь идет о внутреннем развитии этих наук, а не об их практическом применениях. Вопрос может стоять только о взаимном балансе этих двух факторов - была ли их роль в том или ином случае более или менее равноправной или же роль одного из них была ведущей.

Применительно к самому началу, видимо, прав Геродот. Древнейшие, дошедшие до нас математические тексты являются учебниками, адресованными не жрецам, а писцам. Как указывают историки, в то время вообще не было отдельного сословия жрецов, а их обязанности при случае выполняли уважаемые граждане, миряне, возвращаясь за тем к своим обычным занятиям. Писцы же были государственными служащими, которые должны были распределять заработанную плату, подсчитывать налоги, вычислять, сколько зерна надо для приготовления такого-то хлеба или пива, вычислять площади и объемы, переводить одни меры в другие. Для этого надо уметь производить вычисления, в том числе и с дробями, чему писцы учились на примерах, содержащихся в их учебниках.

Автор папируса обращается к реальному или вымышленному писцу, который занимает высокое положение, но в действительности некомпетентен и который, похоже, имеет возможность эксплуатировать автора:

«Я хочу объяснить тебе, что это значит, когда ты говоришь: «Я писец, отдающий приказы в армии». Тебе поручено выкопать озеро. Ты приходишь ко мне, спрашиваешь о запасах для солдат и говоришь: «Сосчитай мне это». Ты оставляешь свою работу, а на мои плечи сваливается задача - учить тебя как ее выполнять. Я ставлю тебя в тупик, когда приношу тебе повеление от твоего господина, тебе - его царскому писцу … мудрому писцу, поставленному во главе этого войска. Надлежит сделать насыпь для подъема в 750 локтей длины и 55 локтей ширины, состоящую из 120 отдельных ящиков и покрытую перекладинами и тростником. На верхнем конце ее высота 60 локтей, а в середине 30 локтей, уклон ее - дважды по 15 локтей, а настил - 5 локтей. Спрашиваю у военачальников, сколько понадобится кирпичей, и у всех писцов, и ни один ничего не знает. Все надеются на тебя и говорят: «Ты искусный писец, мой друг, сосчитай нам это поскорей. Смотри, имя твое славится. Сколько же надо для этого кирпичей?»»

Из этого отрывка видны некоторые из обязанностей писца. Речь идет не о каких-то мистических тайнах мироздания, или, что то же, богов, чего можно было ожидать от жрецов, а о весьма прозаических делах, требующей определенной квалификации. Видно также, что уже три с половиной тысячи лет назад объективно прогрессивный процесс разделения труда дошел до того, что видный организатор науки (протонауки) мог быть не очень в ней силен.

На более позднем этапе (и может быть, более в Вавилоне, чем Египте), видимо, сыграли свою роль и «высокие» мотивы вместе с соответствующими возможностями в смысле досуга, о чем говорит Аристотель. Жрецы тоже могли выступить на сцену. Им не приходилось подсчитывать число кирпичей, но они, может быть, занимались астрономией ради астрологических предсказаний. Тогда не могло быть речи о составлении гороскопов, требующем знания положения планет на небе, начиная с момента рождения того лица, для которого составляется гороскоп, и на много лет после того. Но тогда была, так сказать «протоастрология», делавшая предсказания на более короткие отрезки времени на основании более ограниченных данных о виде неба. С развитием астрономии в ней появилась немаловажная вычислительная сторона, требовавшая некоторой математики. Впрочем, насколько во всем этом участвовали жрецы - неизвестно. Известно, что заведомо существовали астрологи-профессионалы, которые не были жрецами.

В вавилонской протонауке уже определенно происходил переход к науке. В клинописных текстах рассмотрено много задач, не имевшим отношения ни к кирпичам для насыпи, ни к другим видам практической деятельности. Фактически, там решаются квадратные уравнения и даже отдельные уравнения более высоких степеней - и это без алгебры! Вавилоняне знали так называемую теорему Пифагора и теорему, обратную ней. Это как раз могло иметь отношение к землемерию, потому что позволяло с помощью веревки построить прямой угол. В более позднюю эпоху, когда в Греции уже зародилась наука в нашем смысле слова, какие-то геометрические построения на местности с помощью веревки уже определенно производились. На сей счет имеется прямое свидетельство Демокрита, который с гордостью заявил: «В построении линий с доказательствами я никем не был превзойден, даже так называемыми египетскими гарпедонавтами (греческое слово «гарпедонавт» означает «натягивающий веревку»)». В словах Демокрита удивительно упоминание о доказательствах. Ни в одном египетском или вавилонском тексте ничего похожего на доказательства нет. Но, с другой стороны, часть вавилонской протонауки достигла уже того уровня, когда соответствующие результаты невозможно было получить без каких-то рассуждений, может быть и не дающих исчерпывающе строгого доказательства, но приближающегося к нему. А Демокрит состязался с гарпедонавтами в довольно позднее по масштабам древнеегипетской науки время. Увы, повторяю, что ни одного текста с доказательствами до нас не дошло. Уверенно реконструируется благодаря более поздним индийским источникам только одно-единственное рассуждение - доказательство теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора и пифагоровы тройки

Пусть и - катеты прямоугольного треугольника, - его гипотенуза. Построим квадрат со стороной и возьмем на его сторонах , , , такие точки , , , соответственно ,что .

Иными словами, от каждой вершин , , , откладывается по отрезку длины в направлении к следующей вершине; «следующей» значит «следующей в порядке ». Наш квадрат разбивается на четырехугольник и четыре прямоугольных треугольника , , , . У каждого из треугольников один катет равен , а другой - . Значит, все эти треугольники равны, так что в частности, . Гипотенуза равна , а площадь треугольника есть . У четырехугольника длина каждой стороны равна , так что это ромб. Кроме того, все его углы прямые. Например

Итак, - квадрат со стороной , так что его площадь равна . Но сумма его площади и площадей четырех треугольников равна площади исходного большого квадрата, т. е.

Левая часть равна , а правая - , откуда и видно, что . Мы использовали алгебраическую символику, которой в Вавилоне не было, но вавилонские математики умели проделывать все, что здесь требуется, иначе, хотя это было более громоздко.

Это самое простое и легко запоминающееся доказательство теоремы Пифагора. Теперь его часто используют в школе.

С теоремой Пифагора связана арифметическая задача. Имеются такие тройки натуральных (т. е. целых положительных) чисел , , , что

(1)

Их называют пифагоровыми тройками. Например, годятся числа , , : 9+16=25. Это пример. А можно ли указать все пифагоровы тройки ? Иными словами, можно ли найти все решения уравнения в натуральных числах? (В связи с терминологией обратите внимание, что решение - это не одно число, а три.) Да. Ответ таков: каждое такое решение можно представить в виде

, , (2)

где - натуральные числа, причем , или в аналогичном виде, в котором и меняются местами. Можно чуть короче сказать, что , , из (2) со всевозможными натуральными и суть все возможные решения (1) с точностью до перестановки и . Например тройка (3, 4, 5) получается при =1, =2, =1.

Так что при любых натуральных с тройка , определяемая согласно (2), является решением (1)., можно проверить непосредственно путем простого вычисления. Интересно другое: почему любое решение обязательно имеет вид (2)? На самом деле, как это часто бывает, «прокручивая в обратную сторону» рассуждения, тоже можно доказать, что любая тройка вида (2) является решением. При перестановке и снова получается решение.

По видимому, вавилоняне знали этот ответ, но как они к нему пришли неизвестно. (Впрочем, не ясно, знали ли они, что все решения (1) представимы в виде (2), да и задавались ли они таким вопросом. Имеется правдоподобная, хотя и гипотетическая, реконструкция их рассуждений, в которой этим вопросом не задаются, а ищут способ как-нибудь получить больше решений.) Как его позднее доказывали древние греки - известно; по существу, их доказательство в модернизированном виде (с явным использованием алгебры) воспроизводится во многих книгах.

Сделаем несколько простых замечаний, которые предшествуют и обычному доказательству. Если , и имеют общий делитель , скажем

, ,

где - натуральные числа, то ясно, что тройка снова является решением (1). Обратно, если знаешь какое-то решение , то умножив эти три числа на какое-нибудь натуральное , то снова получится решение. Поэтому можно ограничится разысканием решений, не имеющих общего делителя. В данный момент речь идет об общем делителе всех трех чисел. Но если бы у двух из этих чисел, скажем у и , был бы общий делитель, то тот бы делитель был и у третьего. Поэтому можно ограничиться разысканием решений, в которых любые два числа ( и , и , и ) не имеют общий делитель . Так что если мы интересуемся только взаимно простыми , , , то для них в (2) должно быть =1, и утверждение, которое надо доказать, несколько упрощается: натуральные решения уравнения (1) с взаимно простыми , , с точностью до перестановки и представимы в виде

, , (3)

где - натуральные числа и . Заметьте, вовсе не утверждается обратное: что любые , получающиеся согласно (3) с натуральными , являются решением (1) и попарно взаимно просты. Решением эта тройка будет, но числа , , не обязательно получаются взаимно простыми. Ведь если у и есть общий делитель, то он войдет (даже с квадратом) и в , и в , и в .

Так что если бы настаивать на обратном утверждении, что любые , получающиеся согласно (3) с натуральными , будут решением (1) с попарно взаимно простыми , , , самое меньшее нужно бы уточнить: с взаимно простыми и . А было бы такого уточнения достаточно? Оказывается, нет. Ведь если и оба нечетные, то получится нечетным, а в (3) всегда четное. Но если одно из чисел четное, а другое нечетное, то получится нечетным, и общим с у него мог бы быть только нечетный делитель. Тогда у и имеется нечетный простой делитель . Раз делится на , то или делится на , а тогда, раз тоже делится на , то и второе из чисел делится на , т. е. и не взаимно просты, а мы уже решили, что будем брать только взаимно простые . Но главное, что этого сейчас не нужно. Надо только установить, что решение (1) с взаимно простыми натуральными , , обязательно представимо в виде (3) с какими-то а что при каких-то других могут получится решения с не взаимно простыми , , - это нас сейчас не касается.

Другое замечание состоит в том, что когда ограничиваться решениями с попарно взаимно простыми , , , то одно из чисел и должно быть четным, а другое - нечетным; при этом конечно, нечетно. Действительно, если и оба нечетные, то они не взаимно просты, а имеют общий делитель 2. Если же они оба нечетны, то можно написать, что , с некоторыми натуральными , . Отсюда

Получается, что делится на 2, но не делится на 4. Но это невозможно: если нечетно, то и на 2 не делится, а если четно, то делится на 4.

Раз одно из чисел и четно, а другое нечетно, то можно считать, что нечетно , а четно , - в противном случае просто изменим обозначения. Вот теперь начинается главное. Перепишем (1) так:

,

или, обозначая через и через , в виде , т. е. . и суть частные двух натуральных чисел, т. е. положительные рациональные числа (дроби). тоже рациональное число, причем положительное. Любое такое число представляется в виде несократимой дроби ; здесь и - натуральные числа, причем взаимно простые (раз дробь несократимая). А если

, то . Итак,

(4)

где - взаимно простые натуральные числа. Рассматривая (4) как линейную систему уравнений относительно , решим ее, для чего достаточно сложить эти два уравнения, откуда получится , и вычесть второе из первого, откуда получится :

, (5)

Отсюда видно, кстати, что .

Зная, что и - несократимые дроби. Если бы знать, что дробь тоже несократимая, то из (5) сразу следовали бы соотношения (3). Но пока что этого не знаем; однако о дробях , мы знаем, что они несократимые. Поэтому из (5) вправе сделать заключение, несколько более слабое, чем (3): существует такое натуральное , что

, , (6)

Допустим, что имеет нечетный простой делитель . Тогда делится на , а раз это простое нечетное число, то или делится на . Но тогда и одно из слагаемых в левой части равенства , и его правая часть делятся на ; выходит, что и второе слагаемое в левой части тоже делится на . Получается, что и , и делятся на , хотя они взаимно просты. Итак, у нет нечетных простых делителей, так что есть степень двойки. Вспомним, что - четное число, . Получается, что , , и если - степень двойки (с ненулевым показателем), то число четное. Тогда хотя бы одно из чисел - четное. Но из следует, что - четное число, и если вдобавок одно из чисел или - четное, то и другое должно быть четным. Снова у и нашелся общий делитель. Остается признать, что =1, а это и означает (3).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной дипломной работе исследованы структурные особенности учебного материала в школьном курсе геометрии. Рассмотрение этого вопроса актуально потому, что с ним связано серьезное противоречие. Оно выражается в том, что геометрия является значительным по объему, цельным и взаимосвязанным разделом математики, но ее изучение учащимися растянуто во времени, из-за чего учащиеся далеко не всегда удерживают в поле зрения многие важные для данного курса связи между фактами. Данное обстоятельство негативно сказывается и на освоении учащимися курса геометрии в целом.

При этом анализ последних реформ математического образования показал, что в процессе совершенствования математического образования затрагивается в основном макроструктура курса математики, но за счет одних этих перестроек создать у учащихся связное представление о математике очень трудно в силу названного выше фактора времени. Поэтому вопрос о структуре и содержании курса геометрии нужно рассматривать и как методическую проблему. Именно в таком ключе этот вопрос и рассматривался в настоящей работе, а основная цель работы состояла в отыскании методических средств, которые позволяли бы, несмотря на растянутость процесса обучения во времени, укрепить представления учащихся о взаимосвязанности изучаемых фактов. Отмеченная сложность структуры курса геометрии приводит к тому, что даже при самом тщательном упорядочении материала в учебниках, разрывы в изложении материала остаются, так что учителю необходимо предпринимать специальные меры, направленные на поддержание взаимосвязанного изучения геометрии учащимися.

В данной работе выявлена структура основных взаимосвязей в системе определений и теорем курса геометрии. Построенная в работе карта-схема этих взаимосвязей может быть использована учителями и учащимися в качестве методического средства, призванного помочь в неформальном освоении курса геометрии. Этой цели служит и разработка специализированного урока-лабиринта. Построенная в работе карта-схема основных взаимосвязей между фактами курса геометрии может быть использована при создании электронных учебников по геометрии.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Сазанова Т.А., Дубов А.Г. Электронная хрестоматия по методике преподавания математике. - http://fmi.asf.ru/library/mpm/index.html

2. Медяник А.И. Научно-методические достоинства учебного пособия по геометрии А.В. Погорелова // Математика в школе. - 1983. - № 2. - С. 48-51.

3. Погорелов А.В. Геометрия: учебник для 7 - 11 кл. средней школы. - М.: Просвещение, 1990.

4. Мищенко А.С., Понтрягин Л.С. О пробном учебнике «Геометрия 7-9» // Математика в школе. - 1983. - № 2. - С. 46-48

5. Геометрия: учебник для 7 - 9 кл. общеобразовательных учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 8-е изд. - М.: Просвещение, 1998.

6. Пикан В.В. О практической направленности учебника «Геометрия 7-9» // Математика в школе. - 1983. - № 2. - С. 51-52

7. Мельникова Н. Б., Никольская И. А., Чернышева Л. Ю. Геометрия в 6 классе: Пособие для учителя. - 8-е изд. - М. Просвещение, 1982.

8. Мельникова Н. Б., Мищенко Т. М., Чернышева Л. Ю. Геометрия в 7 классе: Пособие для учителя. - М. Просвещение, 1984.

9. Олоничев П. М. О доказательствах третьего признака равенства треугольников и теоремы о сумме углов треугольника // Математика в школе. 1983. - № 5. - С. 14 - 18.

10. Александров А.Д. Диалектика геометрии // Математика в школе. - 1986. № 1. - С. 12-19

11. Аносов Д.В. Взгляд на математику и нечто из нее. - М.: Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2000. - С. 3 - 15.