Степінь з ірраціональним показником
Вступ
Введення поняття степеня з ірраціональним показником
Означення поняття степеня з ірраціональним показником
Узагальнення поняття степеня
Список літератури
Вступ
З поняттям степені з ірраціональним показником учні ознайомуються або у 10 або у 11(12) классі залежно від профілю навчання та навчального закладу. Якщо розглянути підручник Бурда М.І. Дубінчук О.С. Мальований Ю.І. Математика 10-11 для шкіл, ліцеїв та гімназій гуманітарного профілю, то це поняття вводиться в 11 класі, причому, воно узагальнюється до поняття степеня з дійсним показником, у підручнику Бевз В.Г. Алгебра 10-11 для загальноосвітніх шкіл, з цим матеріал учні знайомляться ще в 10 класі.
Введення поняття
Після того, як для будь-якого дійсного числа ми визначили операцію пінесення до натурального степеня, для будь-якого ми визначили операцію піднесення до нульового степеня та цілий від'ємний степінь, для будь-якого - у додатний дробовий степінь, для будь-якого - у від'ємний дробовий степінь, з'являється питання: чи можна якимось чином визначити операцію піднесення до ірраціонального степеня, тобто визначити зміст виразу , для будь-якого дійсного х.
Виявляється, що для додатних чисел а можна надати сенсу запису ,.
Для цього треба розглянути 3 випадки: а=1, а>1, 0<a<1
1) а=1, то за визначенням .
2) Якщо а>1, то оберемо будь-яке раціональне число , та будь- яке раціональне число , тоді очевидно, що , а тому . Але , та оскільки а>1, тоді і нарешті
, тобто .
Під розуміють таке число, яке лежить між та , при будь-якому виборі та . Можна довести, що число єдине для будь-якого а>1 та ірраціонального .
3) Якщо 0<a<1, то оберемо будь-яке раціональне число , та будь- яке раціональне число , тоді очевидно, що , а тому .
Під розуміють таке число, яке лежить між та , при будь-якому виборі та . Можна довести, що число єдине для будь-якого 0<a<1та ірраціонального .
Розглянемо приклади:
Для визначення степеня обирають 2 послідовності:
1; 1,7; 1,73; …
2; 1,8; 1,74;…
Причому, ці послідовності такі, що
Отримаємо наближення з надлишком та недостачею. Звідси отримаємо з надлишком та недостачею.
Для визначення степеня обирають 2 послідовності:
1,4; 1,41; 1,414; …
1,5; 1,42; 1,415;…
Причому, ці послідовності такі, що
Отримаємо наближення з надлишком та недостачею. Звідси отримаємо з надлишком та недостачею.
Якщо - від'ємне ірраціональне число (,), тоді вираз має той же самий сенс, який маєть степені із від'ємним раціональним показником:
та .
Означення поняття
А тепер дамо означення степеня з ірраціональним показником:
Означення
Степенем з ірраціональним показником та основою а, де а>0, називається дійсне число , яке є границею послідовності , де - послідовність раціональних чисел така, що границя .
Узагальнення поняття степеня
Узагальнимо поняття степеня:
Означення
Степенем з дійсним показником та основою а, де а>0, називається границя послідовності , де - послідовність раціональних чисел така, що границя .
При цьому для степеня з будь-яким дійсним показником справджуються ті ж самі властивості, як і для степеня з раціональним показником, а саме:
1) , .
2) , .
3) , .
4) , .
5) , .
6) ,,.
Список літератури
1. Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 11 кл. загальноосвіт. навч. закл. - К.: Зодіак-ЕКО, 2006. - 384 с.
2. Бевз Г.П. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для 10-11 кл. загальноосвіт. навч. закл. - К.: Освіта, 2005. - 255 с.
3. Бурда М.І., Дубінчук О.С., Мальований Ю.І. Математика 10-11: Навч. посіб. для шкіл, ліцеїв та гімназій гуманітарного профілю. - К.: Освіта,2004. - 223с.
4. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс?. А.Н. Колмогоров - 2001. - 320с.
