Системы, эквивалентные системам с известным типом точек покоя
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования Гомельский государственныйуниверситет имени Франциска СкориныМатематический факультетКафедра Дифференциальных уравненийКурсовая работа«Системы, эквивалентные системам с известным типом точек покоя»Гомель 2005
РефератКурсовая работа состоит из 14 страниц, 2-х источников.Ключевые слова: вложимая система, с известным типом точек покоя, первый интеграл дифференциальной системы, отражающая функция, класс систем эквивалентных системе с известным типом точек покоя, непрерывно дифференцируемая функция.Целью курсовой работы является исследование системы с известным типом точек покоя, нахождение первого интеграла системы, применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем.
СодержаниеВведениеОпределение вложимой системы. Условия вложимостиОбщее решение системыНахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существованияОтражающая функцияПрименение теоремы об эквивалентности дифференциальных системЗаключениеСписок использованных источников
ВведениеВ курсовой работе рассматривается вложимая система с изаестным типом точек покоя. Как известно система является вложимой, если любая компонента этой системы вложима, т.е. система вложима тогда и только тогда, когда множество её решений является подмножеством множества решений некоторой линейной стационарной системы.В 1-2 м пунктах рассматривается вложимая система, с известным типом точек покоя. Далее проверяем являются ли x и y общим решением нашей системы уравнений.Во 3-м мы находим первый интеграл системы и проверяем выполнение тождества.В 4-м пункте применяем теорему об эквивалентности дифференциальных систем.
1. Определение вложимой системы. Условия вложимостиРассмотрим дифференциальную систему D. (1)Будем называть i-ю компоненту x системы (1) вложимой, если для любого решения x(t)=(x(t),…, x(t)), t, этой системы функция xt, является квазимногочленом. Таким образом i-я компонента системы (1) вложима тогда и только тогда, когда для каждого решения x(t) этой системы существует линейное стационарное уравнение вида, (2)для которого является решением.Вообще говоря, порядок и коэффициенты уравнения (2) зависят от выбора решения . В частном случае, когда компонента любого решения системы (1) является одновременно и решением некоторого, общего для всех решений уравнения (2), компоненту системы (1) будем называть сильно вложимой в уравнение (2).
2. Общее решение системыРассмотрим вложимую систему (1)(b>0 и а-постоянные) с общим решением, если с0;x=0, y=at+c, если с=0, где постоянные с, с, с связаны соотношением с(b+c+c)=a, имеет два центра в точкахи .Решение:Подставим общее решение в нашу систему (1) получим ==c(ccosct-csinct)=a-Для краткости распишем знаменатель и преобразуемx+y+b===a+c(csinct+ccosct)a-Получаем, что x и y являются общим решением системы.
3. Нахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существованияРассмотрим систему = f (t, x), x= (x,…, x), (t, x)
(1) с непрерывной в области D функцией f. Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторой подобласти G области D, называется
первым интегралом системы (1) в области G, если для любого решения x(t), t, системы (1), график которого расположен в G функция U (t, x(t)), t, постоянна, т.е. U (t, x(t)) зависит только от выбора решения x(t) и не зависит от t.Пусть V (t, x), V:G
R, есть некоторая функция. Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию V V
R, определяемую равенствомV (t, x(t))t.
Лемма 1.Для любого решения x(t), t, системы (1), график которого расположен в G, имеет место тождествоV t.Без доказательства.
Лемма 2.Дифференцируемая функция U (t, x), U:G
R, представляет собой первый интеграл системы (1) тогда и только тогда, когда производная U в силу системы (1) тождественно в G обращается в нуль.
Необходимость. Пусть U (t, x) есть первый интеграл системы (1). Тогда для любого решения x(t) этой системы, применяя
лемму 1 будем иметь тождестваUОткуда при t=t получим равенство U(t справедливое при всех значениях t и x(t). Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть теперь U при всех (t, x) Тогда для любого решения x(t) системы (1) на основании
леммы1 будем иметь тождестваа с ним и достаточность.Из определения первого интеграла следует, что постоянная на G функция также является первым интегралом системы (1). Первый интеграл U (t, x) будем называть на G, если при всех (t, x) выполняется неравенство.Функцию U(x) будем называть
стационарным первым интегралом системы (1), если она не зависит от t и является первым интегралом системы (1).
Найдем первый интеграл нашей системы:Возведем в квадрат и выразим сyПоложим , получимПроверим, что функция - это первый интеграл системы (1), т.е. проверим выполнение тождества (2)Найдем производные по t, x, y После выше сделанных преобразований получаем, что функция - это первый интеграл системы (1),2) Положим , т.е. ,где , Q3) Проверим выполнение тождества: (3), где Преобразуем (3).[в нашем случае ] = =[учитывая все сделанные обозначения] ====[ввиду того, что которое в свою очередь как мы уже показали есть тождественный ноль]Таким образом, тождество (3) истинное.
4. Отражающая функцияОпределение. Рассмотрим систему (5)cчитая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение в форме Коши обозначено через ). Через обозначим интервал существования решения .Пусть
Отражающей функцией системы (5) назовём дифференцируемую функцию , определяемую формулойДля отражающей функции справедливы свойства:1.) для любого решения системы (5) верно тождество2.) для отражающей функции F любой системы выполнены тождества3) дифференцируемая функция будет отражающей функцией системы (5) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производныхи начальному условию
5. Применение теоремы об эквивалентности дифференциальных системПолучаем где - любая нечетная непрерывная функция.Наряду с дифференциальной системой (1)рассмотрим возмущенную систему (2), где - любая непрерывная нечетная функция. Известно по [3], что дифференциальная система (3)эквивалентна возмущенной системе (4), где непрерывная скалярная нечетная функция удовлетворяющая уравнению Так как выше уже показано, что функция где {есть первый интеграл} удовлетворяет этому уравнению, то справедлива следующая теорема.
Теорема1.Система (1) эквивалентна системе (2) в смысле совпадения отражающей функции.Так как система (1) имеет две особые точки, в каждой из которых находится центр, то и система (2) имеет центры в этих точках.
ЗаключениеВ данной курсовой работе рассмотрена вложимая система с известным типом точек покоя, проверено удовлетворение общего решения нашей системе, найдены первый интеграл и проверено выполнение тождества, затем с помощью теоремы 1 доказана эквивалентность дифференциальных систем. Сформулированы определения вложимой системы, первого интеграла, отражающей функции и общие свойства отражающей функции. Cформулирована теорема при помощи которой мы доказали эквивалентность нашей системы с дифференциальной системой.
Список использованных источников1. Мироненко В.И. Линейная зависимость функций вдоль решений дифференциальных уравнений. - Мн., Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1981, 50 - 51 с.2. Мироненко В.И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. - Мн.: изд-во «Университетское», 1986, 11,17 - 19 с.3. Мироненко В.В. Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий. 2004 г.