Система случайных величин
Система случайных величин
Введние
До сих пор рассматривались ситуации, в которых фигурировала одна случайная величина.
Однако, при изучении случайных явлений приходится пользоваться двумя, тремя и более случайными величинами. Так при анализе радиотехнической системы иногда нужно найти связь между входными и выходными сигналами для одного или двух моментов времени.
Координаты точки разрыва снаряда в пространстве при стрельбе по воздушной цели определяется тремя случайными величинами , а сама точка может рассматриваться как случайная точка пространства.
Систему из n случайных величин можно рассматривать как случайную точку в n-мерном пространстве . Чтобы научиться анализировать такие системы , необходимо расширить понятия функции распределения и плотности распределения вероятностей . Сначала рассмотрим систему двух непрерывных случайных величин.
1. Система двух случайных величин
Пусть имеется две непрерывные случайные величины X и Y.
Определение. Двумерная функция распределения вероятностей случайных величин X и Y - это вероятность события , то есть
.
Легко вывести следующие свойства функции :
;
;
;
- неубывающая функция по одной их переменных;
, - функции распределения случайных величин X и Y.
Плотность распределения случайных величин (X ,Y) определяется соотношением
,
если предел существует.
Свойства плотности распределения вероятностей:
, ;
;
;
, ,
где и - плотности распределения случайных величин X и Y;
Графически плотность распределения вероятностей можно представить как некоторую поверхность над плоскостью X0Y.
Введение плотности вероятностей двух случайных величин позволяет определить математическое ожидание функции двух случайных величин g(X,Y):
В частности , если g(X,Y)=XY, то
.
2. Условные функция распределения и плотность распределения вероятностей
Подобно случайным событиям случайные величины подразделяются на зависимые и независимые, но определение здесь имеет несколько иной характер.
Из здравого смысла ясно, что отклонение индуктивности колебательного контура (одна случайная величина) и емкости (другая случайная величина) от номинального значения вследствие дефектов в их производстве - есть независимые случайные величины.
Также независимы напряжения помех, проникающих от двух или нескольких независимых (разных) источников.
Две случайные величины называются зависимы, если закон распределения вероятностей одной из них меняется в зависимости от того, какое значение приняла другая.
Степень зависимости может быть разной. Одна может быть жесткой - например, шумовое напряжение на сопротивлении R принимает значение u, то ток равен
.
В других случаях зависимость между случайными величинами является менее определимой. Между двумя крайними случаями - функциональной зависимости и полной независимости двух случайных величин - существует бесконечное множество промежуточных возможностей, при которых зависимость так или иначе проявляется. Для зависимых случайных величин вводят понятие условных законов распределения.
Пусть у нас имеется случайная величина X и событие А, состоящее в том, что случайная величина Y<y, т.е. . Ясно , что . Тогда согласно определению условной функции распределения случайной величины X при условии, что Y<y имеем
.
Аналогично получаем
Если через событие А обозначить , то тогда
если предел существует.
Условная плотность вероятностей случайной величины X при условии, что случайная величина Y=y по определению равна
Аналогично
Индексы х, у в вышеприведенных формулах часто опускают и условные плотности вероятностей обозначают
.
Из формул
,
можно получить вариант формулы Байеса для непрерывных случайных величин:
.
3. Корреляция двух случайных величин
Случайные величины X и Y независимы, если
.
Пример. Случайные тепловые падения напряжения на двух резисторах электрической схемы.
Следствие. Для независимых случайных величин X и Y
то есть математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению математических ожиданий.
2. Следствие. Для независимых случайных величин Х и Y условная плотность вероятностей
-
равна безусловной плотности вероятностей.
Аналогично имеем.Если случайные величины X иY не независимы, то вводится понятие корреляции двух случайных величин.Определение. Корреляцией или корреляционным моментом двух случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения центрированных случайных величин Если обозначить , , а их значения соответственно ,, то С другой стороны , так как и , то
Определение. Нормированный корреляционный момент называется коэффициентом корреляции:
Для дискретных случайных величин интеграл заменяется суммой, т.е.
Рассмотрим два случая . В первом случае пусть X,Y - независимые случайные величины , тогда и
Таким образом, если случайные величины X и Y независимы , то их корреляционный момент (и коэффициент корреляции) равен нулю.
Рассмотрим другой случай, когда случайные величины жестко связаны линейной зависимостью
.
Если случайная величина Х принимает значение х, то функция - определяется законом распределения случайной величины Х, а значит
Поэтому
.
Легко показать, что отсюда и
Можно показать, беря математические ожидание от квадрата суммы центрированных величин , что всегда .
Ниже приведены графики зависимости дискретных случайных величин для различных коэффициентов корреляции.
Коэффициент корреляции говорит о линейной зависимости случайных величин. Можно показать, например, что при нелинейной связи у=kx2, где случайная величина Х имеет симметричный закон распределения относительно нуля коэффициент корреляции также равен нулю.
Коэффициент корреляции можно представить в виде
.
Если выполнить интегрирование, то получаем, что
является безразмерной величиной.
Пример. Пусть случайные величины X и Y (входные и выходные величины системы) связаны линейной связью:
,
где n - независимая шумовая величина с M[n]=0 (здесь учитывается и нелинейные эффекты). Найдем дисперсию Y, т.е. - мощность выхода системы. Так как
,
то
Обозначим мощность которую вносит в у величина х , через и , которую вносит n - . Имеем
, .
Найдем коэффициент корреляции между X и Y :
отсюда и
Это соотношение называется соотношением для линейно обусловленной выходной мощности.
4. Система произвольного числа случайных величин
Пусть имеется n (n>2) случайных величин (Х1, Х2, ..., Хn). Функция распределения системы вводится как обобщение функции распределения двух случайных величин
F(x1, x2, ..., xn) = p(X1<x1, X2<x2, ... , Xn<xn)
Эта функция обладает всеми свойствами, какими обладает функция распределения двух случайных величин. Она неубывающая функция одной переменной при фиксированных остальных. Кроме того
F(- , x2, ..., xn)=...= F(x1, x2, ..., -)=F(- , -, ..., xn)=F(- , -, ...,- )=0;
F1(x1)=F(x1, , ..., ) - функция распределения случайной величины х1;
F2(x1, х2)=F(x1, х2, ,..., ) - функция распределения системы (Х1, Х2) и т.д.;
F(, , ..., ) = 1.
Аналогично системе двух случайных величин вводится плотность распределения вероятностей:
если соответствующая производная существует.
Плотность распределения системы (X1, X2, ..., Xm) (m < n) равна
По плотности распределения f(x1, x2, ..., xn) находится функция распределения
Отсюда
Условная плотность распределения определяется по формуле
Если случайные величины Х1, Х2, ..., Хn независимы, то плотность распределения системы (Х1, Х2, ..., Хn) равна
f(x1, x2, ..., xn) = f1(x1) f2(x2) ... fn(xn).
