Сингулярные интегралы
3
Федеральное агентство по образованию
Государственное муниципальное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
(ВятГГУ)
Математический факультет
Кафедра математического анализа и методики преподавания математики
Выпускная квалификационная работа
Сингулярные интегралы.
Выполнила:
студентка V курса
математического факультета
Сколова Ирина Юрьевна
____________________
Научный руководитель:
старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Гукасов Артур Константинович
____________________
Рецензент:
кандидат физико-математических наук, доцент
Подгорная Ирина Иссаковна
____________________
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой ___________________ Крутихина М. В.
« » _______________
Декан факультета ___________________ Варанкина В. И.
« » _______________
Киров 2005
ОглавлениеВведение………………………………………………………………………...с. 3§1. Понятие сингулярного интеграла…………………………………………с. 6§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке…с. 11§3. Приложения в теории рядов Фурье.............................................................с. 18 §4. Сингулярный интеграл Пуассона................................................................с. 23Литература……………………………………………………………………...с. 27
ВведениеЦель работы - познакомиться с понятием сингулярного интеграла, рассмотреть представление функции сингулярным интегралом в заданной точке и приложения в теории рядов Фурье. Основной вопрос теории сингулярных интегралов состоит в установлении связи предельных значений интеграла при со значением функции
f (
t) в точке
x. Важным также является вопрос о представлении суммируемой функции сингулярным интегралом в точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега. Теория сингулярных интегралов имеет многочисленные приложения. Например, вопрос о сходимости ряда Фурье разрешается с помощью сингулярного интеграла. Во всем дальнейшем интеграл будем понимать в смысле интеграла Лебега. Напомним, что функция называется
суммируемой, если существует конечный интеграл от этой функции.В работе нам будут необходимы следующие определения и теоремы.
Определение. Если в точке
x будет и , то точка
x называется
точкой Лебега функции
f (
t).
Теорема (Н. Н. Лузин). Пусть f (
x)
измеримая и почти везде конечная функция, заданная на [
a,
b]
. Каково бы ни было д>0, существует такая непрерывная функция , что .Если, в частности, , то и .Теорему Н. Н. Лузина можно сформулировать и так:
измеримая и почти везде конечная функция становится непрерывной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры. Определение. Пусть дано измеримое множество
E. Взяв произвольную точку
x и число
h>0, положим
E(,
h)=
E•[-
h, +
h]. Это тоже измеримое множество. Предел отношения при h>0 называется
плотностью множества E в точке и обозначается через .
Определение. Пусть функция
f (
x) задана на сегменте [
a,
b] и . Если существует такое измеримое множество
E, лежащее на [
a,
b] и имеющее точку точкой плотности, что
f (
x) вдоль
E непрерывна в точке , то говорят, что
f (
x)
аппроксимативно непрерывна в точке .
Определение. Измеримая функция
f (
x) называется
функцией с суммируемым квадратом, или
функцией, суммируемой с квадратом, если .Множество всех функций с суммируемым квадратом обозначается символом .
Определение. Пусть на сегменте [
a,
b] задана конечная функция
f (
x). Если всякому
е>0 отвечает такое
д>0, что для любой конечной системы взаимно не пересекающихся интервалов , для которой оказывается , (3)то говорят, что функция
f (
x)
абсолютно непрерывна.Не изменяя смысла определения, можно условие (3) заменить более тяжелым условием .
Определение. Две функции
f (
x) и g(x), заданные на сегменте [
a,
b], называются
взаимно ортогональными, если .
Определение. Функция
f (
x), заданная на [
a,
b], называется
нормальной, если .
Определение. Система функций , , , …, заданных на сегменте [
a,
b], называется
ортонормальной системой, если каждая функция системы нормирована, а любые две функции системы взаимно ортогональны.
Определение. Пусть есть ортонормальная система и
f (
x) некоторая функция из . Числа называются
коэффициентами Фурье функции
f (
x) в системе .Ряд называется
рядом Фурье функции
f (
x) в системе .
§1. Понятие сингулярного интегралаЧтобы познакомиться с идеей, лежащей в основе понятия сингулярного интеграла, начнем с примера.Рассмотрим функцию . (1) Если
n и
x фиксированы, а
t меняется от 0 до 1, то эта функция есть непрерывная функция от
t. Значит, для всякой суммируемой
f (
t) () можно образовать величину . (2) Докажем, что во всякой точке
x (0<
x<1), в которой функция
f(t) непрерывна, будет . (3) Для этого прежде всего отметим, что при . (4) Поэтому, чтобы установить (3), достаточно показать, что при стремится к нулю разность . Возьмем произвольное и найдем такое , что при будет . Считая, что , представим в форме.Интеграл оценивается следующим образом:. В интеграле будет , поэтому, где не зависит от
n. Аналогично и, следовательно, ,так что при достаточно больших
n будет , т. е. стремится к 0 с возрастанием
n, что и требовалось доказать. Соотношение (3) обеспечивают следующие свойства функции : при больших значениях
n те значения , которые отвечают сколько-нибудь заметно удаленным от
x значениям
t, очень малы, так что величина интеграла (2) определяется в основном значениями подынтегральной функции в непосредственной близости точки
x. Но около точки
x функция
f (
t) почти равна
f (
x) (т. к. она непрерывна при
t=x). Значит, если
n велико, то интеграл (2) мало изменяется при замене
f (
t) на
f (
x), т. е. он почти равен интегралу и, в силу (4), почти равен
f (
x). Функция , обладающая подобными свойствами, носит название
ядра.
Определение. Пусть функция (
n=1, 2, …), заданная в квадрате (, ), суммируема по
t при каждом фиксированном
x. Она называется
ядром, если при условии, что .
Определение. Интеграл вида , где есть ядро, называется
сингулярным интегралом. В теории сингулярных интегралов очень важен вопрос установления связи предельных значений интеграла при со значением функции
f (
t) в точке
x. Так как изменение значения функции
f (
t) в одной точке никак не отражается на величине , то необходимо потребовать, чтобы значение
f (
x) функции
f (
t) в точке
x было как-то связано с ее значениями в близких точках. Простейшая форма такой связи есть непрерывность функции
f (
t) в точке
t=x. Другими формами связи могут служить аппроксимативная непрерывность, требование, чтобы
x была точкой Лебега функции
f (
t), и т. п.
Теорема 1 (А. Лебег). Пусть на [a, b] задана последовательность измеримых функций , , , … Если существует такая постоянная K, что при всех n и t будет , (5)
и если при всяком c () будет , (6)
то, какова бы ни была суммируемая на [a, b] функция f (
t)
, справедливо равенство . (7)Доказательство. Если есть сегмент, содержащийся в
[a, b], то из (6) следует, что . (8) Рассмотрим
непрерывную функцию
f (
t), и для наперед заданного разложим
[a, b] точками
на столь малые части, чтобы в каждой из них колебание
f (
t)
было меньше, чем
е. Тогда
. (9)Но , так что первая сумма из (9) не больше, чем
Kе(b-a). Вторая же сумма (9), в силу (8), стремится к нулю с возрастанием
n и для окажется меньшей, чем
е. Для этих
n будет ,так что (7) доказано для непрерывной функции
f(t). Пусть
f (
t)
измеримая
ограниченная функция . Возьмем
е>0 и, пользуясь теоремой Н. Н. Лузина, найдем такую непрерывную функцию
g(
t), что , . Тогда . Но .Интеграл по уже доказанному стремится к нулю и для достаточно больших
n становится меньше
е. Значит, для этих
n будет ,что доказывает (7) для случая ограниченной измеримой функции.Пусть
f (
t)
произвольная суммируемая функция. Возьмем
е>0 и, пользуясь абсолютной непрерывностью интеграла, найдем такое
д>0, чтобы для любого измеримого множества с мерой
me<
д было . Сделав это, найдем такую измеримую ограниченную функцию
g(
t), чтобы было . Это возможно по
Теореме. Пусть на множестве Е задана измеримая, почти везде конечная функция f (
x)
. Каково бы ни было е>0, существует измеримая ограниченная функция g(
x)
такая, что .
Можно считать, что на множестве функция
g(
t) равна нулю. Тогда . Но .Интеграл же при достаточно больших
n будет меньше
е, и при этих
n окажется , что и доказывает теорему.
Пример. Пусть . Тогда и . Следовательно выполнены оба условия теоремы Лебега. Аналогично рассматривается случай . Таким образом доказана
Теорема 2 (Риман-Лебег). Для любой суммируемой на [a, b] функции f (
t)
будет .В частности,
коэффициенты Фурье ,
произвольной суммируемой функции стремятся к нулю при .
Если соотношение (7) имеет место для всякой суммируемой на
[a, b] функции
f (
t), то мы будем говорить, что последовательность
слабо сходится к нулю.
§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке Во всем дальнейшем будем считать, что ядро при фиксированных
n и
x ограничено. Тогда сингулярный интеграл имеет смысл при любой суммируемой функции
f (
t).
Теорема 1 (А. Лебег). Если при фиксированном x(a<x<b) и любом д>0 ядро слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [a, x-д], [x+д, b] и , где H(
x)
не зависит от n, то, какова бы ни была суммируемая функция f (
t)
, непрерывная в точке x, справедливо равенство .Доказательство. Так как есть ядро, то , и достаточно обнаружить, что . С этой целью, взяв
е>0, найдем такое
д>0, что при будет .Это возможно в силу непрерывности функции
f в точке
x. Тогда при любом
n .Но каждый из интегралов , при стремится к нулю, т. к. слабо сходится к нулю в каждом из промежутков
[a, x-д],
[x+д, b]. Поэтому для каждый из них будет по абсолютной величине меньше е/3.И для этих
n окажется , что и требовалось доказать. Эта теорема относится к представлению суммируемой функции в точках непрерывности, но суммируемая функция, вообще говоря, не имеет ни одной точки непрерывности, что понижает интерес этой теоремы. Больший интерес представляет вопрос о представлении суммируемой функции в тех точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега, так как и те и другие точки заполняют почти весь сегмент задания функции. Перейдем к рассмотрению этого вопроса.
Лемма (И. П. Натансон). Пусть на сегменте [a, b] дана суммируемая функция f (
t)
, обладающая тем свойством, что . (1)
Какова бы ни была неотрицательная убывающая функция g(
t)
, заданная и суммируемая на [a, b], интеграл (2)
существует (может быть как несобственный при t=a) и справедливо неравенство . (3) В пояснение условий леммы заметим, что не исключается случай, когда . Если же , то функция
g(
t) ограничена, и интеграл (2) существует как обычный интеграл Лебега. Переходя к доказательству леммы, заметим, что не ограничивая общности, можно принять, что
g(
b)
=0. Действительно, если бы это не было так, то можно было ввести вместо
g(
t) функцию
g*(
t), определив ее равенствами
g(
t), если ,
g*(
t)= 0, если
t=b. Доказав теорему для
g*(
t), мы затем смогли бы всюду заменить
g*(
t) на
g(
t), т. к. такая замена не отражается на величине интересующих нас интегралов. Итак, считаем, что
g(
b)
=0. Пусть
a<б<b. На сегменте
[б, b] функция
g(
t) ограничена, и интеграл (4)заведомо существует. Если положить , то интеграл (4) можно записать в форме интеграла Стилтьеса ,откуда, после интегрирования по частям, находим . Но, в силу (1), мы имеем, что для любого
h из интервала
[0,
t-
a] выполняется неравенство и следовательно , (5)а так как
g(
t) убывает, то . (6)Значит . С другой стороны, функция -
g(t) возрастает. Отсюда и из (5) следует, что .Преобразуем стоящий справа интеграл по формуле интегрирования по частям: .Отсюда, учитывая (6), следует, что . Сопоставляя все сказанное, получаем: . (7) Хотя это неравенство установлено при предположении, что
g(
b)
=0, но оно останется верным и без этого предположения. Значит, можно заменить здесь предел
b на
в, где б
<в<b. Но тогда, устремляя
б и
в к
a, получим ,чем доказывается существование интеграла (2). Если в (7) перейти к пределу при , то получим (3). Лемма доказана. (В оценке (3) множителя
M уменьшить нельзя, так как при
f (
t)
=1 в (3) достигается равенство.)
Теорема 2 (П. И. Романовский). Пусть ядро положительно и обладает следующим свойством: при фиксированных n и x ядро , как функция одного лишь t, возрастает в сегменте [a, x] и убывает в сегменте [x, b]. Тогда для любой суммируемой функции f (
t)
, которая в точке x является производной своего неопределенного интеграла, будет . Доказательство. Так как есть ядро, то и достаточно проверить, что . Разбивая последний интеграл на два, распространенные на сегменте
[a, x] и
[x, b], рассмотрим второй из них, так как первый изучается аналогично. Возьмем
е>0 и найдем такое
д>0, что при будет ,что возможно, так как
f (
t) в точке
t=x есть производная своего неопределенного интеграла. То есть и . Тогда по предыдущей лемме . Так как есть ядро, то
. Величина, имеющая конечный предел, ограничена. Значит, существует постоянная
K(
x) такая, что
. Таким образом, . С другой стороны, если , то . Значит функции на сегменте
[x+д, b] равномерно ограничены и выполнено условие (5) теоремы Лебега из §1. Но второе ее условие, т. е. условие (6), также выполнено для этих функций, т. к. является ядром. Следовательно на сегменте
[x+д, b] слабо сходится к нулю, и для достаточно больших
n будет . При этих
n окажется ,так что .Теорема доказана. В качестве примера ее приложения рассмотрим
интеграл Вейерштрасса . Функция есть ядро, т. к. при б<x<в . Эта функция положительна, и она возрастает при и убывает при . Значит, для всякой будет в каждой точке
x, где
f (
t) есть производная своего неопределенного интеграла.
Определение. Функция Ш
(t, x) называется
горбатой мажорантой функции , если и если Ш
(t, x) при фиксированном
x возрастает на сегменте
[a, x] и убывает на сегменте
[x, b].
Теорема 3 (Д. К. Фаддеев). Если ядро при каждом n имеет такую горбатую мажоранту , что ,где K(
x)
зависит лишь от x, то для любой , имеющей точку t=x точкой Лебега, будет справедливо равенство . Доказательство. Достаточно доказать, что . Возьмем
е>0 и найдем такое
д>0, что при будет . По лемме имеем. С другой стороны, в сегменте
[x+д, b] последовательность слабо сходится к нулю, т. к. при будет .Следовательно для достаточно больших
n будет . При этих
n окажется ,так что . Теорема доказана.
§3. Приложения в теории рядов Фурье Во введении мы уже определили понятие ряда Фурье функции
f (
x) по любой ортонормальной системе . В частности, если речь идет о тригонометрической системе , (1)то рядом Фурье функции
f (
x) служит ряд , (2)где , . (3) Во введении предполагали, что . Это предположение обеспечило существование коэффициентов Фурье функции
f (
x) в любой ортонормальной системе. Но функции системы (1) ограничены. Поэтому коэффициенты (3), а с ними и ряд (2), можно образовать для любой суммируемой функции. Вопрос о сходимости ряда (2) приводится к исследованию некоторого сингулярного интеграла. Если , то, в силу (3), .Выведем формулу для упрощения выражения в скобках. Для этого сложим равенства (
k=0, 1, …,
n-1), .Это дает , откуда следует равенство , (4)Пользуясь этой формулой, придадим сумме вид . (5) Этот интеграл есть сингулярный
интеграл Дирихле. Рассмотрим вопрос о суммировании ряда (2) по способу Чезаро. Этот способ состоит в отыскании предела среднего арифметического первых
n сумм : . (6) В случае сходимости ряда (2) в точке
x последовательность сходится к сумме ряда, но эта последовательность может сходиться и тогда, когда ряд (2) расходится. Для исследования преобразуем ее с помощью формулы (5) .Но . (7) Действительно, складывая равенства (
k=0, 1, …,
n-1),находим , откуда и следует (7). С помощью (7) получаем . (8) Интеграл (8) есть сингулярный
интеграл Фейера. Покажем, что для него выполнены условия теоремы Фаддеева.Для этого рассмотрим функцию
f (
t)=1. Вычисляя ее коэффициенты Фурье по формулам (3), получим (
k=1, 2, …).Значит, для этой функции (n=0, 1, 2, …), а следовательно и . Но выражая интегралом Фейера, получим, что . (9) Заметив это, рассмотрим точку . Пусть . Если , то , и, следовательно, , где
A(x, б) не зависит от
n. Отсюда следует, что . Аналогично убедимся, что интеграл стремится к нулю по промежутку [
в,
р]. Сопоставляя это с (9), находим, что ,так что функция есть ядро. Для этого ядра можно построить горбатую мажоранту. Заметим, что . Отсюда . Но . Следовательно и . (10)С другой стороны, когда , то , так что . (11) Так как , , то может оказаться и больше, чем . Но это несущественно. Если положим , , то разность между интегралом Фейера (8) и интегралом при возрастании
n стремится к нулю (т. к., например, при будет ), поэтому все рассуждения можно вести для интеграла .Из (10) и (11) следует, что.Функция есть горбатая мажоранта ядра Фейера. Но , т. е. интегралы от мажоранты ограничены числом, не зависящим от
n. Итак, интеграл Фейера удовлетворяет условиям теоремы Д. К. Фаддеева. Отсюда следует
Теорема 1 (Л. Фейер - А. Лебег). Почти везде на [-р, +р] будет . (12)
Это соотношение выполняется во всех точках Лебега и тем более во всех точках непрерывности функции f (
t)
, лежащих внутри [-р, +р]. Тригонометрическая система полна. Это означает, что всякая функция , у которой все коэффициенты Фурье (3) равны нулю, эквивалентна нулю. Избавимся от ограничения, что
f (
x) суммируема с квадратом. Справедлива следующая
Теорема 2. Если все коэффициенты Фурье (3) суммируемой функции f (
x)
равны нулю, то f (
x)
эквивалентна нулю. В самом деле, в этом случае и, следовательно,
f (
x)=0 во всех точках, где имеет место (12), т. е. почти везде. Теорема 1 позволяет делать некоторые высказывания и о поведении сумм . Для этого заметим, что ,так что . Отсюда .
§4. Сингулярный интеграл Пуассона Пусть точка x есть
точка d суммируемой функции
f (
t), если в этой точке производная неопределенного интеграла функции
f (
t) равна
f (
x) (причем ).Интеграл (0<
r<1) есть сингулярный интеграл Пуассона. Если
x (-
р<
x<
р) есть точка
d суммируемой функции
f (
t), то (П. Фату).1) Докажем, что - ядро. Т. к. ядро является 2р-периодической функцией, то интеграл от этой функции, рассматриваемый на периоде, не зависит от
x. Рассмотрим при
x=0. .Для вычисления интеграла используем универсальную тригонометрическую подстановку и получим. (1)Обозначим , тогда , а . Выражение (1) будет равно при 0<
r<1.Получили, что и - ядро. 2) Докажем, что ., .Тогда . Следовательно достаточно проверить, что .Найдем такое, что на интервале [
x-,
x] ядро возрастает, а на [
x,
x+] убывает. Это возможно, т. к. производная функции меняет знак с плюса на минус при переходе через точку
x: . Возьмем
е>0 и найдем такое
д (0<
д<), что при будет , что возможно, так как
x есть точка
d, т.е.
f (
t) в точке
t=x есть производная своего неопределенного интеграла. Тогда по лемме И. П. Натансона , т. к. есть ядро, и
. Таким образом, на интервале [
x,
x+
д] справедливо неравенство . На [
x-
д,
x] интеграл рассматривается аналогично в силу симметричности ядра на интервале [
x-
д,
x+
д] относительно точки
x.Рассмотрим за пределами [
x-
д,
x+
д], т.е. на [-
р, x-д,] и на [
x+
д, р]. В этих случаях выполняются неравенства , .Тогда и .Следовательно , т. к. , и знаменатель дроби не равен нулю.Аналогично .То есть на интервалах [-
р, x-д,] и [
x+
д, р].При
r, достаточно близких к 1, получим и .При этих
r окажется , так что и . Таким образом, доказано, что (0<
r<1) есть сингулярный интеграл.
Литература1. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. - М.: Наука, 1974.2. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. - 3. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1968.