Розв'язання рівнянь методом оберненої матриці та методом Гауса
2
Контрольна робота
З дисциплiни: Вища математика
За темою (роздiлом навчального плану)
Прізвище,ім'я, по батькові студента
Данiщук Мирослава Евгенiївна
Прiзвище та інiцiали викладача
Дюженкова Ольга Юріївна
Київ 2008 рiк.
Завдання 1Систему рівнянь записати в матричній формі та розв'язати методом оберненої матриці та методом Гауса. (*)
Розв'язання.Запишемо дану систему рівнянь (*) в матричній формі:
= . (1)Введемо позначення:
А? - матриця системи,Х ? - вектор-стовпець з невідомих членів,В ? - вектор-стовпець з вільних членів.1) Розв'яжемо систему рівнянь (*) методом оберненої матриці.Домноживши рівність (1) зліва на обернену матрицю A-1 одержимо:Знайдемо обернену матрицю до даної:
A-1 = ,де
А11= (-1) 2·=10-24=-14,А12= (-1) 3·=- (-6+6) =0,А13= (-1) 4·=-12+5=-7,А21= (-1) 3·=- (-2+4) =-2,А22= (-1) 4·=-6-1=-7,А23= (-1) 5·=- (-12-1) =13,А31= (-1) 4·=-6+5=-1,А32= (-1) 5·=- (-18-3) =21,А33= (-1) 6·=-15-3=-18.det A = = 30-6-12+5+6-72=-49.Тому
A-1 = = - .Отже, розв'язок даної системи в матричній формі запишеться так:X = -
·=-==-=.Тобто
х1=1,х2=1,х3=1.2) Розв'яжемо систему рівнянь методом Гауса.Метод Гауса полягає в послідовному виключенні невідомих за допомогою елементарних перетворень.Спочатку виключимо х1 з другого та третього рівнянь системи (*).Помножимо друге рівняння системи (*) на - 1 і додамо його до першого - запишемо замість другого рівняння,Помножимо третє рівняння на - 3 і додамо його до першого - запишемо замість третього рівняння: (2)Тепер виключимо х3 з третього рівняння отриманої системи (2). Для цього помножимо третє рівняння системи (2) на - 1 і додамо до другого - запишемо замість третього рівняння системи: (3)З рівняння (3) маємо:х2= 1,х2 = = 1,х3 = 5-3·1-1=1.
Відповідь. дана система в матричній формі: = ,її розв'язок (1; 1;1).Завдання 2Показати, що перші три вектори , , утворюють базис тривимірного векторного простору, і розкласти вектор за цим базисом (при розв'язанні системи лінійних рівнянь використати формули Крамера):= (1,2,3), = (2,2,3), = (1,1,1), = (5,7,10)
Розв'язання.Для того, щоб вектори , , утворювали базис, необхідно щоб вони були лінійно незалежними. Тобто має виконуватись рівність:б +в +г = 0,за умови, що б = в = г = 0.Тобтоб +в +г = 0,або = .Тоді, система: повинна мати тільки нульове рішення. Це можливо тільки, якщо її визначник не дорівнює нулю.Визначник системи:А = ,
det A = 1*2*1+2*1*3+2*3*1-3*2*1-2*2*1-3*1*1=10.Отже, вектори , , утворюють базис тривимірного векторного простору.Тоді вектор є їх лінійною комбінацією: = b1 + b2 + b3 .Числа b1, b2, b3 будуть координатами вектора у базисі , , . Знайдемо їх, розв'язавши відповідну систему:Систему лінійних рівнянь розв'яжемо, використовуючи формули Крамера:b1 = ,b2 =b3 = .= det = 5*2*1+2*1*10+7*3*1-10*2*1-7*2*1-3*1*5 = 2,= det = 1*7*1+5*1*3+2*10*1-3*7*1-5*2*1-10*1*1 = 1,= det =1*2*10+2*7*3+2*3*5-3*2*5-2*2*10-3*7*1 = 1.Тоді b1 = 2,b2 = 1,b3 = 1.Отримали вектор у базисі , , : = 2 + + .
Відповідь. вектори , , утворюють базис тривимірного векторного простору, = 2 + + .
Завдання 3Задано: координати трьох точок А, В, С. Записати рівняння сторін трикутника АВ, АС і ВС, висоти АК, знайти кут А і координати точки К.A (0;2), B (2;3), С (1;3).
Розв'язання.рівняння АВ:,звідси рівняння прямої АВ: х - 2у + 4=0;рівняння АС:,звідси рівняння прямої АС: х - у +2=0;рівняння ВС:,звідси рівняння прямої ВС: у = 3.2) З урахуванням перпендикулярності прямої ВС і висоти АK нормальний вектор прямої ВС є напрямним прямої АК: (0;1) - нормальний вектор прямої ВС, (0;1) - напрямний вектор прямої АК. Напишемо рівняння цієї прямої, враховуючи, що їй належить т. А (0;2) - =0х = 0 - рівняння прямої АК.3) кут А - гострий кут між прямими АВ і АС:LA = LBAK - LCAK,де LBAK = arctg (BK / AK) = arсtg (2/1) = arсtg 2,LCAK=arctg (CK / AK) = arctg (1/1) = ,тому L A = arctg 2 - .4) Знайдемо точку К - точку перетину висоти АК і прямої ВС, тобто координати т. К є розв'язком системи рівнянь даних прямих:Маємо: К (0;3).
Відповідь. (АВ): х - 2у + 4=0, (АС): х - у +2=0;(ВС): у = 3;(АК): х=0;L A = arctg 2 - ;К (0;3).
Завдання 4Знайти границі функцій (не використовуючи правило Лопіталя):а) ; б) ; в)
Розв'язання:а) Коли x прямує до нескінченності, молодшими степенями x можна нехтувати:= ==-3;б) Здійснимо заміну змінних y = x - 2:== - ,розпишемо синус за допомогою формули Тейлора:sin у = y - +…Тоді:= - = - = - 1 - (-) +…=-1+0+…=-1;в) Скористаємося визначенням числа e:е = і здійснимо заміну змінних y = - 2x - 1:= = = = = = е2.
Відповідь. - 3; - 1; е2.Завдання 5Знайти похідну функції:у = еsin x ln x
Розв'язання.Скористаємося формулою диференціювання добутку і складної функції:.
Відповідь. .
Завдання 5Дослідити функцію методами диференціального числення і побудувати її графік. Досліджувати функцію рекомендується за такою схемою:1) знайти область визначення й область зміни функції;2) дослідити функцію на неперервність, знайти точки розриву функції (якщо вони існують) і точки перетину її графіка з осями координат;3) знайти інтервали зростання і спадання функції і точки її локального екстремуму;4) знайти інтервали опуклості й угнутості графіка функції та точки перегину;5) знайти асимптоти графіка функції.у = .
Розв'язання.1) Область визначення - вся числова вісь за винятком x = - 3 и x = +3, коли знаменник перетворюється в нуль:х є (-?; - 3) U (-3; +3) U (+3; +?),область значень функції - вся числова вісь за виключенням y = 0: у є (-?; 0) U (0; +?).2) Точки розриву x = - 3 и x = +3, коли знаменник перетворюється в нуль;функція перетинає вісь y при х = 0, у = - .3) Інтервали зростання і спадання функції і точки її локального екстремуму:знайдемо похідну функції:,похідна додатна при x < 0, тому функція при x <0 зростає,похідна від'ємна при x > 0, тому функція при x > 0 спадає,похідна дорівнює 0 при x = 0, тому функція при x = 0 досягає локального екстремуму;знайдемо другу похідну функції:,друга похідна дорівнює - при x = 0, тобто від'ємна, тому даний локальний екстремум - це локальний максимум.4) Знайдемо інтервали опуклості й угнутості графіка функції та точки перегину:друга похідна додатна в інтервалах (-?; - 3), (+3; +?), тому в них функція випукла вниз;друга похідна від'ємна в інтервалі (-3; +3), тому в ньому функція випукла вгору;відповідно, точки x = - 3 и x = +3 - точки перегину5) Знайдемо асимптоти графіка функції:при х>-? і х>+? функція прямує до нуля, тому пряма y = 0 - горизонтальна асимптота;точки x = - 3 и x = +3, коли знаменник перетворюється в нуль, визначає дві вертикальні асимптоти.6) Побудуємо графік функції:
Відповідь.1) х є (-?; - 3) U (-3; +3) U (+3; +?), у є (-?; 0) U (0; +?);2) точки розриву x = - 3 и x = +3;функція перетинає вісь в т. (0; - );3) функція при x <0 зростає,функція при x > 0 спадає,функція при x = 0 досягає локального екстремуму;у=- при x = 0 - локальний максимум;4) в інтервалах (-?; - 3), (+3; +?) функція випукла вниз;в інтервалі (-3; +3) функція випукла вгору;точки x = - 3 и x = +3 - точки перегину;5) y = 0 - горизонтальна асимптота;x = - 3 и x = +3 - вертикальні асимптоти.Завдання 6Знайти невизначені інтеграли:а) , б) .
Розв'язання.а) Здійснимо заміну змінних y = cos x - 4, dy = - sin x dx:;б) Скористаємося формулою інтегрування за частинами:==-
Відповідь. ; .
Завдання 7Знайти частинні похідні за обома змінними функції двох змінних:
z (x,y) =x ln y + y Розв'язання.Скористаємося формулою диференціювання і складної функції:,
Відповідь. ; .