рефераты, скачать реферат, современные рефераты, реферат на тему, рефераты бесплатно, банк рефератов, реферат культура, виды рефератов, бесплатные рефераты, экономический реферат

"САМЫЙ БОЛЬШОЙ БАНК РЕФЕРАТОВ"

Портал Рефератов

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики

Вариант 1

№ 1

Три стрелка делают по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятности поражения целей равны соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,8, р3 = 0,7.

Найти вероятности того, что:

а) все три стрелка попадают в цель;

б) только один из них попадает в цель;

в) хотя бы один стрелок попадает в цель.

Обозначим события: А - все 3 стрелка попадают в цель; В - только один стрелок попадает в цель; С - хотя бы один стрелок попадает в цель.

Вероятности промахов равны соответственно: q1 = 0,1, q2 = 0,2, q3 = 0,3.

а) Р(А) = р1р2р3 = 0,9•0,8•0,7 = 0,504.

б) Р(В) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9•0,2•0,3 + 0,1•0,8•0,3 + 0,1•0,2•0,7 = 0,092.

в) Событие - все три стрелка промахиваются. Тогда

Р(С) = 1 - Р() = 1 - 0,1•0,2•0,3 = 1 - 0,006 = 0,994.

№ 11

Вероятность наступления события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит ровно 5 раз

У нас n достаточно велику, р малу, л = np = 150 • 0,02 = 3 < 9, k = 5. Справедливо равенство Пуассона: . Таким образом,

№ 21

По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение у(Х).

хі	1	2	3	4	5
рі	0,05	0,18	0,23	0,41	0,13

Последовательно получаем:

М(Х) = ? хірі = 0,05 + 2•0,18 + 3•0,23 + 4•0,41 + 5•0,13 = 3,39.

i=1

D(X) = ? xiІpi - MІ = 0,05 + 2І•0,18 + 3І•0,23 + 4І•0,41 + 5І•0,13 - 3,39І = i=1

1,1579.

у(Х) = vD(X) = v1,1579 = 1,076.

№ 31

Случайная величина Х задана интегральной функцией

а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);

б) математическое ожидание и дисперсию величины х;

в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

;

г) построить графики функций F(x) и f(x).

Последовательно получаем:

а) ;

в) Р(a < x < b) = F(b) - F(a) P= F(1) - F= - 0 = .

Графики функций поданы далее.

№ 41

Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (б; в) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение у. Данные: б = 2; в = 13; а = 10; у = 4.

Используем формулу Р(б < x < в) =

Имеем: Р(2 < x < 13) == Ф- Ф(-2).

Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:

Ф- Ф(-2) = Ф+ Ф(2) = 0,2734 + 0,4772 = 0,7506.

№ 51

По данному статистическому распределению выборки
хі
4
5,8
7,6
9,4
11,2
13
14,8
16,6
mі
5
8
12
25
30
20
18
6
Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.
Для решения задачи введём условную переменную
, где С - одно из значений хі, как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h - это шаг (у нас h = 1,8).
Пусть С = 11,2. Тогда .
Заполним таблицу:
xi
mi
xiґ
ximi
(xiґ)Іmi
4
5
- 4
- 20
80
5,8
8
- 3
- 24
72
7,6
12
- 2
- 24
48
9,4
25
- 1
- 25
25
11,2
30
0
0
0
13
20
1
20
20
14,8
18
2
36
72
16,6
6
3
18
54
? = 124
? = - 19
? = 371
Используя таблицу, найдём ;
D(xґ) = ?(xiґ)Іmi - (xiґ)І = - (- 0,1532)І = 2,9685.
Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):
_
x = xґh + C = - 0,1532•1,8 + 11,2 = 10,9242; D(x) = D(xґ)•hІ = 2,9685•1,8І = 9,6178;
у(x) = vD(x) = v9,6178 = 3,1013.
№ 61
По данной корреляционной таблице найти выборочное уравнение регрессии.
у х
6
9
12
15
18
21
ny
5
4
2
6
15
5
23
28
25
18
44
5
67
35
1
8
4
13
45
4
2
6
nx
4
7
42
52
13
2
n = 120
Для упрощения расчетов введем условные переменные
u = , v = . Составим таблицу:
v u
- 3
- 2
- 1
0
1
2
nv
nuvuv
- 2
4 6
2 4
6
32
- 1
5 2
23 1
28
33
0
18 0
44 0
5 0
67
0
1
1 -1
8 0
4 1
13
3
2
4 2
2 4
6
16
nu
4
7
42
52
13
2
n = 120
? = 84
Последовательно получаем:
;
;
;
;
уuІ = - (u)І = 1,058 - (- 0,425)І = 0,878; уu = v0,878 = 0,937;
уvІ = - (v)І = 0,742 - (- 0,125)І = 0,726; уv = v0,726 = 0,8521;
По таблице, приведённой выше, получаем ?nuvuv = 84.
Находим выборочный коэффициент корреляции:
Далее последовательно находим:
x = u•h1 + C1 = - 0,425•3 + 15 = 13,725; y = v•h2 + C2 = - 0,125•10 + 25 = 23,75;
уx = уu•h1 = 0,937•3 = 2,811; уy = уv•h2 = 0,8521•10 = 8,521.
Уравнение регрессии в общем виде: Таким образом,
упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии:
Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х.
1) при х = 12 по таблице имеем
по уравнению:
ух=12 = 2,457•12 - 9,968 = 19,516; е1 = 19,762 - 19,516 = 0,246;
2) при х = 18 по таблице имеем
по уравнению:
ух=18 = 2,457•18 - 9,968 = 34,258; е2 = 34,258 - 34,231 = 0,027.
Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.
Вариант 2
№ 2
Для сигнализации об аварии установлены 3 независимо работающие устройства. Вероятности их срабатывания равны соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,95, р3 = 0,85. Найти вероятности срабатывания при аварии:
а) только одного устройства;
б только двух устройств;
в) всех трёх устройств.
Обозначим события: А - срабатывает только одно устройство; В - срабатывают 2 устройства; С - срабатывают все 3 устройства. Вероятности противоположных событий (не срабатывания) соответственно равны q1 = 0,1, q2 = 0,05, q3 = 0,15. Тогда
а) Р(А) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9•0,05 •0,15 + 0,1•0,95•0,15 + 0,1•0,05•0,85 = 0,02525.
б) Р(В) = p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3 = 0,9•0,95•0,15 + 0,9•0,05•0,85 + 0,1•0,95•0,85 = 0,24725.
в) Р(С) = р1р2р3 = 0,9•0,95•0,85 = 0,72675.
№ 12
В партии из 1000 изделий имеется 10 дефектных. Найти вероятность того, что из взятых наудачу из этой партии 50 изделий ровно 3 окажутся дефектными.
По условию n = 50, k = 3. Поскольку р малу, n достаточно большое, в то же время nр = 0,5 < 9, справедлива формула Пуассона: .
Таким образом,
№ 22
По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение у(Х).
хі
2
3
4
5
8
рі
0,25
0,15
0,27
0,08
0,25
Последовательно получаем:
5
М(Х) = ? хірі = 2•0,25 + 3•0,15 + 4•0,27 + 5•0,08 + 8•0,25 = 4,43.
i=1
5
D(X) = ? xiІpi - MІ = 2І•0,25 + 3І•0,15 + 4І•0,27 +5І•0,08 + 8І•0,25 - 4,43І і=1
= 5,0451.
у(Х) = vD(X) = v5,0451 = 2,246.
№ 32
Случайная величина Х задана интегральной функцией

а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);
б) математическое ожидание и дисперсию величины х;
в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу
;
г) построить графики функций F(x) и f(x).
Последовательно получаем:
а) ;
в) Р(a < x < b) = F(b) - F(a) P= F(1) - F=
Графики функций приводятся далее.
№ 42
Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (б; в) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение у. Данные: б = 5; в = 14; а = 9; у = 5.
Используя формулу имеем
Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:
№ 52
По данному статистическому распределению выборки
хі
7,6
8
8,4
8,8
9,2
9,6
10
10,4
mі
6
8
16
50
30
15
7
5
Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.
Для решения задачи введём условную переменную
где С - одно из значений хі , как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h - это шаг (у нас h = 0,4).
Пусть С = 8,8. Тогда
Заполним таблицу:
xi
mi
xiґ
ximi
(xiґ)Іmi
7,6
6
- 3
- 18
54
8
8
- 2
- 16
32
8,4
16
- 1
- 16
16
8,8
50
0
0
0
9,2
30
1
30
30
9,6
15
2
30
60
10
7
3
21
63
10,4
5
4
20
80
? = 137
? = 51
? = 335
Используя таблицу, найдём
;
D(xґ) = ?(xiґ)Іmi - (xiґ)І = - 0,3723І = 2,3067.
Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):
x = xґh + C = 0,3723•0,4 + 8,8 = 8,9489; D(x) = D(xґ)•hІ = 2,3067•0,4І = 0,3961;
у(x) = vD(x) = v0,3961 = 0,6075.
№ 62
По данной корреляционной таблице
у х
4
8
12
16
20
24
ny
10
2
5
7
20
6
8
4
18
30
8
46
10
64
40
5
20
4
29
50
3
14
2
5
22
nx
2
19
62
48
6
3
n = 140
найти выборочное уравнение регрессии.
Для упрощения расчетов введём условные переменные
Составим таблицу.
v u
- 2
- 1
0
1
2
3
nv
nuvuv
- 2
2 4
5 2
7
18
- 1
6 1
8 0
4 -1
18
2
0
8 0
46 0
10 0
64
0
1
5 0
20 1
4 2
29
28
2
3 0
14 2
2 4
5 6
22
66
nu
2
19
62
48
6
3
n = 140
? = 114
Последовательно получаем:
;
;
;
;
уuІ = - (u)І = 0,9 - 0,329І = 0,792; уu = v0,792 = 0,89;
уvІ = - (v)І = 1,164 - 0,293І = 1,079; уv = v1,079 = 1,0385;
По таблице, приведённой выше, получаем ?nuvuv = 114.
Находим выборочный коэффициент корреляции:
Далее последовательно находим:
x = u•h1 + C1 = 0,329•4 + 12 = 13,314; y = v•h2 + C2 =0,293•10 + 30 = 32,929;
уx = уu•h1 = 0,89•4 = 3,56; уy = уv•h2 = 1,0385•10 = 10,385.
Уравнение регрессии в общем виде: Таким образом,
упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии:
Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х.
1) при х = 12 по таблице имеем
по уравнению: ух=12 = 2,266•12 + 2,752 = 29,944; е1 = 30,484 - 29,944 = 0,54;
2) при х = 16 по таблице имеем
по уравнению: ух=16 = 2,266•16 + 2,752 = 39,008; е2 = 39,167 - 39,008 = 0,159.
Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.

"САМЫЙ БОЛЬШОЙ БАНК РЕФЕРАТОВ"

Портал Рефератов

Рефераты

Рекомендуем

Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики