Решение систем линейных уравнений
16
Задача 1
а) Методом Гаусса - Жордана решить систему линейных уравнений:
Определить тип системы (совместная/несовместная, определенная/неопределенная), указать размерность многообразия решений.
б) Заменить все правые части системы на нуль, и для полученной системы линейных однородных уравнений написать общее решение и базис решений. Решение. а) Решим систему уравнений
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов.
На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду. На втором этапе решения (обратный ход) идет последовательное определение переменных из получившейся ступенчатой системы.
Прямой ход.
2 -3 30 9 -8
6 5 6 13 4
8 2 36 22 -4
Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 3.
[ 6 -9 90 27 -24]
2 -3 30 9 -8
0 14 -84 -14 28
8 2 36 22 -4
Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 4.
[ 8 -12 120 36 -32]
2 -3 30 9 -8
0 14 -84 -14 28
0 14 -84 -14 28
Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 1.
[ 0 14 -84 -14 28 ]
2 -3 30 9 -8
0 14 -84 -14 28
0 0 0 0 0
Система имеет решение, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы. Ранг основной и расширенной матрицы равен 2. Система совместна.
Обратный ход.
Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -3/14 .
[ 0 -3 18 3 -6]
2 0 12 6 2
0 14 -84 -14 28
0 0 0 0 0
Элементы строки 1 разделим на 2.
1 0 6 3 -1
0 14 -84 -14 28
0 0 0 0 0
Элементы строки 2 разделим на 14.
1 0 6 3 -1
0 1 -6 -1 2
0 0 0 0 0
Ответ:
Система имеет бесконечное множество решений.
б) Решим систему уравнений
Прямой ход.
2 -3 30 9 0
6 5 6 13 0
8 2 36 22 0
Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 3.
[ 6 -9 90 27 0]
2 -3 30 9 0
0 14 -84 -14 0
8 2 36 22 0
Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 4.
[ 8 -12 120 36 0]
2 -3 30 9 0
0 14 -84 -14 0
0 14 -84 -14 0
Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 1.
[ 0 14 -84 -14 0]
2 -3 30 9 0
0 14 -84 -14 0
0 0 0 0 0
Система имеет решение, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы. Ранг основной и расширенной матрицы равен 2.
Обратный ход. Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -3/14 .
[ 0 -3 18 3 0]
2 0 12 6 0
0 14 -84 -14 0
0 0 0 0 0
Элементы строки 1 разделим на 2.
1 0 6 3 0
0 14 -84 -14 0
0 0 0 0 0
Элементы строки 2 разделим на 14.
1 0 6 3 0
0 1 -6 -1 0
0 0 0 0 0
Ответ:
Общее решение:
x=
Базисное решение:
-6 -3
л0= 6 л1= 1
1 0
0 1
Задача 2
Используя матричное исчисление, выразить переменные , через , , , если:
Решение:
Первое линейное преобразование:
y1 x1 1 0 1
y2 = A x2 A = 1 1 6
y3 x3 1 -1 1
Второе линейное преобразование:
z1 y1 1 1 -6
z2 = B y2 B = 1 0 1
z3 y3 6 1 -1
Тогда произведение имеет вид:
1 1 -6 1 0 1 -4 7 1
C = B · A = 1 0 1 · 1 1 6 = 2 -1 2
6 1 -1 1 -1 1 6 2 11
Ответ:
z1 -4 7 1 y1
z2 = 2 -1 2 y2
z3 6 2 11 y3
Задача 3
Показать, что векторы , образуют базис в 3-мерном пространстве, и найти координаты вектора в этом базисе. Соответствующую систему линейных уравнений решить:
а) методом Гаусса - Жордана;
б) правилом Крамера;
в) матричным методом (методом обратной матрицы).
Решение:
Векторы образуют базис, если они линейно независимы.
б+в+г=0
6б-в+2г=0
6б-2в+3г=0
Тогда:
Это условие выполняется, когда определитель матрицы отличен от нуля.
1 1 1
6 -1 2 = 5
6 -2 3
б+в+г= 2
6б-в+2г= -6
6б-2в+3г= -18
1) Метод Жордана-Гаусса
1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 3/7 -4/7
6 -1 2 -6 ~ 0 -7 -4 -18 ~ 0 1 4/7 18/7 ~
6 -2 3 -18 0 -4 -3 30 0 0 5/7 138/7
1 0 0 -62/5
~ 0 1 0 -66/5
0 0 1 138/5
Координаты вектора x1=-62/5; x2=-66/5; x3=138/5. Метод Крамера
1 1 1
Д = 6 -1 2 = 5
6 -2 3
2 1 1
Д1 = -6 -1 2 = -62
-18 -2 3
1 2 1
Д2 = 6 -6 2 = -66
6 -18 3
1 1 2
Д3 = 6 -1 -6 = 138
6 -2 -18
Координаты вектора :
3. Метод обратной матрицы
1 1 1
А = 6 -1 2
6 -2 3
2
В = -6
-18
-7/5 -1/5 3/5
А-1 = -6/5 -3/5 4/5
18/5 4/5 -7/5
-7/5 -1/5 3/5 2 -62/5
х = А-1 · В = -6/5 -3/5 4/5 · - 6 = -66/5
18/5 4/5 -7/5 -18 138/5
Координаты вектора
: x1=-62/5; x2=-66/5; x3=138/5
Ответ: Координаты вектора тремя способами получились: x1=-62/5; x2=-66/5; x3=138/5
Задача 4
Даны уравнения и сторон АВ и АС треугольника АВС и точка D (7; 2; -6) пересечения медиан. Составить уравнение стороны ВС и уравнение высоты (прямой линии) через вершину А. Выполнить рисунок.
Решение:
1) Найдем координаты т.А:
x - y=6
y=4
Решая систему уравнений установим, что А(10;4).
2) Найдем координаты т. N.
Известно, что точка D - пересечение медиан делит прямую АN на две части в соотношении AD:DN=2:1, л=2.
N (11/2;1)
3) Найдем координаты точки В и точки С.
Координаты этих точек удовлетворяют уравнениям прямых АВ и АС.
Т.к. т.N делит ВС пополам получим:
Получим систему уравнений:
Решив систему уравнений получим координаты В(4;-2) и С(7;4).
Уравнение ВС получим как уравнение прямой проходящей через 2 точки:
4) Уравнение высоты АМ:
Найдем как уравнение прямой проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой. В нашем случае через т.А и перпендикулярно ВС. Коэффициент k=2.
Ответ: Уравнение ВС:.
Уравнение высоты АМ:
Задача 5
Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
Решение:
а) ,
т.к. знаменатель
б) ;
в) = = = ;
г) = = ;
д) = = =
= = е6
Задача 6
Множество D на плоскости задано системой неравенств
,
,
,
,
.
Решение
- окружность с центром в точке начала координат и радиусом 11. Неравенство определяет множество точек, лежащих внутри окружности.
- окружность с центром в точке начала координат и радиусом 6. Неравенство определяет множество точек, лежащих за пределами окружности включая точки, лежащие на окружности.
- окружность с центром в точке с координатами (-8;0) и радиусом 1. Неравенство определяет множество точек, лежащих за пределами окружности.
- окружность с центром в точке с координатами (8;0) и радиусом 1. Неравенство определяет множество точек, лежащих за пределами окружности включая точки, лежащие на окружности.
? 11/2 - прямая исключает множество точек при пересечении с окружностями и из области, по которой проходит эта прямая.
Список использованной литературы
1. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике: Учебное пособие/М. Я. Выгодский.- М.: АСТ Астрель, 2006.- 991с.
2. Демидович, Б. П., Кудрявцев, В. А. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие/Б. П. Демидович, В. А. Кудрявцев.- М.: АСТ; Астрель, 2001.- 656с.
3. Дураков, Б. К. Краткий курс высшей алгебры: Учебник для вузов/Б. К. Дураков.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.- 232с.
4. Журбенко, Л. Н., Никанова, Г. А. Математика в примерах и задачах: Учебное пособие/Л. Н. Журбенко, Г. А. Никанова.- М.: Инфра - М, 2009.- 373с.
5. Лунгу, К. Н., Макаров, Е. В. Высшая математика. Руководство к решению задач. Часть I: Учебное пособие/К. Н. Лунгу, Е. В. Макаров.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.- 216с.
6. Минорский, В. П., Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие/В. П. Минорский.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.- 336с.
7. Соболь, Б. В., Мишняков, Н. Т., Поркшеян, В. М. Практикум по высшей математике: Учебное пособие/Б. В. Соболь, Н. Т. Мишняков, В. М. Поркшеян.- Ростов - на - Дону: Феникс,2006.- 640с.
8. Черненко, В. Д. Высшая математика в примерах и задачах в 3-х томах.- Т.1: Учебное пособие/В. Д. Черненко.- Спб: Политехника, 2003.- 703с.
