Решение математических многочленов
6
РЕФЕРАТ
ТЕМА: МНОГОЧЛЕНЫ
Подготовила:
ученица 7 В класса школы № 58
Черняева Ирина
Многочлены“Люди, незнакомые с алгеброй, не могут представить себе тех удивительных вещей, которых можно достигнуть при помощи названной науки" Готфрид Лейбниц (учёный, математик).Труды ал - Хорезми (VIII - IX века), Абу Камила (IX - X века), ал - Караджи (X - XI века), ал-Беруни (X - XI века), Омар Хайяма (XI - XII века), ал-Каши (XIV - XV века) и других ученых стран ислама значительно способствовали развитию алгебры, в частности теории уравнений. Однако в этих трудах отсутствовали символы и знаки. Как содержание задачи и название величин, так и все действия, решение и ответ записывались полностью словами.Омар Хайям - (полное имя) Гияс ад-дин Фатх ибн Ибрахим Омар Хайям Нишапури - Ghiyath al-Din Abu'l-Fath Umar ibn Ibrahim Al-Nisaburi al-Khayyami (английский перевод)Родиной Омара Хайяма был Хорасан (г. Нишапур) - область, расположенная к востоку и юго-востоку от Каспийского моря. На богатом историческом материале исследователи доказали заслуги Омара Хайяма как ученого, который сделал ряд важнейших открытий в области астрономии, математики и физики.Список математических трактатов Омара Хайяма:Трудности арифметики (Мушкилат ал-хисаб) - Местонахождение рукописи не найдено;Алгебраический трактат без названия - Тегеран;Трактат о доказательствах задач алгебры и алмукабалы (Рисала фи-л-барахин 'ала маса'ил алджабр ва-л-мукабала) - Париж, Лейден, Лондон, Нью-Йорк, Рим;Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида (Шарх ма ашкала мин мусадарат китаб Уклидис) - Лейден.Известные нам математические результаты Хайяма относятся к трем направлениям: к алгебре, к теории параллельных, к теории отношений и учению о числе. Во всех этих направлениях Хайям имел в странах ислама выдающихся предшественников и преемников. Во многом он отправлялся от классиков греческой и эллинистической науки - Аристотеля, Евклида, и других, но вместе с тем он выступает как яркий представитель новой математики с ее мощной и определяющей вычислительно-алгоритмической компонентой.Здесь мы дадим краткую характеристику математического творчества Хайяма, отсылая за подробностями к нашим комментариям к переводам его трактатов.Алгебраический трактат Хайяма можно разбить по порядку на пять разделов:1) введение;2) решение уравнений 1-й и 2-й степени;3) решение уравнений 3-й степени;4) сведение к предыдущим видам уравнений, содержащих величину, обратную неизвестной;5) дополнение (в тексте трактата такого деления на разделы не имеется).Хайям говорит: "Алгебраические решения производятся при помощи уравнения, т.е. как это хорошо известно, приравнивание одних степеней другим". Словом, алгебра определяется как наука об уравнениях и именно о тех уравнениях, которые в настоящее время называются алгебраическими. Мы впервые здесь находим и термин "алгебраисты" - ал-джабриййуна.Такой же, риторической алгебра оставалась долгое время и в Европе.Еще в XVI веке уравнение, которое ныне записывается в виде:х3+ах=Ь9записывалось так: "Куб р некоторое количество вещей равно числу".Здесь буква р стоит вместо нашего знака +;"некоторое количество" - вместо а;"вещь" - вместо х,"число" - вместо Ь.В 1572 году видный итальянский математик Р. Бомбелли записывал алгебраические выражения так, как показано ниже:i I Р 2 X " P 221 P 41 P 4 g1P 41 P 44lp 8 з p 24 2 p 32 I p 16I " P 2 W5 I p io 4 p 40 3 p 80 2 p 80 i p 32,Что означает (X + 2) 2 = X2 + 4 X 4 - 4, (x2+ 4x + 4) 2= x4 - b8x3 + 24x2 + 32x + i6.Такие громоздкие записи затрудняли алгебраические действия, тормозили развитие науки. Между тем не только необходимость, но и возможность введения и употребления кратких записей и буквенной символики стали особенно очевидными после изобретения книгопечатания в XV веке.Алгебру Диофанта, индийских и западноевропейских математиков до XV - XVI веков, в которой употреблялись отдельные буквы, обозначения и сокращения слов, иногда называют синкопирующей (от греческого "синкопе" - сокращение).В конце XVI века Виет, основываясь на частично разработанной до него символике, стал обозначать буквами не только неизвестные, но и коэффициенты при них, ввел общую буквенную символику. Однако записи уравнений Виета содержали еще много слов вместо символов. Например, вместо знака равенства он писал слово "равно" и т.п.Алгебраическая символика совершенствовалась и продолжала развиваться в трудах Рене Декарта, Исаака Ньютона, Леонарда Эйлера и других ученых XVII - XVIII веков.Алгебраическая символика значительно облегчила изучение математики и способствовала ее полному расцвету.Математические исследования Декарта тесно связаны с его работами по философии и физике. В "Геометрии" (1637) Декарт впервые ввёл понятия переменной величины и функции.Переменная величина у Декарта выступала в двойной форме: как отрезок переменной длины и постоянного направления - текущая координата точки, описывающей своим движением кривую, и как непрерывная числовая переменная, пробегающая совокупность чисел, выражающих этот отрезок. Двоякий образ переменной обусловил взаимопроникновение геометрии и алгебры. У Декарта действительное число трактовалось как отношение любого отрезка к единичному, хотя сформулировал такое определение лишь И. Ньютон; отрицательные числа получили у Декарта реальное истолкование в виде направленных ординат. Декарт значительно улучшил систему обозначений, введя общепринятые знаки для переменных величин (
x, у, z) и коэффициентов (a, b, с), а также обозначения степеней (
х4,
a5). Запись формул у Декарта почти ничем не отличается от современной.До середины XIX века центральной задачей алгебры было нахождение формулы для корней уравнения P (x) = 0, где P - многочлен произвольной степени. Эта задача была полностью решена в работах молодых математиков первой трети XIX века - Э. Галуа (1811-1832), Н. Абеля (1802-1829) и П. Руффини (1765-1822).
Эварист ГалуаЕще в XVI веке итальянскими математиками были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени. Абель и Руффини доказали, что, начиная с пятой степени, общей формулы, использующей, кроме сложения и умножения, лишь извлечение корней, не существует, а Галуа открыл закономерности поведения корней, приложимые к каждому конкретному уравнению.Параллельно с этим К. Гаусс доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что всякий многочлен (коэффициенты многочлена могут быть не только вещественными, но и комплексными числами) имеет хотя бы один корень (возможно, являющийся не вещественным, а комплексным числом). После этого вопрос о вычислении корней многочлена переместился из алгебры в теорию функций и приближенных вычислений.В XX веке роль многочленов стала меняться. Буквы, входящие в многочлен, все больше стали играть роль символов, не связанную с их конкретными значениями. Самые разные области математики и ее приложений стали использовать символьное исчисление многочленов, не зависящее от теории функций (математическая логика, топология, теория информации, дискретная и компьютерная математика и т.д.).Приведем пример. В XX веке важнейшей задачей человечества стала задача передачи информации (радио, телефон, передача видеосигналов и т.д.).Математически сообщение может быть записано в виде последовательности символов (точки и тире в старинной азбуке Морзе, нули и единицы и т.п.), передаваемой по так называемому каналу связи (например, в виде радиосигналов).
Определение многочленаОдночленом от некоторой буквы x называется алгебраическое выражение a. xnгдеa - некоторое число,x - буква,n - целое неотрицательное число.Одночлены называются
подобными, если показатели степени у буквы одинаковы. Подобные одночлены можно складывать по правилу:a. xn + bn. xn = (a + b). xn Это действие называется
приведением подобных членов.
Многочленом называется алгебраическая сумма одночленов.Любой многочлен от одной буквы x (ее часто называют
переменной) после приведения подобных членов может быть записан по убывающим степеням этой буквы в видеF (x) = an. xn + an-1. xn-1 + …+ a1. x + aoили по возрастающим степенямF (x) = ao + a1. x + …+ an-1. xn-1 + an. xnТакая запись многочлена называется
канонической.Иными словами, многочлен - это сумма целочисленных степеней некоторой величины, взятых с заданными коэффициентами.Общепринятый сейчас способ вычисления многочленов восходит к Ньютону и называется схемой Горнера. Эта универсальная (то есть применимая к любому многочлену) схема предельно проста и изящна. Она получается из формулы указанной выше вынесением за скобки x всюду, где это возможно:F (x) = (… ( ( (x + a1). x + a2). x + a3) …). x + anПорядок действии при вычислении f (x) определяется скобками в этой формуле. Сначала сложение внутри самой внутренней пары скобок (его результат обозначим через p1, затем умножение и сложение внутри следующей пары скобок (результат p2) и т.д.p1= x + a1;p2= p1x + a2;p3= p2x + a3;………………. .pn= pn - 1x + an, f (x) = pnвсего n-1 умножений и n сложений.Схема Горнера настолько совершенна, что вопрос о возможности её улучшения не возникал два с половиной века и был задан "вслух" впервые лишь в 1954 году!Можно сделать вывод, что применение алгебраических правил настолько универсальны, что могут применяться не только в точных науках, но и в повседневной нашей жизни. Как в указанных выше примерах:передачи информации (радио, телефон, передача видеосигналов и т.д.).Поэтому развитие науки, такой как алгебра, даёт нам огромную помощь в нашей жизни и продвижении вперёд вместе научно-техническим прогрессом. И хочется выразить огромную благодарность всем учёным, математикам, чей вклад был внесён в развитие этой науки.