Решение дифференциальных уравнений

Задание 1. Найти особые точки уравнения. Определить их тип. Построить фазовые траектории в окрестности каждой особой точки

Перепишем уравнение в следующем виде:

.

Домножив и разделив левую часть на dt, можно получить следующую систему уравнений:

или

Найдем особые точки данной системы. По определению, в особой точке правые части системы должны равняться 0, поэтому для нахождения координат точек покоя получим систему:

Таким образом, получаем две точки покоя: и

1) Исследуем сначала тип состояния равновесия для точки .

Система уравнений не является линейной, но поведение траекторий в окрестности особой точки существенно совпадает с поведением решений в окрестности этой точки соответствующей системы линейных уравнений, которая получается из формулы:

где - матрица Якоби, - координаты особой точки.

Матрица Якоби для рассматриваемой нелинейной системы имеет вид:

Линеаризуем систему в данной особой точке и получим:

Составим матрицу этой линейной системы и найдем её собственные числа:

Собственные числа - комплексные, причем действительная часть положительна, значит точка - состояние равновесия типа «неустойчивый фокус». Направление раскрутки можно определить, построив вектор поля в точке, близкой к точке покоя. Схематично фазовый портрет для данной точки представлен ниже.

2) Аналогично исследуем тип состояния равновесия для точки .

После линеаризации система будет иметь вид:

Собственные числа - действительные, причем

, а ,

значит точка - состояние равновесия типа «седло».

Найдем собственные векторы:

Если P - прямая, направление которой определяется собственным вектором, соответствующим 1-му собственному значению (>0), а Q - собственным вектором, соответствующим 2-му собственному значению (<0), то существует ровно 2 фазовых траектории, которые при асимптотически приближаются к точке (0,0), касаясь в этой точке прямой Q; и существуют ровно 2 фазовых траектории, которые при асимптотически приближаются к точке (0,0), касаясь в этой точке прямой P. В целом, фазовый портрет для данной сингулярной точки выглядит следующим образом:

Для проверки построим фазовый портрет с помощью математического пакета Maple. Он представлен на рисунке 1.

Рис.1

Задание 2. Найдя первый интеграл, изобразить фазовый портрет уравнения на плоскости . Исследовать циклические траектории на изохронность

Домножим обе части уравнения на :

Заметим, что

,

с учетом этого уравнение примет вид:

Легко видеть, что

,

так как производная этой функции равно 0, т.е. функция - искомый первый интеграл. Если сделать следующую замену:

то получим следующее выражение для первого интеграла:

Для построения фазового портрета, запишем первый интеграл в следующем виде:

и сделаем ещё одну замену переменной:

В итоге мы получим следующую зависимость:

,

где

Построим вручную график . Затем будем проводить прямые, параллельные оси Ох и искать точки пересечения с графиком . Спроецируем эти точки пересечения на ось Ох, но уже плоскости , расположенную прямо под плоскостью хОu. Исследуя поведение функции в окрестностях точек пересечения, можно сделать выводы о поведении функции , которая и будет определять фазовые траектории. Из схематичного рисунка, представленного ниже, заметим, что точка локального минимума определяет положение равновесия типа «центр», а точка локального максимума - положение равновесия типа «седло».

Воспользуемся математическим пакетом для проверки полученных результатов. Сначала построим график функции (Рис.2.1). При этом точка максимума будет соответствовать состоянию равновесия типа «седло», а точка минимума - состоянию равновесия типа центр.

На рисунке 2.2 представлен фазовый портрет, сделанный в математическом пакете MathCAD.

Рис.2.1

Рис.2.2

Сначала построим график функции (Рис.2.1). При этом точка максимума будет соответствовать состоянию равновесия типа «седло», а точка минимума - состоянию равновесия типа центр.

На рисунке 2.2 представлен фазовый портрет, сделанный в математическом пакете MathCAD.

Из рисунка видно, что среди фазовых траекторий есть циклические, а значит, для них можно посчитать периоды и исследовать на изохронность. Воспользуемся формулой:

где найдем из уравнения .

Возьмем несколько значений Е, которые соответствуют циклическим траекториям и подсчитаем для них период. В итоге получим следующие значения:

T(-0.2):

T(-0.3):

T(-0.4):

T(-0.5):

Значения получились разные, значит движение по данным траекториям неизохронно. График изменения величины периода представлен ниже:

Задание 3. Исследовать, при каких значениях параметров a и b асимптотически устойчиво нулевое решение

Составим для данного уравнения характеристический полином. Он будет иметь вид:

Для того чтобы нулевое решение было асимптотически устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы вещественные части корней характеристического многочлена были отрицательными. А это будет тогда и только тогда, когда этот полином будет гурвицевым.

Запишем условия гурвицевости:

полином является гурвицевым, если:

1) ;

2) выполнен критерий Рауса-Гурвица либо критерий Льенара-Шипара.

Перепишем наш многочлен в стандартном виде

1)

Отсюда получаем первое ограничение на a и b:

2) Воспользуемся критерием Льенара-Шипара. Для этого запишем матрицу Гурвица для данного многочлена:

Согласно критерию, должны быть положительны, где

- главные нечетные миноры матрицы Гурвица.

Раскрыв определитель

, получим ещё одно ограничение на a и b:

В итоге мы получим следующие условия для того, чтобы нулевое решение было асимптотически устойчиво:

Построим данную область на плоскости (a,b).

Для проверки возьмем несколько точек, удовлетворяющих полученным условиям, и несколько точек, которые этим условиям не удовлетворяют. Воспользуемся средствами MathCAD и найдем корни характеристического полинома для этих точек.

a=4, b=1:

a=6, b=2:

a=1, b=2:

a=1, b=3:

Получили, что для точек (a,b) из полученной области все корни имеют отрицательную вещественную часть, а для точек, лежащих вне полученной области, некоторые корни имеют положительную действительную часть. Значит, получены верные условия.

Задание 4. Исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева

Очевидно, что точка (0,0) - положение равновесия для данной системы. Выберем некоторую положительно определенную функцию V(x,y). Например,

Согласно теореме Ляпунова, положение равновесия будет устойчивым, причем асимптотически, если производная функции V(x,y) в силу системы будет отрицательно определенной функцией.

Найдем

Но a и b - любые положительные числа, а значит можно выбрать их такими, что 4b-6a=0. Например, a=2, b=3. Тогда . Очевидно, что выражение положительно для любых x и y, значит

Таким образом, мы построили для исходной системы функцию Ляпунова в окрестности положения равновесия (0,0) такую, что её производная в силу системы - отрицательно определенная функция. Значит положение равновесия (0,0) - асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Фазовый портрет этой системы в окрестности точки (0,0), построенный в Maple, подтверждает полученный результат:

> with (DEtools): DEplot([diff(x(t),t)=-3*y(t)-2*x(t)^3,diff(y(t),t)=2*x(t)-3*y(t)^3],[x(t),y(t)],t=0..100,x=-0.5..0.5,y=-0.5..0.5);

Задание 5. С помощью теоремы об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость нулевое решение системы

Очевидно, что точка (0,0) - решение исходной системы. Исследуем его на устойчивость по первому приближению. Для этого линеаризуем систему в окрестности точки (0,0). Тогда она примет вид:

где - матрица Якоби исходной системы в точке (0,0). Это и будет системой первого приближения. Вычислим элементы матрицы :

Тогда в точке (0,0) матрица Якоби будет следующей:

.

Найдем её собственные значения:

 Мы получили, что вещественные части матрицы системы первого приближения отрицательны. Значит по теореме об устойчивости по первому приближению положение равновесия (0,0) - асимптотически устойчиво по Ляпунову. Для подтверждения полученных результатов воспользуемся средствами Maple и построим в нем фазовый портрет исходной нелинейной системы в окрестности точки (0,0). Он выглядит следующим образом:

> with (DEtools): DEplot([diff(x(t),t)=-10*x(t)+4*exp(x(t))-4*cos(y(t)^2),diff(y(t),t)=2*exp(x(t))-2-y(t)+x(t)^4],[x(t),y(t)],t=0..100,x=-0.5..0.5,y=-0.5..0.5);

Из рисунка видно, что фазовые траектории приближаются асимптотически к положению равновесия (0,0). Значит полученный выше вывод об асимптотической устойчивости по Ляпунову точки (0,0) верен.

Задание 6. Используя теорему Пуанкаре - Бендиксона, доказать существование цикла у уравнения

Сведем данное дифференциальное уравнение второго порядка к системе двух уравнений первого порядка:

Согласно теореме Пуанкаре - Бендиксона, данная система будет иметь цикл, если:

1) она имеет единственное положение равновесия - точку (0,0);

2) все собственные значения матрицы Якоби системы в точке положения равновесия имеют положительные вещественные части (система неустойчива в малом);

3) система диссипативна.

1) Убедимся, что система имеет единственное положение равновесия.

Для этого приравняем правые части уравнений к нулю:

 Действительно, точка (0,0) - единственное положение равновесия.

2) Найдем матрицу Якоби для данной системы:

, где

В точке (0,0) она примет

Найдем её собственные значения, решив уравнение , где - матрица - строка из собственных значений, Е - единичная матрица. Получим уравнение:

Второе условие теоремы Пуанкаре - Бендиксона выполнено. Осталось исследовать систему на диссипативность.

3) Для исследования диссипативности упростим второе уравнение, разделив многочлены, стоящие в числителе и знаменателе при переменной y друг на друга. Тогда система примет вид:

Данный вид позволяет воспользоваться одним из простых признаков диссипативности, а именно: система имеет вид , где

Данная система будет диссипативна, если:

1. A - является матрицей Гурвица;

2. функция - ограничена.

Найдем собственные значения матрицы A.

Квадратный многочлен является гурвицевым, так как все коэффициенты положительно, а, значит, матрица A является гурвицевой.

Рассмотрим функцию

.

При этом нетрудно заметить, что сверху эта функция ограничена значением . То есть функция - ограничена.

Два условия простого признака диссипативности выполнены, значит, исходная система диссипативна.

4) Итак, мы выяснили, что

1) система имеет единственное положение равновесия - точку (0,0);

2) все собственные значения матрицы Якоби системы в точке положения равновесия имеют положительные вещественные части (система неустойчива в малом);

3) система диссипативна.

По теореме Пуанкаре - Бендиксона система имеет хотя бы один цикл.

Убедимся в этом, построив фазовый портрет с помощью математического пакета Maple.

> restart;

> with(DEtools):

> DE15:= { D(x)(t)=y(t), D(y)(t)=-3*x(t)-y(t)*((x(t)^4-1)/(x(t)^4+2))};

f1:= proc(x,y) -3*x(t)-y(t)*((x(t)^4-1)/(x(t)^4+2)) end:

DEplot(DE15, [y(t),x(t)], t=0..200,[[x(0)=0,y(0)=0.4],[x(0)=3,y(0)=3]],x=-4..4, y=-6..6, color=f1, stepsize=.01,thickness=1, linecolor =

COLOR(RGB, 1.6, 0.5, 0));

Задание 7. Методом Пуанкаре найти приближённо периодические решения дифференциального уравнения

периодическое решение будем искать в виде ряда по степеням малого параметра, то есть в виде

Тогда

(1)

Подставим ряды (1) в исходное уравнение

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях параметра в левой и правой частях последнего равенства:

(2)

В (2) существует только 2 периодических решений: .

1) Рассмотрим случай .

Тогда из второго уравнения системы (2):

.

Решение этого уравнения складывается из суммы частного и общего решений. Найдём общее решение:

характеристическое уравнение будет иметь вид: . Тогда

,

но период этого решения =, т.е. оно не порождает -периодических решений, поэтому решение уравнения будем искать в виде

.

Продифференцировав 2 раза, получим

Тогда

Будем искать из третьего уравнения системы (2).

Имеем: , или ,

.

Решение будет иметь вид

Тогда, подставляя в уравнение, получим:

.

Итак, приближенное периодическое решение имеет вид:

.

Окончательно:

Используя пакет MathCAD, сравним полученное решение с точным решением исходного уравнения на периоде .

Результаты расчетов приведены ниже.

2) Рассмотрим случай .

Тогда из второго уравнения системы (2):

.

Решение этого уравнения складывается из суммы частного и общего решений. Найдём общее решение:

характеристическое уравнение будет иметь вид: . Тогда

,

но период этого решения =, т.е. оно не порождает -периодических решений, поэтому решение уравнения будем искать в виде

.

Продифференцировав 2 раза, получим

Тогда

Будем искать из третьего уравнения системы (2).

Имеем:

,

или

,

.

Решение будет иметь вид

Тогда, подставляя в уравнение, получим:

.

Итак, приближенное периодическое решение имеет вид:

.

Окончательно:

Используя пакет MathCAD, сравним полученное решение с точным решением исходного уравнения на периоде .

Результаты расчетов приведены ниже.