Решение дифференциальных уравнений
Задача 4
С помощью метода наименьших квадратов подобрать параметры a и b линейной функции y = a + bx, приближенно описывающей опытные данные из соответствующей таблицы. Изобразить в системе координат заданные точки и полученную прямую.
|
xi | 0,0 | 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1,0 | |
yi | 0,9 | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,5 | |
|
РешениеСистема нормальных уравненийв задачеn = 6Тогдарешая ее получаем . y = 0,5714x + 0,9476
Задача 5Найти неопределенный интеграл РешениеОтвет:
Задача 6Найти неопределенный интеграл РешениеОтвет:
Задача 7Найти неопределенный интеграл, применяя метод интегрирования по частям РешениеОтвет:
Задача 8Вычислить площадь, ограниченную заданными параболамиРешение
Точки пересечения по х: х = -1, х = 5.
Площадь фигуры найдем из выраженияОтвет:
Задача 9Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка Решение
Разделим переменные
Проинтегрируем
Ответ:
Задача 10
Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условию
Решение:
Запишем функцию y в виде произведения y = u * v. Тогда находим производную:
Подставим эти выражения в уравнение
Выберем v таким, чтобы
Проинтегрируем выражение
,
Найдем u
,
,
,
,
Тогда
Тогда
Ответ:
Задача 11
Исследовать на сходимость ряд:
а) с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд
РешениеПроверим необходимый признак сходимости рядаТ. к. , то необходимый признак сходимости ряда не соблюдается, и ряд расходится.Используем признак Даламбера Ответ: ряд расходится
б) с помощью признака Лейбница знакочередующийся рядРешениеПроверим необходимый признак сходимости рядаТ. к. , то необходимый признак сходимости ряда соблюдается, можно исследовать ряд на сходимость.По признаку подобия
данный ряд аналогичен гармоническому ряду начиная с пятого члена, таким образом, т.к. гармонический ряд расходится, то и исходный ряд расходится.
Ответ: ряд расходится
в) Найти радиус сходимости степенного ряда и определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости
Решение
Используем признак Даламбера:
При х =5 получим рядРяд знакопостоянный, lim Un = nРяд расходится, так как состоит из суммы возрастающих элементов, каждый из которых больше 1.При х = -5 получим рядРяд знакочередующийся, lim Un = n|Un| > |Un+1| > |Un+2| … - не выполняется.По теореме Лейбница данный ряд расходитсяОтвет: Х (-5; 5)
Задача 12Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда РешениеВ разложении функции sin(x) в степенной рядзаменим . Тогда получимУмножая этот ряд почленно на будем иметьСледовательно Ответ: 0,006.