Редуцированные полукольца
- 17 -
Министерство Образования Российской Федерации
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
«Редуцированные полукольца»
Работу выполнил студент
математического факультета \Подпись\ ____________ Научный руководитель:К.физ.-мат. наук . \Подпись\ ____________Рецензент:Д. физ.-мат. наук, профессор.\Подпись\ ____________
Допущен к защите в ГАК
Зав. кафедрой ___________________.
«___»________________
Декан факультета _______________.
«___»________________
Киров, 2003.
План.
1. Введение.
2. Основные понятия, леммы и предложения.
3. Доказательство основной теоремы.
1.Введение
Определение 1. Непустое множество S с бинарными операциями + и называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:
1. (S, +) коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;
2. (S, ) полугруппа с нейтральным элементом 1;
3. умножение дистрибутивно относительно сложения:
a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc
для любых a, b, c S;
4. 0a = 0 = a0 для любого a S.
Итак, по принятому нами определению полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции вычитания и именно это вызывает основные трудности при работе с полукольцами.
В настоящей работе рассмотрен такой класс полуколец, как редуцированные полукольца.
Определение 2. Полукольцо S называется редуцированным, если для любых a, bS выполняется a = b, как только a+ b= ab + ba.
Целью данной работы является доказательство следующей теоремы.
Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:
1. S слабо риккартово;
2. a, bS (D(a)D(b)= =);
3. все идеалы Op, PSpec S, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);
4. все идеалы OM, M Max S, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P M Op=OM для P Spec S и M Max S;
5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;
6. a, b S (ab = 0 Ann a + Ann b = S);
Эта теорема обобщает факты, доказанные в классе колец ([1]).
2.Основные понятия, леммы и предложения Для доказательства нашей теоремы нам потребуется определить некоторые понятия и вывести несколько фактов.
Определение 3. Полукольцо
S называется
симметрическим, если для любых элементов
a, b, b,
c S выполняется
abc = abc acb = acb.
Определение 4. Элемент
aS называется
нильпотентным, если в последовательности
a, a, a,…, a, … встретится нуль.
Предложение 1. Редуцированное полукольцо S является симметрическим полукольцом без нильпотентов.
Доказательство: Пусть
ab = ab. Тогда
baba =
baba и
baba =
baba,откуда
baba + baba = baba + babaили иначе (
ba)+ (
ba)=
baba +
baba.В силу редуцированности
ba = b
a, т.е.
ab =
ab ba =
ba. (1) Аналогично доказывается
ba =
ba ab =
ab. Пусть
ab =
ab. Тогда с помощью (1)
ba =
ba, откуда
bac =
bac и
acb =
acb. Значит, имеем:
ab =
ab acb =
acb,
ba =
ba bca =
bca. (2) Пусть сейчас
abc =
abc. Тогда
abc =
abc acbc =
acbc acbac =
acbac acbacb =
acbacb и
acbacb =
acbacb (acb)+ (acb)= acbacb +
acbacb acb =
acb.Таким же образом доказывается другая импликация. Пусть
a+
b=
ab +
ba влечёт
a =
b. При
b = 0 получаем
a= 0
a = 0. Если
с= 0 для некоторого натурального
n 2, то
c= 0 для
k с условием n 2. Получаем, что
c= 0, и так далее. На некотором шаге получим
c= 0, откуда
с = 0. Предложение доказано.
Пример. Рассмотрим полукольцо
S = {0,
a,
b, 1}, операции в котором заданы следующим образом:
|
+ | a b 1 | |
ab 1 | a b 1 b b b 1 b 1 | |
| a b 1 | |
ab 1 | a a a b b b a b 1 | |
|
Пример этого полукольца показывает, что, во-первых, в определении симметричности полукольца импликации нужны в обе стороны, поскольку
aa =
ab, но
aa ba. Во-вторых,
S - полукольцо без нильпотентов, более того, без делителей нуля; однако симметрическим, в частности, редуцированным, оно не является. В этом проявляется отличие от колец, поскольку известно, что отсутствие нильпотентов в кольце влечёт кольцевую симметричность.
Определение 5. Собственный двусторонний идеал
P полукольца
S называется
первичным, если
AB P влечёт
A P или
B P для любых идеалов
A и
B. Первичный идеал коммутативного полукольца называется простым.
Определение 6. Правый идеал
P полукольца
S называется
псевдопростым, если
ab = 0 влечёт
a P или
b P для
a, b S. Предложение 2. Идеал P полукольца S первичен тогда и только тогда, когда для любых элементов a, b S \ P найдётся элемент s S такой, что asb P. Если S коммутативное полукольцо, то идеал P прост тогда и только тогда, когда a, b P влечёт ab P. Доказательство: Пусть
P первичен и элементы
a, b P. Тогда главные идеалы (
a) и (
b) не лежат в
P, как и их произведение. Значит, некоторый элемент
t aSb не принадлежит
P, поскольку
t = для некоторых
u,v,w S, то хотя бы для одного
i {1,…,
k}
a vb P, ибо в противном случае каждое слагаемое
uavbw лежит в
P, и следовательно,
t P. Обратно. Пусть произведение идеалов
A и
B лежит в
P, но
A P. Тогда найдётся
a A \ P. Предположим, что
B P. Получим, что некоторый элемент
b B \ P и по условию
asb P для подходящего
s S. Но тогда и
AB P, и следовательно,
P первичный идеал. Утверждение для коммутативного случая очевидно.
Определение 7. Подмножество
T полукольца называется
mсистемой, если 0
T, 1
T и для любых
a, b T найдётся такой
s S, что
asb T.
Пример. Рассмотрим множество
T = {
a,a,
a, … ,
a}, где
n и
a 0. Оно является подмножеством полукольца
Rнеотрицательных действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения. 0
T, 1
T и для
a,
a T с = 1
S :
aсa=
a T. Таким образом,
T является
mсистемой.Легко увидеть, что если
P - первичный идеал, то
S \ P является
m-системой. И хотя дополнение до
mсистемы не обязано быть первичным идеалом, следующее утверждение показывает, что между ними существует глубокая связь.
Предложение 3. Пусть T mсистема, а J произвольный идеал полукольца S, не пересекающийся с T. Тогда любой максимальный идеал среди содержащих J и не пересекающихся с T первичен.Доказательство: Пусть
P J,
P T = и
P максимальный в семействе идеалов, удовлетворяющих этим условиям. Допустим, что
aSb P для некоторых
a, b P. Идеалы P +
SaS и
P +
SbS строго содержат идеал
P, и значит, пересекаются с
T. Пусть
m (
P +
SaS)
T,
r (
P +
SbS)
T и
msr T для некоторого
sS. Но, с другой стороны,
msr (
P +
SaS) (
P +
SbS)
P +
SaSbS P.Получили противоречие, что
P пересекается с
T. Значит, предположение, что
aSb P неверно, и
P первичный идеал. Предложение доказано.
Определение 8. Собственный идеал
M полукольца
S называется
максимальным идеалом, если
M A влечёт
M =
A или
A =
S для каждого идеала
A.
Предложение 4. Максимальный идеал полукольца первичен.Доказательство: Рассмотрим нулевой идеал
J и не пересекающуюся с ним
mсистему
T = {1}. Любой максимальный идеал
M полукольца содержит
J и не пересекается с
T, значит, по предложению 3 он будет первичным.
Определение 9. Для любого
a S множество
Ann aS = {
t S: (
s S)
ast=0} называется
аннулятором элемента a.
Ann aS является двусторонним идеалом полукольца
S.
Ann a ={
s S:
as = 0} правый идеал и
Ann aS Ann a.
Определение 10. Для любого идеала
P множество
Op = {
s S: (
tP)
sSt = 0} = {
s S: Ann
sS P} называется
Oкомпонентой идеала P.
Лемма 1. Op является идеалом для любого первичного идеала P.
Доказательство: Пусть
a, b Op. Тогда
aSt = 0 и
bSu = 0 для некоторых
t, u P. В силу первичности
P tsu P для подходящего
s S. Для любого
v S (
a +
b)
vtsu = (
avt)
su +
b(
vts)
u = 0.Далее, (
as)
vt =
a(
sv)t = 0, (
sa)
vt =
s(
avt) =
s0 = 0, поэтому
a +
b,
sa, as Op, и
Op идеал.
Лемма 2. Пусть P M первичные идеалы полукольца. Тогда OM Op P. Доказательство: Пусть
a OM, тогда
aSt = 0 для некоторого
t M. Поскольку
t P, то
a Op, и значит,
OM Op. Для любого
s S 0 =
ast P. Поскольку
P первичен, то
a P или
t P, отсюда
a P, и следовательно,
Op P.
Лемма 3. Для произвольных первичных идеалов P и P симметрического полукольца S верна импликация:P P не содержит первичных идеалов Op P.Доказательство: Предположим, что
Op P. Полагая
A =
S \ P и
B =
S \ P, рассмотрим множество
AB всевозможных конечных произведений элементов из
A B. Покажем, что
AB Op = . В самом деле, если
s AB Op, то
sb = 0 для некоторого
b A, т.е. {0}
AB. Поскольку
s является произведением элементов из
A B, то в силу первичности идеалов
P и
P и свойства симметрических полуколец
uv = 0 для подходящих
u B,
v A. Откуда
u Op P противоречие.Таким образом,
AB является
mсистемой, и значит, существует первичный идеал
Q, не пересекающийся с
AB и содержащий
Op. А так как
A B AB, то
P P Q. Получили противоречие с условием, значит наше предположение неверно, и
Op P.
Следствие 1. Для произвольных первичных идеалов P и P в симметрическом полукольце, если Op P , то пересечение P и P содержит хотя бы один первичный идеал.Определим множество (
a, b) = {
s S:
xS (
axs =
bxs)} идеал полукольца
S для
a,
b S.Очевидно, (
a, 0) =
Ann aS.Для произвольного идеала
A обозначим пересечение первичных идеалов полукольца
S, содержащие идеал
A.
Определение 11. Полукольцо
S называется
строго полупервичным, если для любых элементов
a, b S выполняется = (
a,
b).
Определение 12. Пересечение
rad S всевозможных первичных идеалов в
S называется
первичным радикалом полукольца
S.
Определение 13. Полукольцо называется
полупервичным, если его первичный радикал равен нулю.
Предложение 5. Полукольцо S полупервично тогда и только тогда, когда = Ann aS для всех a S. Доказательство: При
a = 1
rad S = =
Ann S = 0, т.е.
S полупервично. Пусть
S полупервичное полукольцо и
b . Для каждого первичного идеала
P, либо
P содержит
Ann aS, либо
Ann aS не содержится в
P. В первом случае
b P, во втором случае
a Op P. Тогда
aSb rad S = 0, откуда
b Ann aS. Следовательно,
Ann aS. Другое включение справедливо всегда.
Следствие 2. Строго полупервичное полукольцо является полупервичным. Предложение 6. Всякое редуцированное полукольцо S строго полупервично. Доказательство: Пусть
c (
a,
b) для
a,
b S. Тогда
ac bc и из редуцированности
S вытекает, что
acac +
bcbc
acbc +
bcac. Элементы
cac и
cbc отличны друг от друга, и значит,
ac bc в силу симметричности редуцированного полукольца. Аналогично
ac bc, и следовательно,
ac bc. По индукции
ac bc. Значит,
T = {1,
c,
c,…}
mсистема, не пересекающаяся с (
a,
b), и поэтому найдётся первичный идеал
P, содержащий (
a,
b), при этом
c S \ P. Значит,
c , откуда (
a,
b). Другое включение справедливо всегда. Получили = (
a,
b) по определению 12
S строго полупервично, что и требовалось доказать.Обозначим через
Spec S множество всех первичных идеалов полукольца
S. Для любого идеала
A полукольца
S положим
D(
A) = {
P Spec S:
A P}.Множество
D({0}) = {
P Spec S: {0}
P} = , а
Spec S =
D(
S).
D(
A)
D(
B) = {
P Spec S:
A P B P} = {
P Spec S :
AB P} =
D(
AB).
Spec S является топологическим пространством с семейством открытых множеств вида
D(
A).
Лемма 4. Для любого идеала A полупервичного полукольца S = {P Spec S: Ann A P}. Доказательство: Обозначим через
Y правую часть доказываемого равенства. Если
P D(
A), т.е.
A P, то
Ann A P, т.е.
P Y. Откуда
Y, ибо
Y замкнуто. Обратно, пусть
P . Тогда
P лежит в некоторой окрестности
D(
B), где
B некоторый идеал в
S, не пересекающийся с.
D(
A)
D(
B) = , тогда
AB rad S = 0, т.е.
B Ann A. Тогда
P не содержит
Ann A , иначе
P содержал бы
B . Следовательно,
P Y . Получили
Y .
Лемма 5. Пусть P первичный идеал редуцированного полукольца S. Тогда P = Op P минимальный первичный идеал. Доказательство: Пусть
P =
Op ,
P Spec S и
P P. Тогда
Op OP
P . Поэтому
P =
P, и
P минимален. Обратно, пусть дан минимальный первичный идеал
P редуцированного полукольца
S. Предположим, что существует
a P \ Op. Степени элемента a образуют
mсистему (0 {
a}, 1{
a} и для
a,
a{
a}
с = 1
S :
aсa=
a{
a}),не пересекающуюся с
Op. Действительно, если
a Op ,
n , то
ab = 0 для некоторого
b S \ P. Но тогда (
ab)= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое без нильпотентов, и значит ab = 0, то есть
a Op ;противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал
P Op, не содержащий a, который будет первичным. Из следствия 1 вытекает, что в
S существует первичный идеал, лежащий в
P P ,что противоречит минимальности
P. Значит,
P Op. Также
Op P (Лемма 2). Тогда
P =
Op.
Лемма 6. Любой первичный правый идеал симметрического полукольца псевдопрост. Доказательство: В самом деле, если
a, b S \ P, то
asb P для подходящего
s S, откуда
asb 0 и
ab 0.
Определение 14. S -
слабо риккартово a S b Ann aS Ann aS +
Ann b =
S Пример. Обозначим через
N - полукольцо всех неотрицательных целых чисел с обычными операциями сложения и умножения. Возьмём
a = 0 N. Тогда
Ann aS =
N. В результате получим, что
Ann aS +
Ann b =
N. Теперь возьмём
a N \ {0}. Тогда
Ann aS = {0}, а
Ann b =
N. В результате получим, что
Ann aS +
Ann b = {0} +
N =
N . Таким образом,
N - слабо риккартово полукольцо. Аналогично, любое полукольцо без делителей нуля будет являться слабо риккартовым.
3. Доказательство основной теоремы. Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:1. S слабо риккартово;2. a, bS (D(a)D(b)= =);3. все идеалы Op, PSpec S, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);4. все идеалы OM, M Max S, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P M Op=OM для P Spec S и M Max S;5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;6. a, b S (ab = 0 Ann a + Ann b = S);Доказательство: Пусть
S редуцированное полукольцо. Такое
S симметрическое (по предложению 1), поэтому
S обладает всеми свойствами симметрических полуколец. Доказательство проведём по схеме 1)3)4)5)6)1) и 2)6).
1)3). Исходя из 1), покажем, что каждый идеал
Op вполне первичен. Пусть
P Spec S и
ab Op при
a, b S. Тогда
сS \ P:
abSc = 0,т.е.
absc = 0 для s
S.Возьмём
s = 1
abc = 0
bc Ann aS (по определению
Ann aS). Но
Ann aS Ann a . Тогда
bc Ann a. По условию 1)
S слабо риккартово, т.е.
Ann aS +
Ann bc =
S для
a S,
bc Ann aS.
e Ann aS,
f Ann bc:
e +
f = 1 (1S).Предположим, что
a Op Ann aS P (по определению
Ann aS)
e P.Тогда
f P, т.к. в противном случае 1
P. Но
P первичный идеал
P собственный 1
P.
f Ann bc bcf = 0. Т.к.
S симметрическое
bScf = 0. Но
cf P (т.к.
c P,
f P , а
P первичный идеал)
b Op .Таким образом, получили, что все идеалы
Op ,
P Spec S, вполне первичны.
3)4). По условию 3 все идеалы
Op , где
P Spec S, первичны. Но
M Max S - является первичным идеалом (предложение 4), т.е.
M Spec S. Но тогда по условию 3) данной теоремы следует, что все идеалы
OM , где
M Spec S и
M Max S, первичны. Пусть
P M. Тогда
OM Op (лемма 2).Если
a Op , т.е.
ab = 0 при некотором
b S \ P и
s = 1
S, то
a OM , ибо
b OM P, а
ab = 0
OM и
OM псевдопрост (доказано выше). Значит и
Op OM . Тогда
Op =
OM .
4)5). Пусть
P - первичный идеал из S и
P M. По условию 4) данной теоремы
OM - первичный идеал и так как
P M Op =
OM . Также
Op P (Лемма 2). Докажем, что
OM - минимальный первичный идеал в
S, лежащий в
P. Пусть в
P лежит
Q минимальный первичный идеал полукольца
S. Но
Q M OM OQ Q. По условию 4) данной теоремы
OM =
OQ. . Так как
Q - минимальный первичный идеал
OQ =
Q (Лемма 5). По свойству транзитивности равенства получаем, что
Op = OM =
Q. Докажем теперь единственность такого первичного идеала. Пусть
P произвольный минимальный первичный идеал в
S, отличный от
Q и лежащий в
M. Тогда
OP =
OM (по условию 4)). Также
OP =
P .Тогда получили равенство
Q =
OQ =
OM =
OP =
P . Единственность доказана. Так как все первичные идеалы полукольца
S содержатся в
M Max S, то мы получили, что каждый первичный идеал полукольца
S содержит единственный минимальный первичный идеал.
5)6). Пусть
ab = 0, но
Ann a +
Ann b S для некоторых
a, b S.Тогда
Ann a +
Ann b M для подходящего
M Max S. Рассмотрим единственный минимальный первичный идеал
P, содержащийся в
M. Тогда
OM P (Лемма 2). Предположим, что
a P \ OM . Степени элемента
a образуют
mсистему (0 {
a}, 1{
a} и для
a,
a{
a}
с = 1
S:
aсa=
a{
a}),не пересекающуюся с
OM. Действительно, если
a OM,
n , то a
b = 0 для некоторого
b S \ M. Но тогда (
ab)= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое и значит
ab = 0, то есть
a OM ; противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал
P OM, не содержащий
a, который будет первичным. Пусть
q, w S \ P и
q, w S \ P . Тогда
s S:
qsw P qsw P P P P первичный идеал, что противоречит минимальности
P. Значит
P OM и
P = O
M. Первичный идеал
OM псевдопрост, поэтому
aOM или
b OM. Откуда по определению нулькомпонент
Ann a M Ann bM Ann a +
Ann b M противоречие
Ann a +
Ann b =
S.
6)1). Возьмём
a, b S:
ab = 0
b Ann aS. Из условия 6) данной теоремы вытекает равенство:
Ann a +
Ann b =
S. Так как в симметрическом полукольце
Ann aS =
Ann a, то
Ann aS +
Ann b =
S. Таким образом, полукольцо
Sслабо риккартово, что и требовалось доказать.
2)6). Пусть
a, b S и
ab = 0.
D(
a)
D(
b) = {
PSpec S:
aP bP} = {
PSpec S:
ab P} (в силу первичности) =
D(
ab) =
D(0) = .Обратно,
D(
a)
D(
b) ={
PSpec S:
aP bP} ={
PSpec S:
ab P}=
D(
ab) =
ab = 0, так как
D(
x) =
x = 0. Таким образом,
ab = 0
D(
a)
D(
b) = .Так как
S - симметрическое полукольцо на основании предложения 1, то к нему можно применить предложение 6, то есть
S строго полупервично. По следствию 2
S является и полупервичным. Теперь мы можем применить лемму 4. На основании этой леммы = {
SSpec S:
Ann aP Ann bP} = .Тогда
Ann a +
Ann b M для
M Max S Spec S Ann a +
Ann b =
S. В другую сторону, пусть
Ann a +
Ann b =
S Ann aM Ann bM для подходящего
M Max S Spec S. Тогда = {
S Spec S:
Ann a P Ann b P} = . Таким образом, условия 2) и 6) равносильны.
Теорема доказана полностью. Cвойство:Если редуцированное полукольцо S слабо риккартово, то для любого правого идеала A и элементов a, b полукольца S выполняется импликация:ab = 0 и a + b A a A.Доказательство: Пусть даны в
S правый идеал
A и такие элементы
a и
b, что
ab = 0 и
a + b
A. Так как условие 6) доказанной теоремы равносильно тому, что
S слабо риккартово, то мы можем доказать это свойство, исходя из него. Тогда
Ann a +
Ann b =
S, то есть
c +
k = 1 при некоторых
c Ann a и
k Ann b.
c Ann a ac = 0 (по определению аннулятора).
k Ann b bk = 0.
a =
a1 + 0 =
a(
c +
k) +
bk = ac +
ak +
bk =
ac + (
a +
b)
k = (
a +
b)
k A. Получили
a A, что и нужно было доказать.
Литература.1. Е.М. Вечтомов. «Функциональные представления колец». - М.: МПГУ им. Ленина, 1993. - 190 с.2. В.В.Чермных. «Полукольца». Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. 131 с.