Расчет вероятностей событий
21
Задание №1
Какова вероятность того, что наудачу взятое натуральное число не делится:
а) ни на два, ни на три;
б) на два или на три?
Решение:
Пусть А - событие, что натуральное число делится на 2> p(A)=1/2 (каждое второе натуральное число кратно 2)
В-событие, что натуральное число делится на 3
p(В)=1/3 (каждое третье натуральное число кратно 3)
а) С - событие, что наудачу взятое натуральное число не делится ни на два, ни на три
Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей
Тогда вероятность события С:
Т.е. пять из шести натуральных чисел не делится ни на 2 ни на 3
б) D - событие, что наудачу взятое натуральное число не делится на 2 или на 3 .
Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий
Тогда вероятность события D:
.
Т.е. одно из трех натуральных чисел не делится на 2 или на 3
Задание №2В ружейной пирамиде имеются винтовки двух систем: одна винтовка типа 1 и две винтовки типа 2. Вероятность попасть в мишень при выстреле из винтовки типа 1 равна
р1, из винтовки типа 2 -
р2.Стрелок производит 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки. Чему равна вероятность того, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз?Решение:А - событие, что поражена мишеньПусть событие Н1 - винтовка I типа; событие Н2 - винтовка II типа. и А/Н1 - мишень поражена при выстреле из винтовки I типаА/Н2 - мишень поражена при выстреле из винтовки II типаДля нахождения вероятности применяют формулу
2. Рn (k) - вероятность, что в n испытаниях событие наступит k раз находится по формуле Бернулли .
Вероятность события, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз, если произведено 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки.
Задание №3При измерении урожайности картофеля вес клубней в одном кусте распределился по интервалам следующим образом:
|
Х(кг) | 2,5-2,7 | 2,7-2,9 | 2,9-3,1 | 3,1-3,3 | 3,3-3,5 | 3,5-3,7 | 3,7-4,3 | |
К-во кустов | 50 | 150 | 200 | 250 | 150 | 100 | 100 | |
|
Построить гистограмму и найти средний вес одного куста.Решение:Гистограмма - служит для изображения интервальных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака , и высотами, равными частотам интервалов.Для расчета среднего веса одного куста воспользуемся формулой средней арифметической.Средней арифметической дискретного вариационного ряда называется отношение суммы произведений вариантов на соответствующие частоты к объему совокупности:где - варианты дискретного ряда или середины интервалов вариационного ряда, - соответствующие им частоты.Для каждого интервала найдем середины по формуле .
|
Х(кг) | 2,5-2,7 | 2,7-2,9 | 2,9-3,1 | 3,1-3,3 | 3,3-3,5 | 3,5-3,7 | 3,7-4,3 | |
| 2,6 | 2,8 | 3 | 3,2 | 3,4 | 3,6 | 4 | |
К-во кустов | 50 | 150 | 200 | 250 | 150 | 100 | 100 | |
|
Ответ: средний вес одного куста составляет 3,22 кг.
Задание №4По следующим данным построить интервальный вариационный ряд и гистограмму: 24, 14, 15, 26, 16, 17, 14, 15, 1, 11, 14, 12, 16, 17, 13, 10, 11, 12, 13, 15, 14, 10, 11, 14, 7, 15, 14, 15, 15, 14, 15, 14, 2, 5, 18, 19, 16, 17, 9, 10, 18, 19, 20, 22, 28.Найти среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение.Решение:1. Проранжируем
Ранжирование - операция, заключенная в расположении значений признака по возрастанию исходный ряд, подсчитаем частоту вариантов. Получим вариационный ряд2. Для определения числа групп воспользуемся формулой
Стерджесса:n = 1+3,322 * lgNгде n - число групп, N =45 - число единиц совокупностиДля данных задачи
n = 1 + 3,322*lg 45 = 1 + 3,322 * 1,65 = 6б49 6 группВеличина интервала представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признака в каждой группе.3. Выполним промежуточные вычисления во вспомогательной таблице и определим значения числовых характеристик:Середины интервалов
Средняя арифметическая где - варианты дискретного ряда или середины интервалов вариационного ряда, - соответствующие им частоты.
Дисперсия .Среднее квадратическое отклонение .|
№ | Значения | | | № группы | Интервалы | Частота | |
1 | 1 | | | | нач | кон | | |
2 | 2 | | | 1 | 1,0 | 5,5 | 3 | |
3 | 5 | | | 2 | 5,5 | 10,0 | 5 | |
4 | 7 | | | 3 | 10,0 | 14,5 | 15 | |
5 | 9 | | | 4 | 14,5 | 19,0 | 17 | |
6 | 10 | | | 5 | 19,0 | 23,5 | 2 | |
7 | 10 | | | 6 | 23,5 | 28,0 | 3 | |
8 | 10 | | | | | | | |
9 | 11 | | | | | | | |
10 | 11 | | | | | | | |
11 | 11 | | | | | | | |
12 | 12 | | | | | | | |
13 | 12 | | | | | | | |
14 | 13 | | | | | | | |
15 | 13 | | | | | | | |
16 | 14 | | | | | | | |
17 | 14 | | | | | | | |
18 | 14 | | | | | | | |
19 | 14 | | | | | | | |
20 | 14 | | | | | | | |
21 | 14 | | | | | | | |
22 | 14 | | | | | | | |
23 | 14 | | | | | | | |
24 | 15 | | | | | | | |
25 | 15 | | | | | | | |
26 | 15 | | | | | | | |
27 | 15 | | | | | | | |
28 | 15 | | | | | | | |
29 | 15 | | | | | | | |
30 | 15 | | | | | | | |
31 | 16 | | | | | | | |
32 | 16 | | | | | | | |
33 | 16 | | | | | | | |
34 | 17 | | | | | | | |
35 | 17 | | | | | | | |
36 | 17 | | | | | | | |
37 | 18 | | | | | | | |
38 | 18 | | | | | | | |
39 | 19 | | | | | | | |
40 | 19 | | | | | | | |
41 | 20 | | | | | | | |
42 | 22 | | x min | 1 | | | |
43 | 24 | | x max | 28 | | | |
44 | 26 | | h | 4,5 | | | |
45 | 28 | | | | | | | |
|
|
№ группы | Интервалы | Частота | Промежуточные вычисления | |
| нач | кон | сер | ni | xcp*ni | (x-Xcp) | (x-Xcp)2 | ni*(x-Xcp)2 | |
1 | 1,0 | 5,5 | 3,25 | 3 | 9,75 | -10,9 | 118,81 | 356,43 | |
2 | 5,5 | 10,0 | 7,75 | 5 | 38,75 | -6,4 | 40,96 | 204,80 | |
3 | 10,0 | 14,5 | 12,25 | 15 | 183,75 | -1,9 | 3,61 | 54,15 | |
4 | 14,5 | 19,0 | 16,75 | 17 | 284,75 | 2,6 | 6,76 | 114,92 | |
5 | 19,0 | 23,5 | 21,25 | 2 | 42,50 | 7,1 | 50,41 | 100,82 | |
6 | 23,5 | 28,0 | 25,75 | 3 | 77,25 | 11,6 | 134,56 | 403,68 | |
| | | ? | 45 | 636,75 | | ? | 1234,80 | |
| | | | | 14,15 | | S2 | 27,44 | |
| | | | | | | ? | 5,24 | |
|
Среднее значение Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Ответ:
,
, Задание №5Некоторая случайная величина подчиняется закону нормального распределения с математическим ожиданием 50 и дисперсией 36. Найти вероятность того, что отдельное значение случайной величины заключено в интервале от 40 до 60.Решение:Пусть X - случайная величина подчиняется закону нормального распределенияПо условию и
Найти: Для нормального распределения СВ Xгде Ф(Х) - функция Лапласа, дифференциальная функция нормального закона имеет вид .Значения Ф(Х) - табулированы
Ответ:
Задание №6Определить вероятность того, что истинное значение расстояния отличается от среднего (1000 м), полученного в 100 опытах, не более, чем на 5 м, если стандартное отклонение 25 м.Решение:Пусть X - случайная величина расстояния, мПо условию
Найти:
Ответ:
Задание №7При измерении дальности расстояния дальномеры дали различные показания так, что среднее расстояние оказалось 1000 м с выборочной дисперсией 36 м2. В каких пределах находится истинное расстояние с вероятностью 80%, если произведено 11 измерений.Решение:
По условию задана выборка объемом и дисперсия нормально распределенной СВ X 36. Найдено выборочное среднее . Требуется найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания , если доверительная вероятность должна быть равна
1. Доверительный интервал имеет общий вид
2. По условию
находим из решения уравнения
> >
используя таблицу значений функции Лапласа
3. Находим значения концов доверительного интервала
.
.
Т.о., искомый доверительный интервал , т.е.
Ответ:
Задание №8При определении массы пяти таблеток лекарственного вещества получены следующие результаты: 0,148; 0,149; 0,151; 0,153; 0,155 (г). Найти ошибку в определении массы таблетки с вероятностью 80%.Решение:
|
xi | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
mi | 0,148 | 0,149 | 0,151 | 0,153 | 0,155 | |
|
Вычислим ошибку в определении массы таблетки с вероятностью 80% по формуле: - предельная ошибка малой выборки.
Учитывая, что определим табулированные значения - критерия Стьюдента.
.
Таким образом,
.
Ответ: Ошибка в определении массы таблетки с вероятностью 80% составляет 0,00088
Задание №9При изменении скорости реакции 2-х человек провели по сто опытов и получили следующие данные: Xср = 100 мс, дисперсия средних равна 9 мс2, Yср = 110 мс, дисперсия средних равна 16 мс2.Проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений для уровня значимости 0,02.Решение:Пусть - гипотеза, математические ожидания двух нормальных распределений для случайных величин X и Y равны.При достаточно больших объемах выборки выборочные средние и имеют приближенно нормальный закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией .При выполнении гипотезы статистикаимеет стандартное нормальное распределение N (0; 1)По данным задачиВ случае конкурирующей гипотезы выбирают одностороннюю критическую область, и критическое значение статистики находят из условия Т.о. Табулированное значение Если фактические наблюдаемое значение статистики t больше критического tкр, определенного на уровне значимости (по абсолютной величине), т.е. , то гипотеза отвергается, в противном случае - гипотеза не противоречит имеющимся наблюдениям.Т.к. наблюдаемое значение статистики , а критическое значение , то в силу условия >делаем ввод, что гипотеза отвергается, т.е. математические ожидания двух нормальных распределений для случайных величин X и Y не равны.
Задание №10Оцените достоверность различия продолжительности жизни мужчин (X) и женщин (Y) для уровня значимости 0,10:
Решение:Пусть - гипотеза, достоверность различия в продолжительности жизни мужчин и женщин на уровне значимости 0,10Вычислим и При выполнении гипотезы статистика .где и
|
X | 60 | 65 | 66 | 70 | 64 | | |
Y | 72 | 71 | 80 | 78 | 69 | | |
| 25 | 0 | 1 | 25 | 1 | 52 | |
| 4 | 9 | 36 | 16 | 25 | 90 | |
| 13 | | |
| 22,5 | | |
|
Критическое значение статистики находят из условия .Т.о. .Табулированное значение .Т.к. наблюдаемое значение статистики , а критическое значение то в силу условия делаем ввод, что гипотеза отвергается, т.е. достоверность различия продолжительности жизни мужчин (X) и женщин (Y) для уровня значимости 0,10 не подтверждается.
Задание №11По данным наблюдений за последние 5 лет составили таблицу урожайности пшеницы и числа дождливых дней за вегетативный период:
|
Ц/ га | 10 | 15 | 6 | 20 | 9 | |
Число дождливых дней | 14 | 20 | 6 | 20 | 10 | |
|
Коррелируют ли данные величины?Решение:
Для оценки тесноты корреляционной зависимости между величинами Y и X используется коэффициент корреляции - показатель тесноты линейной связи.
()
()
Свойства коэффициента корреляции:
1 0 Коэффициент корреляции удовлетворяет неравенству .
2 0 В зависимости от близости r к единице различают связь слабую, умеренную, заметную, достаточно тесную, тесную и весьма тесную
Оценка тесноты линейной связи (шкала Чаддока)
|
Значение r | 0-0,1 | 0,1-0,3 | 0,3-0,5 | 0,5-0,7 | 0,7-0,9 | 0,9-0,99 | 1 | |
Теснота линейной связи | Нет связи | Слабая | Умеренная | Заметная | Высокая | Очень высокая | Функциональная | |
|
|
Значение R | Связь | Интерпретация связи | |
R = 0 | Отсутствует | Отсутствует линейная связь между х и у | |
0<R < 1 | Прямая | С увеличением х величина у в среднем увеличивается и наоборот | |
-1<R<0 | Обратная | С увеличением х величина у в среднем уменьшается и наоборот | |
R =+1 R = -1 | Функциональная | Каждому значению х соответствует одно строго определенное значение величины у и наоборот | |
|
|
| Ц/га | Число дождливых дней | Промежуточные вычисления | |
№ | Y | X | Y*X | Y2 | X2 | |
1 | 10 | 14 | 140 | 100 | 196 | |
2 | 15 | 20 | 300 | 225 | 400 | |
3 | 6 | 6 | 36 | 36 | 36 | |
4 | 20 | 20 | 400 | 400 | 400 | |
5 | 9 | 10 | 90 | 81 | 100 | |
S | 60 | 70 | 966 | 842 | 1132 | |
Средние | 12 | 14 | 193,2 | 168,4 | 226,4 | |
| | | | | | |
Sx2 | 30,4 | | | | | |
Sy2 | 24,4 | | | | | |
Sx | 5,51 | | | | | |
Sy | 4,94 | | | | | |
r | 0,925 | | | | | |
|
Таким образом, коэффициент корреляции r=0,925, следовательно, можно сделать вывод, что между двумя факторами присутствует связь прямая и очень тесная.
Ответ: данные величины коррелируют.
Задание №12По данным таблицы сделайте прогноз значения X, если Y = 3.
Решение:
1. Определим и оценим тесноту корреляционной зависимости между величинами Y и X с помощью коэффициента корреляции .
|
| | | Промежуточные вычисления | Уравнение регрессии | |
№ | Y | X | Y*X | Y2 | X2 | | |
1 | 2 | 4 | 8 | 4 | 16 | 3,853 | |
2 | 7 | 2 | 14 | 49 | 4 | 3,824 | |
3 | 4 | 3 | 12 | 16 | 9 | 3,838 | |
4 | 6 | 7 | 42 | 36 | 49 | 3,897 | |
5 | 5 | 5 | 25 | 25 | 25 | 3,868 | |
6 | 2 | 6 | 12 | 4 | 36 | 3,882 | |
7 | 1 | 3 | 3 | 1 | 9 | 3,838 | |
S | 27 | 30 | 116 | 135 | 148 | 3,84 | |
Средние | 3,86 | 4,29 | 16,57 | 19,29 | 21,14 | | |
Sx | 1,67 | | | a | 3,794 | | |
Sy | 2,10 | | | b | 0,015 | | |
r | 0,012 | | | | | | |
|
Коэффициент корреляции r=0,012, следовательно можно сделать вывод, что между двумя факторами связь прямая, но очень слабая (почти отсутствует).
Уравнение регрессии выбирают по возможности простым, и оно, как правило, лишь приближенно описывает зависимость между значениями x одного признака и соответствующими средними значениями другого признака .
Наиболее простой и употребляемый вид зависимости - линейная зависимость. Она определяется уравнением линейной регрессии.
В рассматриваемом примере предположим, что эмпирическая линия регрессии приближается к прямой, и, следовательно, теоретическая линия регрессии может быть представлена уравнением вида: и изображается на графике в виде прямой регрессии. Уравнение регрессии называется выборочным, поскольку его параметры a и b находятся по результатам выборки (хi, уi), i=1,2,… n, причем наилучшим образом в смысле метода наименьших квадратов. Сущность метода заключается в том, чтобы была наименьшей сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений уi от соответствующих значений , вычисленных по уравнению регрессии, то есть
Для нахождения параметров а и b уравнения регрессии используем метод наименьших квадратов. Для этого составим и решим систему линейных уравнений:
>
Решив систему уравнений, получим следующие значения параметров
a=3,794.
b=0,015.
Уравнение линейной регрессии .
Прогноз значения X, если Y = 3 при линейной зависимости
Список литературы1. Адрухаев Х.М. Сборник задач по теории вероятностей./ Под ред. Проф. А.С. Солодовникова. - М.: Высшая школа, 2005.2. Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением MS Excel. /Под ред. Г.В. Гореловой, И.А. Кацко. - Ростов н/Д: Феникс, 2006.3. Информатика и математика для юристов. /Под ред. Проф. Х.А. Адриашина, проф. С.Я. Казанцева. - М.: Юнити-Дана, Закон и право, 20034. Ковбаса С.И., Ивановский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для экономистов. - СПб.: Альфа, 2001.5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.6. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач. - Ростов н/Д: Феникс, 1999 г. Информатика7. Пехлецкий И.Д. Математика. / Под ред. И.Д. Пехлецкого. - М.: Издательский центр «Академия», 2003.8. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.9. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных чисел: Учебное пособие. /Под общ. Ред. А.А. Свешникова. - СПб: Издательство «Лань», 2007.