Расчет математического ожидания и дисперсии
1. Пароль для входа в компьютерную базу данных состоит из 7 цифр. Какова вероятность правильного набора пароля с первого раза, если: д) на нечетных местах комбинации стоят одинаковые цифры
Решение:
P(A) =
n - общее число исходов.
Допустим на нечетных местах стоит 0_0_0_0_0
На трех других местах может быть: n0= комбинаций ( 10 цифр, 3 места), если на нечетных местах стоит 1, и т.д.
n= n0+n2+…+n0=10•=
m= число благоприятных исходов
m=0
P(A) = =0,0001
Ответ: 0,0001
2. Девять карточек, пронумерованных цифрами от 1 до 9, расположены друг за другом в случайном порядке. Определить вероятности следующих событий: Г) каждая из последних 4 карточек имеет номер больше 3
Будем использовать классическое определение вероятности:
,
где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события , а n - число всех элементарных равновозможных исходов.
Сразу вычислим, что - число различных способов разложить карточки.
Найдем число исходов, благоприятствующих этому событию. Номер больше трех имеют карточки: 4,5,6,7,8,9, всего 6 карточек. Выбираем на последнее место карточку 6 способами (любую из этих шести), на предпоследнее место карточку 5 способами (любую из оставшихся пяти, одна уже выбрана), на третье с конца место карточку 4 способами, на четвертое с конца место карточку 3 способами. Получили всего способов разложить последние 4 карточки так, чтобы их номер был больше 3. Теперь раскладываем оставшиеся 5 карточек 5!=120 способами. Итого получаем 120*360=43200 способов.
Тогда вероятность .
Ответ: 0,119
3. Отрезок AB разделен точкой C в отношении 3:7. На этот отрезок наудачу бросается 5 точек. Найти наивероятнейшее число точек, попавших на отрезок AC и вероятность именно такого числа точек на отрезке AC
Бросается 5 точек n=5
Вероятность попасть на АС для одной точки Р== 0,3
1)-наивероятнейшее число точек, попавших на АС
np -q ?< np +p
p= 0,3; q=1-p=0,7
5• 0,3-0,7 ? < 5• 0,3+ 0,3
0,8 ? < 1,8
=1
2) Вероятность именно такого числа точек на АС
(1)=?
Применим формулу Бернулли.
(K) = . . ;
(1)= . . = •0,3 •= 5 • 0,3• = 0,36
Ответ: 0,36
4. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2, 01 и 0,6. Найти вероятность того, что не отказал первый элемент, если известно, что отказали какие-то два элемента
Решение. =0,2 =0,1 =0,6 - отказ.
= 1- =0,8 =0,4- не отказ.
Событие А- отказали какие-то два
- первый отказал Р()=0,2=
(А)=+ 0,2•0,1•0,4+ 0,2•0,9•0,6=0,116
-первый не отказал Р=0,8=
(А)= 0,048
По формуле полной вероятности
P(A)=0,2•0,116+0,8•0,048=0,0616
Искомую вероятность найдем по формуле Байеса:
()= =
Ответ: 0,62
5. Бросаются две игральные кости. Найти для произведения очков на выпавших гранях: математическое ожидание; дисперсию
Решение. Введем независимые случайные величины и равные, соответственно, числу очков, выпавших на первой и на второй кости. Они имеют одинаковые распределения:
Найдем математическое ожидание
.
Найдем дисперсию
.
Тогда математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей равно
.
Дисперсия суммы числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей равна (так как бросания костей независимы):
.
Ответ: 7; 35/6.
6. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 30 и 4. Найти вероятность того, что Х в 5 испытаниях ровно 3 раза примет значение, заключенное в интервале (29, 31)
Решение. Используем формулу
,
где математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение б=29, в=31.
P(29<х<31)=Ф(=Ф(0,25)-(0,25)= Ф(0,25)+Ф(0,25) = 2•Ф(0,25) = 2•0,3413•0,25 = 0,17065 Ответ: 0,17065
7. В порядке серийной выборки из 1000 контейнеров бесповторным отбором взято 10 контейнеров. Каждый контейнер содержит равное количество однотипных изделий, полученных высокоточным производством. Межсерийная дисперсия проверяемого параметра изделия равна 0,01. Найти: границы, в которых с вероятностью 0,99 заключено среднее значение проверяемого параметра во всей партии, если отобрано 50 контейнеров, а общая средняя равна 5
При беспроводном отборе применяется формула:
n=
N=1000 n==5
p=0,99 ?0,98
Подставим:
5=
5=
5000+0,049=98
0,049=98
Т.к. х=5, то интервал 50,14
