Операторные уравнения
- 3 -
Федеральное агентство по образованию
Государственное муниципальное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Вятский Государственный Гуманитарный университет
(ВятГГУ)
Математический факультет
Кафедра математического анализа и методики преподавания математики
Выпускная квалификационная работа
«Операторные уравнения»
Выполнила:
студентка V курса
математического факультета
Кощеева Анна Сергеевна
Научный руководитель:
старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Гукасов Артур Константинович
_______________________
Рецензент:
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и МПМ
Подгорная Ирина Иссаковна
________________________
Допущен к защите в ГАК
Зав.кафедрой______________________ Крутихина М.В.
« »____________
Декан факультета__________________ Варанкина В.И.
« »____________
Киров 2005
Содержание
|
Введение_______________________________________________________ | 3 | |
Глава 1.Операторные уравнения.___________________________________ | 4 | |
| §1. Определение линейного оператора________________________ | 4 | |
| §2. Норма линейного оператора______________________________ | 5 | |
| §3. Обратные операторы____________________________________ | 5 | |
| §4. Абстрактные функции___________________________________ | 9 | |
| §5. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора________ | 11 | |
| §6. Метод малого параметра в простейшем случае______________ | 12 | |
| §7. Метод малого параметра в общем случае___________________ | 13 | |
| §8. Метод продолжения по параметру________________________ | 15 | |
| 8.1. Формулировка основной теоремы___________________ | 15 | |
| 8.2. Простейший случай продолжения по параметру_______ | 16 | |
Глава 2. Приложение_____________________________________________ | 19 | |
Литература_____________________________________________________ | 27 | |
|
Введение Функциональный анализ - мощное средство для решения математический задач, возникающих в реальных ситуациях, он имеет множество приложений в различных областях математики, его методы проникают в смежные технические дисциплины.Многие задачи математической физики, теории упругости, гидродинамики сводятся к отысканию решения дифференциального линейного уравнения,
что, в свою очередь, приводит к задаче отыскания решения уравнения Аx = y с линейным оператором А.
В
данной работе рассмотрены два
метода решения операторных уравнений
.
Цель данной работы: рассмотреть основы теории линейных операторов и методы решения операторных уравнений - метод малого параметра и метод продолжения по параметру, показать применение этих методов к решению задач.Изучив имеющийся материал по данной теме, я поставила перед собой следующие задачи:1. раскрыть некоторые основы теории линейных операторов, необходимые для освоения методов решения операторных уравнений;2. проиллюстрировать на конкретных примерах способы решения операторных уравнений и дать пояснения по ходу решения конкретных задач.Так как в
ыделение из функционального анализа его прикладной части, содержащей конструктивные методы получения решений задач, преследует методическую цель - сделать эти методы доступнее тем, кто занимается приложениями математики.
Поэтому данная работа разделена на две главы, в первой содержатся необходимые теоретические обоснования способов решения операторных уравнений и суть обоих методов, а во второй - решения конкретных
задач
.
Глава 1. Операторные уравнения§1.Определение линейного оператораПусть X и Y - линейные пространства, оба вещественные или оба комплексные.Оператор А: X > Y с областью определения D(А) называется
линейным, если А(
л1
x1 +
л2
x2) =
л1А(
x1) +
л2А(
x2)для любых
x1
,x2
D и любых скаляров
л1 и
л2. Пусть X и Y - нормированные пространства и А: X > Y, где А - линейный оператор, всюду заданный в X (т.е. D(А) = X).Оператор А называется
непрерывным в точке x0
X, если Аx > Аx0 при x > x0. Но судить о непрерывности линейного оператора в различных точках x0
X можно по непрерывности его в нуле пространства X.
Теорема 1.
Пусть линейный оператор А всюду задан в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве Y непрерывен в точке 0 X; тогда А непрерывен в любой точке x0 X. Доказательство. Рассмотрим равенство Аx - Аx0 = А (x - x0). Если x > x0, то z = x - x0 > 0. По непрерывности в нуле Аz > 0, но тогда Аx - Аx0 > 0, что и требовалось доказать.Линейный оператор А называется
непрерывным, если он непрерывен в точке x = 0.Пусть S1(0) - замкнутый шар ||
x|| ? 1 в банаховом пространстве X.Будем называть линейный оператор А: X
> Y ограниченным, если он ограничен на единичным шаре S1(0), т.е. если ограничено множество .Согласно определению, если А ограничен, то существует постоянная
с > 0 такая, что для любых
x с ||
x|| ? 1 справедливо неравенство ||А
x|| ?
с (1)
Теорема 2.
А ограничен тогда и только тогда, когда справедлива оценка ||А
x|| ?
с ||
x|| (2)
для любых x X, где с - постоянная.Теорема 3.
Пусть А: X > Y, А - линейный оператор, X, Y - банаховы пространства. Для того чтобы А был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.§2. Норма линейного оператораВ линейном пространстве непрерывных линейных операторов зададим норму следующим образом: . (1)Поясним, почему существует конечное число ||А||, определяемое для любого ограниченного оператора равенством (1). Так как А - ограничен, то множество ограничено сверху. По теореме о верхней грани существует .Из свойства sup M следует, что ||А
x|| ? ||А|| для всех
x S1(0). Отсюда ||А
x|| ? ||А|| |
|x||, (2)справедливое для всех
x X, включая
x = 0. таким образом, ||А|| является наименьшей из констант в неравенстве ||А
x|| ? ||А||, и, значит, оценка (2) является наилучшей. Пространство нормированных непрерывных линейных операторов, действующих из X в Y, будем обозначать L(X, Y).
§3.Обратные операторыСистемы линейных алгебраических уравнений, интегральные уравнения, а также различные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с производными часто могут быть записаны в виде линейного уравненияЕсли существует обратный оператор , то решение задачи записывается в явном виде:Важное значение приобретает теперь выявление условий, при выполнении которых обратный оператор существует и обладает теми или иными свойствами.Пусть задан линейный оператор:
А: X > Y, где X,Y - линейные пространства, причем его область определения D(A)X, а область значений R(A)Y.Введем множество - множество нулей оператора А. заметим, что N(A) не пусто, так как 0
N(A)
Теорема 4.
Оператор А переводит D (А) в R (А) взаимно однозначно тогда и только тогда, когда N(A)=, (т.е. множество А нулей состоит только из элемента 0)Теорема 5.
Оператор А-1 существует и ограничен на R(A) тогда и только тогда, когда для некоторой постоянной m>0 и любого x D(A) выполняется неравенство. (1)Введем теперь следующее важное понятие.Будем говорить, что линейный оператор А: X > Y
непрерывно обратим, если R(A)=Y , оператор обратим и A-1
L(Y, X), (т.е. ограничен).Обращаясь к теореме 5, мы сможем сформулировать следующее утверждение.
Теорема 6.
Оператор А непрерывно обратим тогда и только тогда, когда R(A)=Y и для некоторой постоянной m>0 и для всех выполняется неравенство (1).В случае определенного и ограниченного на всем множестве оператора A
L(X,Y) имеется теорема Банаха об обратном операторе.
Теорема 7.
Если А - ограниченный линейный оператор, отображающий взаимно однозначно банахово пространство X на банахово пространство Y, то обратный оператор А-1 ограничен.Иными словами, если А
L(X,Y), где X и Y банаховы, R(A)=Y и А обратим, то А непрерывно обратим.Взглянем на понятие непрерывно обратимого оператора с точки зрения разрешимости линейного уравненияAx = y (2)Если А непрерывно обратим, то уравнение это имеет единственное решение x = A-1y для любой правой части у. Если при этом (решение того же уравнения с правой частью ), то . Это означает, что малое изменение правой части
y влечет малое изменение решения, или, как принято говорить, задача (2) корректно разрешима.Пусть А
L(X,Y). Оператор U
L(X,Y) будем называть
правым обратным к А, если AU = Iy. Оператор V
L(X,Y) будем называть
левым обратным к А, если VA = Ix.Здесь через Iy (Ix) обозначен тождественный оператор в пространстве Y (X). Ниже для правого обратного к А используем обозначение Аr-1, а для левого - АL-1.
Лемма 1.
Если существует правый обратный Аr-
1 к А, то уравнение (2) имеет решение x = Аr-
1 yЕсли существует левый обратный оператор к А, то уравнение (2) может иметь не более одного решения.Доказательство. А(Аr-1 y) = (А Аr-1)y = y,т.е. x = Аr-1 y обращает (2) в тождество и, значит, является решением.Далее, пусть существует АL-1. рассмотрим N(A). Пусть x
N(A), тогда Аx = 0. применим к этому равенству оператор АL-1, тогда АL-1Аx = 0, откуда x = 0. итак, всякое x
N(A) оказывается равным 0. Значит, N(A) = {0} и, по теореме 4, А взаимно однозначен, т.е. для уравнения (2) справедлива теорема единственности. Что и требовалось доказать.Пусть
X - банахово пространство. Рассмотрим банахово пространство
L(X) - пространство линейных, ограниченных и заданных на всем множестве операторов. Пусть I - тождественный оператор в
L(X). Очевидно, что I непрерывно обратим. Ниже доказывается, что вместе с I непрерывно обратимы все операторы - единичного шара в
L(X), т.е. все такие А, для которых справедливо неравенство . Для краткости положим C = I - A. Ниже мы будем ссылаться на признак Вейерштрасса: пусть X - банахово пространство, тогда всякий абсолютно сходящийся в X ряд сходится.
Теорема 8.
Пусть и ; тогда оператор I -
C непрерывно обратим. При этом справедливы оценки (1) (2)Доказательство. Рассмотрим в
L(X) ряд
I+C+C2+C3+… (3)Так как , то ряд (3) оценивается сходящимся числовым рядом - геометрической прогрессиейПо признаку Вейерштрасса ряд (3) сходится равномерно, т.е..Где
S - сумма ряда (3). Далее простой проверкой убеждаемся, что,.Но при этом (ибо и ), а . Поэтому, в пределе имеем равенства
(I - C)S = I и
S(I - C) = I. По лемме 1 отсюда заключаем, что I - C непрерывно обратим и
S=(I - C)-1. Далее, ,.Переходя в этих неравенствах к пределу при , получаем оценки (1) и (2). Теорема доказана.Теперь рассмотрим более общий случай пространства L(X,Y). Пусть А
L(X,Y) непрерывно обратим.
Теорема 9.
Пусть A, B L(X,Y), А непрерывно обратим и выполнено неравенство . Тогда B непрерывно обратим и справедливы оценки, .
§4. Абстрактные функцииПусть S - некоторое множество на числовой оси или в комплексной плоскости, а X - нормированное пространство.Рассмотрим функцию
x(
) с областью определения S и с областью значений в X. Такие функции принято называть
абстрактными функциями числовой переменной или
векторными функциями числовой переменной, поскольку элементы линейного (иначе - векторного) пространства мы называем также векторами. На абстрактные функции числовой переменной переносятся многие понятия и факты математического анализа. Далее рассмотрим сведения о пределах и непрерывности таких функций, о разложении в степенные ряды, а также понятие аналитической абстрактной функции. Пусть
x(
) определена в окрестности точки
0, за исключением, быть может, самой точки
0. Элемент а
X будем называть
пределом функции x(
) при
>
0 и записывать
при
>
0,если при
>
0.Степенные ряды - это специальный случай рядов в нормированном пространстве, когда члены ряда зависят от параметра
.Рассмотрим в нормированном пространстве X ряд вида , где xк
X, а
- вещественное или комплексное переменное. Поскольку можно ввести новую переменную
-
0 = , то в дальнейшем мы полагаем
0 = 0 и рассматриваем степенные ряды вида
(1)Конечная сумма называется
частичной суммой степенного ряда (1). Пусть - множество всех точек
, для которых ряд (1) сходится. называется
областью сходимости ряда (1). Сумму ряда (1) при
обозначим через S(
) (это абстрактная функция, определенная на со значениями в X), при этом будем писать , при
.Последнее равенство означает, что Sn(
) > S(
) при n>? для всех
.Очевидно, область сходимости любого степенного ряда (1) не пуста, так как 0
. Как и в случае скалярных функций, справедлива следующая теорема.
Теорема 10 (Абель).
Пусть0 ? 0 и 0 , тогда круг содержится в . Во всяком круге Sr(0), где r < , ряд (1) сходиться абсолютно и равномерно относительно .Теорема 11.
Пусть два степенных ряда равны в круге SR(0), R>0:;тогда равны все их коэффициенты: (k=0, 1, 2, …)Дифференцирование абстрактных функцийПусть функция числового переменного л со значениями в банаховом пространстве
X определена в окрестности точки л0.По определению производной
x'
(л0) функции
x(л) в точке
л0 называется предел
,если этот предел существует (и конечен). Если имеет производную в точке л0, то она называется
дифференцируемой в этой точке.
§5. Аналитические абстрактные функции и ряды ТейлораАбстрактную функцию x(
) будем называть
аналитической при
=0, если она представима в некоторой окрестности точки
=0 сходящимся степенным рядом: (1)с ненулевым радиусом сходимости.
Теорема 12.
Если x() - аналитическая абстрактная функция при =0, то x() непрерывна в круге SR(0), где R - радиус сходимости степенного разложения (1).Теорема 13.
Если x() -
аналитическая абстрактная функция при =0, то x() дифференцируема в круге SR(0) сходимости своего степенного разложения.Пусть x(
) бесконечно дифференцируема в точке 0. Ряд вида называется
рядом Тейлора функции x(
).Если x(
) аналитична при
=0, то ее ряд Тейлора, в силу теоремы 10, является ее степенным разложением и, значит, сходится к ней в SR(0).Понятие абстрактной аналитической функции используется в широко применяемом на практике методе малого параметра.
§6. Метод малого параметра в простейшем случаеРассмотрим следующее уравнение:
Аx -
Сx=y. (1)Здесь
А, С L(X,Y) и y
Y заданы,
- скалярный параметр,
, а неизвестное
x разыскивается в
X. Если , т.е.
, (2)то, согласно теореме 9, оператор А-
С непрерывно обратим, и тогда решение уравнения (1) существует, единственно и задается явной формулой. (3)Отсюда видно, что в круге (2) решение является аналитической функцией параметра
и,
следовательно, может быть найдено в виде (4)На этой идее основывается метод малого параметра для уравнения (1). Подставим ряд (4) в уравнение (1) и, согласно теореме единственности разложения в степенной ряд, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
в правой и левой частях получившегося тождества:
.Таким образом, мы приходим к следующей рекуррентной системе уравнений для определения x0, x1, …:Аx0=y, Аx1=Сx0, …, Аxк=Сxк-1, …Так как А непрерывно обратим, то отсюда последовательно находимx0=А-1y, x1= А-1(СА-1)y, …, xк= А-1(СА-1)кy, …Следовательно, . (5)Мы получили решение (3), разложенное в степенной ряд. Если мы хотим оборвать степенной ряд и ограничиться приближенным решениемто можно оценить ошибку. Вычитая из ряда (5) его частичную сумму (6) и оценивая разность по норме, получим .
§7. Метод малого параметра в общем случаеПусть дано уравнение
А()х = у(). (1)Здесь
А() L(X,Y) задана при каждом
,
, или, как говорят,
А() - оператор-функция. Пусть
А() аналитична при
=0, а оператор А(0) непрерывно обратим,
у(
) - заданная аналитическая функция
при
=0 со значениями в
Y. Неизвестное
x разыскивается в
X. Аналитичность
А() и
у(
) в точке 0 означает, что они разлагаются в следующие степенные ряды с ненулевыми радиусами сходимости, которые равны и соответственно:, . (2)Из аналитичности
А() следует непрерывность
А() при
=0. следовательно, найдется число r > 0 такое, что в круге
.Отсюда вытекает, что в круге
оператор-функция
А() непрерывно обратима и, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение,при этом
x(
) аналитична в точке
=0 и радиус сходимости соответствующего степенного ряда равен min(, r). Для фактического построения
x(
) удобно воспользоваться методом малого параметра. Будем разыскивать
x(
) в виде. (3)Подставляя ряд (3) в уравнение (1) и учитывая разложения (2), приходим к следующей системе для неопределенных коэффициентов x0, x1, x2, …:А0x0 = y0, А0x1+А1x0 = y1,А0x2 + А1x1 + А2x0 = y2, (4). . . . . . . . . . ., …Здесь А0 = А(0) непрерывно обратим. Решая последовательно уравнения получившейся системы, находим , , … (5)Возникающие здесь формулы довольно громоздки, однако этим путем можно найти решение уравнения с любой степенью точности. Метод малого параметра особенно удобен в тех случаях, когда обращение оператора А(0) - задача более простая, чем задача обращения оператора А(
).
§8. Метод продолжения по параметру8.1. Формулировка основной теоремы В качестве еще одного приложения теорем об обратных операторах рассмотрим один из вариантов метода продолжения по параметру. Пусть и
А непрерывно обратим. Если , то, согласно теореме 9 §3,
В также непрерывно обратим. Оказывается, при определенных условиях можно доказать, что
В будет непрерывно обратим и в том случае, когда он очень далек от
А. Идея заключается в следующем. Рассмотрим непрерывную на отрезке [0, 1] оператор - функцию такую, что
А(0)=А, А(1)=В. Иначе говоря, в
L(X, Y) рассматривается непрерывная кривая, соединяющая точки
А и
В. Будем предполагать, что для оператор - функции выполняется следующее условие:1. Существует постоянная такая, что при всех и при любых справедливо неравенство. (1)Ниже будет доказана следующая теорема.
Теорема 14. Пусть А(л) - непрерывная на [0, 1] оператор-функция (при каждом ), причем оператор А(0) непрерывно обратим. Если для А(л)выполняется условие I, то А(I)непрерывно обратим, причем .Замечание к теореме 14. Если выполнено условие
I при и оператор непрерывно обратим, то
. (2)Действительно, пусть , а , т.е.. тогда условие
I дает или , что означает справедливость неравенства (2).
8.2. Простейший случай продолжения по параметруПриведем здесь доказательство теоремы 14 для случая, когда . Согласно условию этой теоремы . По замечанию 14 . Имеем следующую оценку:.Пусть , где . На [0, д] имеем , и, следовательно, по теореме 9
А(л) при всяком непрерывно обратим. Если окажется, то , то теорема доказана.Пусть д < 1. Возьмем
А(д). Согласно замечанию п.14.1 . Повторяем наши рассуждения при л>д. Имеем оценку,если , откуда
А(л) непрерывно обратим при каждом . Если , то теорема доказана. Если же 2д < 1, то и рассуждение можно повторить. После конечного числа шагов мы достигаем точки л=1, и, следовательно,
А(1) непрерывно обратим.
Доказательство теоремы в общем случаеРассмотренный выше частный случай отрезка в
L(X,Y) не всегда удобен в приложениях. Общий случай основывается на следующем элементарном предложении.
Лемма.
Пусть М - некоторое непустое множество на [0,1], одновременно открытое и замкнутое на [0.1]. тогда М=[0, 1].Замечание 1. условие открытости
М на [0,1] понимается так: для любого существует д > 0 такое, что .
Доказательство леммы. Пусть
N = [0, 1] \ M (дополнение к
М на [0, 1]). Нужно доказать, что
N = - пустое множество. Допустим противное, что
N . Поскольку
М и ограничено сверху, то существует
b = supM, причем
b M вследствие замкнутости. Покажем, что
b = 1. Если
b <1, то вследствие открытости
M на [0, 1] найдется
x > b, x M. Это противоречит определению
supM. Следовательно,
b >1 невозможно. Итак,
1 М.Теперь рассмотрим множество
N. Как дополнение к
М, оно также открыто и замкнуто на [0, 1], и, значит, к нему применимо рассуждение с
supM . мы получаем, что 1
N. Это невозможно, ибо
N - дополнение к
М. полученное противоречие доказывает, что допущение
N неверно. Итак,
N= , т.е.
М = [0, 1]. Лемма доказана. Вернемся к доказательству теоремы. Пусть
М - множество тех точек
л[0, 1], для которых оператор
А(л) непрерывно обратим. Согласно замечанию 1 для всех
л М. М не пусто, поскольку
0 [0, 1].воспользуемся непрерывностью оператор-функции
А(л) в метрике
L(X,Y). Для любого
> 0 найдется
д = д()>0 такое, что при всех
л [0, 1] таких, что <
д выполняется неравенство
<.Возьмем
= г, тогда при
< д(г), л [0, 1]<1.По теореме 9 §3
А(л) непрерывно обратим для всех таких
л. Итак, вместе с
л0 М содержит , т.е.
М открыто на
[0, 1].Докажем, что
М замкнуто на
[0, 1]. Пусть и при . Надо доказать, что
л0 М. воспользуемся неравенством и получим .Вследствие непрерывности
А(л) по
л для любого
> 0 находим номер
N = N() такой, что при
n > N будет
<. Возьмем
= г, тогда для
n = N(г)+1 <1.По теореме 9
А(л0) непрерывно обратим, т.е.
л0 М,
и, значит,
М замкнуто на
[0, 1]. По лемме
М = [0, 1] . в частности,
1 М и . Теорема полностью доказана.
Замечание. Рассмотрим уравнение с параметром:
А(л)х = у, л [0, 1]. (1*)Пусть для всех возможных решений этого уравнения при всяком
л [0, 1] справедлива оценка, (2*)где
с - некоторая постоянная, не зависящая от
х, у и
л. Оценка такого рода называется априорной оценкой для решения уравнения (1*). Очевидно, априорная оценка (2*) представляет собой лишь иначе записанное условие (1): .Доказанная выше теорема свидетельствует о важности априорных оценок для доказательства теорем существования и единственности решений.
Глава 2. ПриложениеПример 1. Рассмотрим интегральное уравнение с малым вещественным параметром л: (1)Это уравнение вида А(
)
х = у() - операторное уравнение в С[-р; р], где Покажем, что А(
) аналитична в т. 0, т.е. разлагается в ряд вида . Разложим функцию А(
) в ряд Тейлора: .Найдем
к - ую производную:Разложим функцию в ряд Тейлора в т. 0:Таким образом, функция аналитична, следовательно, непрерывна при
= 0, а значит, уравнение имеет единственное решение.Операторные коэффициенты имеют вид:; (2)
I. Начнем с уравнения А0x0 = y системы (4) §7, где у нас теперь y0=y, yк=0, к ? 1. Заменим, , поэтому , (4)где , Для того, чтобы найти коэффициент
А в уравнении (4), умножим его на cos t и, интегрируем по t от -р до р:,подсчитаем интегралы:, , Тогда, подставив в уравнение, получаем: . Отсюда:. (5)Найдем коэффициент
В уравнения (4), умножив это уравнение на sin t и интегрируя по t от -р до р:.Подсчитав соответствующие интегралы:, , , подставив и выразив
В, получаем:. (6)Подставим найденные коэффициенты (5) и (6) в уравнение (4):и свернем по формуле:
II. Найдем теперь x1(t), для этого необходимо решить следующее уравнение системы (4) §7: А0x1+А1x0 = y1. Так как y1=0 в нашем случае, то мы будем решать уравнение А0x1= - А1x0. Обозначим , т.к. мы знаем теперь x0(s), следовательно ц(t) можно вычислить. Имеем:Как в предыдущем случае заменим, , поэтому . (7)где , .Умножим уравнение (7) на cos t и проинтегрируем по t от -р до р - получим коэффициент
А:Подсчитав: , , ,имеем .Аналогично умножив уравнение (7) на sin t и проинтегрируем по t от -р до р - получим коэффициент
В: .Составляем функцию x1(t), подставив коэффициенты
А и
В в уравнение и свернув равенство по формуле косинуса разности:.Таким способом мы можем найти все остальные решения уравнения с любой степенью точности.
Пример 2. Применим метод продолжения по параметру для оценки разрешимости краевой задачи для дифференциального уравнения, а потом решим ее методом малого параметра.-x'' + b(t)x' +c(t)x = y(t), 0< t <1, (1)x(0) = x(1) = 0 (2)Здесь c(t) непрерывна на [0, 1], b(t) непрерывно дифференцируема на [0, 1]. Предположим еще, что на [0, 1] c(t) - b(t)'/2 ? б > -8/р
(*).Покажем методом продолжения по параметру, что в этих условиях при всякой правой части y Y = С [0, 1] существует единственное решение задачи x X = С2 [0, 1] - пространству, состоящему из дважды непрерывно дифференцируемых на [0, 1] функций x(t), удовлетворяющих граничным условиям (2), и с нормой , где .Запишем задачу (1) - (2) в операторном виде:
Вx = yЗдесь определен всюду на X со значениями в Y. В качестве оператора А примем L(X, Y).Соединим операторы
А и
В отрезком,
л [0, 1].Теперь необходимо установить априорную оценку для решений краевой задачи -x'' +
лb(t)x' +
лc(t)x = y(t), 0< t <1, (3)x(0) = x(1) = 0 (4)Как только такая оценка будет получена, из теоремы п.8.1. будет следовать однозначная разрешимость краевой задачи (3) - (4).Умножим уравнение (3) на x(t) и проинтегрируем полученное равенство по t от 0 до 1:.Заметим, с учетом граничных условий:Подставим полученные интегралы и сгруппируем относительно
л: (5)Произведем оценку всех трех слагаемых в этом равенстве.Докажем, что . (6)Заметим, что , и значит по неравенству Коши - Буняковского:.Точно так же:.Перемножим эти неравенства:. (6*)Отсюда, замечая, что , получим . Далее (7)- это следует из предположения (*).Последний интеграл равенства (5) можно оценить, используя скалярный квадрат:, где .Для любого е > 0 . (8)Используя полученные неравенства (6), (7), (8) и подставляя их в равенство (5), получаем:,считая е > 0 достаточно малым, имеем.Выберем и получим, где .Возвращаясь снова к равенству (5), получим следующую оценку:, где , а .Теперь с помощью оценки (6*) имеем и, значит, учитывая, что , получим (9)Из уравнения (3) можем получить оценки для и :. (10)Здесь оценивается через и . Действительно, x(0) = x(1) = 0. по теореме Роля на (0, 1) найдется точка о, в которой x'(о) = 0. Тогда, запишем уравнение (3) в виде,(в этом можно убедиться, взяв производную: и сократив)интегрируем его от о до и и получим .Отсюда имеем оценку , (11)где . Теперь подставим полученные результаты в (10):. (12)Теперь (9), (11) и (12) дают искомую априорную оценку:(постоянную с4 нетрудно подсчитать, сложив неравенства(9), (11), (12)и выполнив преобразования).Таким образом, доказательство разрешимости задачи получено, теперь приступим к ее решению методом малого параметра.Итак, рассмотрим операторное уравнение:
А(л)x = y(л),где .
I. Начнем с уравнения А0x0 = y (где А0 - коэффициент при нулевой степени л) системы (4) §7, причем y0 = y, yк = 0, к ? 1. , причем с1 подбирается так, чтобы выполнялось краевое условие: x0(1) = 0.
II. Найдем x1(t), для этого необходимо решить следующее уравнение: А0x1+А1x0 = y1. Так как y1=0, то мы будем решать уравнение А0x1= - А1x0. Из того, что следует следующее уравнение: .По аналогии c2 и c3 подбираем так, чтобы выполнялось краевое условие: x0(1) = 0.Таким образом, решения нашей краевой задачи выглядит так:, подставляя найденные решения, имеем:или
Литература1. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. М., 19622. Талдыкин А.Т. Элементы прикладного функционального анализа: Учеб. пособие. - М.: Высшая школа, 1982.3. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., 1993.4. Функциональный анализ./Под. ред. С. Г. Крейна. М., 19725. Хатсон В., Пим Дж. С. Приложения функционального анализа и теория операторов. Пер. с англ. - М.: Мир, 1983.