Общий курс высшей математики
25
Академия труда и социальных отношений
Курганский филиал
Социально-экономический факультет
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине: «Общий курс высшей математики»
Студент гр. ЗМб 1338
Ст. преподаватель
Курган - 2009
Задание 03
В ромбе ABCD известны координаты вершин А и С и тангенс внутреннего угла С. Найти уравнения диагоналей и сторон, координаты двух других вершин, а также площадь этого ромба, если А(4,2), С(16;18), . Сделать чертеж.
Решение:
Зная координаты вершин А и С запишем уравнение диагонали АС как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
12(y-2)=16(x-4);
12y-24=16х-64
16х-12у-40=0 /:4
4х-3у-10=0 - уравнение диагонали А С в форме общего уравнения прямой.
Перепишем это уравнение в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом:
-3y=-10-4х;
3y=4x-10;
y= откуда k А С=
Так как в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, то угловой коэффициент диагонали BD будет равен
КВD =
Само же уравнение диагонали BD найдем как уравнение прямой, проходящей через заданную точку в направлении, определяемом угловым коэффициентом КBD.
В качестве «заданной точки» возьмем точку Е пересечения диагоналей ромба, которая лежит на середине отрезка АС, вследствие чего:
Е (10;10)
Итак, уравнение диагонали BD запишем в виде
у - yE= КВD (x-xE)
y-10= (x-10);
y-10=x+ / 4
4у-40=-3х+30
3х+4у-70=0 - уравнение диагонали BD
Чтобы найти уравнение сторон ромба, надо определить только угловые коэффициенты КАВ = КCD и КВС = КAD прямых, на которых эти стороны лежат, ибо точки, через которые эти прямые проходят, известны - это вершины А и С ромба.
Для определения указанных угловых коэффициентов воспользуемся формулой , позволяющей вычислять тангенс угла ц между двумя заданными прямыми по их угловым коэффициентам К1 и К2; при этом угол ц отсчитывается против часовой стрелки от прямой у = К1х + b1 до прямой у = К2х + b2. Формула оказывается удобной, потому что уравнение диагонали АС уже найдено (и, следовательно, известен ее угловой коэффициент КАС), а положение сторон ромба относительно этой диагонали однозначно определяется внутренними углами А и С, которые равны между собой и для которых по условию известен их тангенс ().
Так диагонали ромба делят его углы пополам, то, положив из формулы для тангенса двойного угла при найдем tg ц:
Положим z = tg ц; тогда , тогда
15 2z = 8 (1-z2)
30z=8-8z2
8z2+30z-8=0 /:2
4z2+15z-4=0
D=152-4 4 (-4)= 225+64=289
z1=;
z2=
Но т.к. угол в ромбе ц всегда острый корень z2=-4 отбрасываем и получаем в итоге, что tg ц =
Угол ц является углом между прямыми ВС и АС, с одной стороны, и прямыми АС и CD - с другой (см. чертеж).
Потому в первом случае по формуле имеем
откуда при то получим
4()=1+;
= /3
16-12 KBC=3+4KBC;
16 KBC=13;
KBC=
Во втором случае по формуле имеем =;
При КАС = получим:
;
4(KcD-)=1+KcD;
4KcD-=1+ KcD / 3;
12KcD-16=3+4KcD;
8KcD =19
KcD=
Так как противоположные стороны ромба параллельны, то тем самым мы определили угловые коэффициенты всех его сторон.
КCD = KAB = ;
KBC = KAD = .
Зная теперь эти угловые коэффициенты и координаты вершин А и С, по уже использовавшимся выше формулам найдем уравнения прямых АВ, CD, BC и AD.
Уравнение АВ: у - уA = KA B (х - хA),
у -2 = (х-4) /8;
8у-16=19х-76;
19 х-8 у-60=0.
Уравнение CD: у - уC= КCD(х - xC)
у -18= ( х-16) / 8;
8у -144=19х-304;
19 х-8 у-160=0.
Уравнение ВС: у - уC= КBC ( х xC);
у -18=( х - 16);
у - 18= х - 13 / 16;
16у -288 = 13х - 208;
13х -16 у +80=0
Уравнение AD: у - уA = КAD( х -xA);
у -2=( х -4);
у -2= х - /16;
16у -32= 13х-52;
13х-16у-20=0
Вершины ромба являются точками пересечения его соответствующих сторон. Поэтому их координаты найдем путем совместного решения уравнений этих сторон.
19х -8у -60 = 0 / (-2)
13х -16у +80= 0
-38х+16у+120=0
13х-16у+80=0
-25х = - 200
х = 8
13 8 -16у+80=0
104-16у+80=0
16у=184
у=11,5 т.В (8;11,5)
Для вершины D:
19х -8у +-160 = 0 / (-2)
13x - 16 y - 20 = 0
-38х + 16у +320 = 0
13x - 16 y - 20 = 0
-25х = - 300
х=12
13 12 - 16у-20 = 0
156 -16 у-20=0
16у - 136
у=8,5 т.D (12;8,5)
Координаты этих точек удовлетворяют ранее найденному уравнению 3х + 4у - 70 = 0 диагонали BD, что подтверждает их правильность.
Площадь ромба вычислим по формуле S = ? d1d2, где d1 и d2 - диагонали ромба.
Полагая d1 = |АС|, а d2 = |BD|, длины этих диагоналей найдем как расстояния между соответствующими противоположными вершинами ромба:
d1 =
d2 =
В итоге площадь ромба будет равна S = • 20 • 5 = 50 кв.ед.
Ответ:
АС: 4х - 3у - 10 = 0;
BD: 3х + 4у - 70= 0;
АВ: 19х -8у -60 = 0;
CD:19 х -8у - 160 = 0;
ВС: 13х -16у + 80 = 0;
AD: 13х -16у - 20=0;
В (8;11,5);
D (12; 8,5);
S = 50 кв.ед.
Задание 27
Найти предел
а)
Решение:
а) Функция, предел которой при х> 2 требуется найти, представляет собой частное двух функций. Однако применить теорему о пределе частного в данном случае нельзя, так как предел функции, стоящей в знаменателе, при х> 2 равен нулю.
Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель дроби, находящейся под знаком предела, на выражение , сопряженное знаменателю. Параллельно разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители:
===
==
2 х 2 - 3 х - 2=0
D=3 2 -42(-2)=9+16=25
х1 == =2;
х2 = == -
==
===12,5
Ответ: 12,5
б)
Умножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на выражение, сопряженное к знаменателю:
==
=
==
+=
Найдем каждый сомножитель.
====
+)=(=1+1=2.
Предел есть первый замечательный предел.
Таким образом.
после замены t=3x будет равен =3
Аналогично =5
Получим
=
1
В итоге получим:
Ответ:
в)
Преобразуем основание данной функции:
Ведем новую переменную t= , тогда
t (4x-1) = 2
4xt - t = 2
4xt =2 + t
x=
x=
Заметим, что предел функции t при x > ? равен нулю т.е t > 0 при x > ?. Следовательно
===
=
Воспользуемся теоремой о пределе произведения, следствием теоремы о пределе сложной функции, вторым замечательным пределом получим.
Ответ:
г)
Представим выражение под знаком предела в виде
===
==
Найдем значение каждого предела:
==1
= - ln e следствие из второго замечательного предела.
=3=3 1=3
В итоге получим
=1= =
Ответ:
Задание 50
Найти производную функции
а)
Решение:
при решении будем применять правила дифференцирования частного произведения и сложной функции.
=
==
=
б)
+
+=+=
= +=+
в)
Решение:
г)
==
=-
=- =-
-=-
==
Задание 73
Вычислить приближенное значение функции f (x) = ln в точке x1 заменив приращение функции в точке х0 = 0 ее дифференциалом. Если известно a=8; b=13; c=21;x1=0.013
Решение:
Если приращение аргумента ?х = х1 - х0 достаточно мало по абсолютной величине, то приращение функции ?f = f (x1) - f (x0) приближенно равно дифференциалу функции df. Поэтому справедлива формула
f (x0 + ?x) ? f (x0) + f / (x0) ?x.
Для вычисления приближенного значения функции у = ln в точке х1 = 0,013 вычислим производную этой функции в точке х0 = 0:
f / (x) = = =
==
f / (x) = f / (0) = ==-1
Подставив в формулу получим; f (0,013) =-0,013
Ответ: -0,013
Задание 96
Исследовать функцию и построить ее график.
Решение
1. Область определения данной функции - вся числовая ось, то есть интервал (-?; +?), так как выражение
f (x) =
в правой части аналитического задания функции имеет смысл при любом действительном х.
2. Как элементарная функция, данная функция является непрерывной в каждой точке своей области определения, то есть в каждой точке числовой оси.
3. Найдем все асимптоты графика данной функции.
Вертикальных асимптот график данной функции у = f (x) не имеет, поскольку последняя непрерывна на всей числовой оси формула
Для отыскания наклонной асимптоты при х> +? вычислим следующие два предела k = lim y/x и b = lim (y - kx)
Если оба они существуют и конечны, то прямая у = kx + b является наклонной асимптотой при х>+? графика функции у = f (x)
Прежде чем обращаться к вычислению указанных пределов, напомним тождество vх2 = |х| (1), из которого следует, что при x > 0 vх2 = х ,
а при х < 0 vх2 = -х или х = -vх2 (2)
Приступая к вычислению первого предела, разделим числитель и знаменатель дроби на х2, затем воспользуемся равенством (1) и основными свойствами предела:
k======
==0
Для вычисления второго предела разделим числитель и знаменатель дроби на х и, действуя далее аналогично тому, как и при вычислении первого предела, получим:
b =(y - kx)= y == =
===3
Следовательно, прямая у = 3 является наклонной асимптотой графика данной функции при х>+? (поскольку угловой коэффициент k этой прямой равен нулю, то такую наклонную асимптоту называют также горизонтальной при х>+?.
Для отыскания наклонной асимптоты при х> -? вычислим пределы k1 = lim y/x и b1 = lim (y - kx)
Если оба они существуют и конечны, то прямая y = k1x + b1 является наклонной асимптотой при х>-?
Для вычисления этих пределов используем те же приемы, что и выше, учитывая только на сей раз вместо равенства (1) равенство (2). Теперь, в частности, для отрицательных значений аргумента имеем:
==-=- и следовательно, k1 = 0, b1 = -3, то есть наклонной (горизонтальной) асимптотой при х>-? на сей раз является прямая у = -3
4. Найдем точки пересечения графика данной функции с осями координат и установим участки ее знакопостоянства.
Для отыскания абсцисс точек пересечения графика с осью ОХ решим уравнение =0
Его единственным решением, очевидно, является х = Причем, в силу положительности знаменателя при любом х ясно, что f(x)>0 при х> f(x)<0при х <
Таким образом, точка А (; 0) является единственной точкой пересечения графика функции с осью ОХ, а для х из интервалов (-?; ) и (; +?) соответствующие точки графика функции расположены, соответственно, ниже и выше оси абсцисс.
Точка пересечения графика функции у = f (x) с осью ОУ - это всегда точка (0; f(0)), если только нуль входит в область определения функции. В нашем случае: f (0) ===-=-2,24 такой точкой является В(0;-2,24).
5. Приступим теперь к отысканию точек экстремума данной функции и участков ее монотонности.
Вычислим сначала ее производную:
у===
====
Решая уравнение у/ = 0, получим единственный корень производной:
5(3+х) = 0 х=-3
Таким образом, необходимое условие экстремума выполняется лишь в точке х = -3. Эта точка разбивает ось абсцисс на два интервала (-?;-3) и (-3; +?) знакопостоянства производной.
Для определения знака производной в каждом интервале (пользуясь ее непрерывностью) определим знак производной в одной какой-либо точке каждого интервала. Так как
f/(-1) = < 0 и f/(2) = = >0
то заключаем, что функция убывает на интервале (-?;-3) и возрастает на интервале (-3; +?), и значит точка х = -3 является точкой минимума данной функции.
Значение функции в этой точке (то есть минимум функции) равно
f (-3) = ==-=-3,74
С (-3;-3,74)
6. Наконец, обратимся к исследованию данной функции на выпуклость, вогнутость и существование точек перегиба.
С этой целью найдем производную второго порядка данной функции:
у=(у)//===
= =
===
Решим затем уравнение у// = 0, эквивалентное квадратному уравнению:
его корни: х1 = -5; х2 = 0,5 , которые разбивают область определения функции на три интервала знакопостоянства второй производной: (-?; -5), (-5; 0.5), (0.5; +?).
Для определения знака производной второго порядка в каждом из этих интервалов определим ее знак в какой-либо точке соответствующего интервала:
f//(-6) = == < 0
f//(0) == > 0
f//(2) === < 0
Из полученных неравенств вытекает, что график функции является вогнутым на интервале (-5; 0.5), и выпуклым на интервалах (-?; -5) и (0.5; +?) и значит точки D (-5; f(-5)) и Е (0.5; f(0.5)), являются точками перегиба графика данной функции. Осталось найти ординаты этих точек:
f (-5) === ?-3,65
f (0.5) = = = ? -1,53
Точки D(-5;-3,65) и E(0,5; -1,53)
Учитывая результаты полного исследования, соединим непрерывной кривой все ранее отмеченные точки предварительного чертежа так, чтобы эта кривая слева и справа неограниченно приближалась к асимптотам у=-3 и у=3
Список использованной литературы:
1 Данко. П.Е. Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., Высшая математика в упражнениях и задачах. Учебное пособие для вузов.М.: ОНИКС 21век, 2002.- 304 с.
2 Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов по экономическим специальностям. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.-479 с.
3 Коломогоров А..Н., Абрамов А..М., Дудницын Ю.П.. Ивлев Б.М., Шварцбурд С.И. Алгебра и начала анализа:Учебник .М.: Просвещение, 1993.-320 с.
4 Кудрявцев Л.Д. курс математического анализа: Учебник для студентов вузов. М.: высшая школа, 1989.-352 с.
