Общее доказательство гипотезы Биля, великой теоремы Ферма и теоремы Пифагора
13
Файл: MENTOR
© Н.М. Козий, 2007
Авторские права защищены
свидетельствами Украины
№ 23145 и № 27312
ОБЩЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ГИПОТЕЗЫ БИЛЯ, ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
И ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ БИЛЯГипотеза Биля формулируется следующим образом: неопределенное уравнениеАx +Вy= Сz/1/не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, x, y и z при условии, что x, y и z больше 2.Суть гипотезы Биля не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом: Аx = Сz - Вy/2/Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С.Уравнение /2/ запишем в следующем виде: Аx = (С0,5z) 2 -(В0,5y) 2 /3/Обозначим: В0,5y =V /4/С0,5z =U /5/Отсюда: Вy =V2 /6/Сz =U2 /7/В = /8/С = /9/Тогда из уравнений /2/, /6/ и /7/ следует: Аx = Сz -Вy =U2-V2 /10/Уравнение /10/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде: Аx = (U-V) •(U+V) /11/Для доказательства гипотезы Биля используем метод замены переменных. Обозначим: U-V=X /12/Из уравнения /12/ имеем: U=V+X /13/Из уравнений /11/, /12/ и /13/ имеем: Аx = X· (V+X+V) =X(2V+X) =2VХ+X2 /14/Из уравнения /14/ имеем: Аx - X2=2VХ /15/Отсюда: V= /16/Из уравнений /13/ и /16/ имеем: U= /17/ Из уравнений /8/, /9/, /16/ и /17/ имеем: B = /18/C = /19/ Из уравнений / 18/ и /19/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа Аx на число X, т.е. число X должно быть одним из множителей, входящих в состав множителей числа Аx. Другими словами, число Аx должно быть, например, равно: Ax = (abc) x, /20/где: a, b, c - простые или составные целые положительные числа.При этом должно быть, например: X=сm; X2=c2m. /21/ В любым случае должно соблюдаться соотношение: 2m ? x.Из уравнений / 18/ и /19/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая четность чисел A и X: оба числа должны быть четными или оба нечетными.Из уравнений / 18/, /19/ и /20/ следует: В= /22/C= /23/ Обозначим: P = /24/Q = /25/ Тогда: B = /26/С = /27/ Из уравнений /24/ и /25/ имеем: Q = /28/Таким образом, из уравнений /27/ и /28/ следует: С = /29/ Из анализа уравнений /26/ и /29/ следует, что поскольку разность между числами Q и P равна всего лишь: Q - P = P + 1 - P = 1, /30/то, по меньшей мере, одно из чисел В или С является дробным числом.Допустим, что число В - целое число.ПРИМЕР: c=5; P = 612 = 3721; y = 4; m=2; 2m=4.По формуле /25/ имеем: B = =Тогда: при z=3: С = = - дробное число.при z=4: С = = - дробное число.при z=5: С = = - дробное число.при z=6: С = = - дробное число.Очевидно, что если (dm) 2 = d2m, то (dm + 1) 2 ? e2m,где: d - целое число; e - целое число.Таким образом, если допустить, что В - целое число, то С - дробное число.Следовательно, гипотеза Биля не имеет решения в целых положительных числах.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМАЕсли в уравнении /1/ гипотезы Биля принять, что показатели степени равны между собой, т.е. x = y = z = n, то оно преобразуется в уравнение великой теоремы Ферма: Аn +Вn= Сn /31/Тогда уравнения /2/, /6/ - /11/, /16/ - /20/ примут вид: Аn = Сn - Вn/32/Вn =V2 /33/Сn =U2 /34/В = /35/С = /36/Аn = Сn - Вn = U2-V2 /37/Аn = (U-V) •(U+V) /38/V= /39/U= /40/ B = /41/C = /42/ Пусть: An = (abc) n, /43/где: a, b, c - простые или составные целые положительные числа.При этом должно быть, например: X=сm; X2=c2m. /44/ В любом случае должно соблюдаться соотношение: 2m ? n.Из уравнений / 41/ и /42/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая четность чисел A и X: оба числа должны быть четными или оба нечетными.Из уравнений / 41/, /42/ и /43/ следует: В= /45/C= /46/ Обозначим: P = /47/Q = /48/ Тогда: B = /49/С = /50/ Из уравнений /47/ и /48/ имеем: Q = /51/Таким образом, из уравнений /50/ и /51/ следует: С = /52/ Из анализа уравнений /49/ и /52/ следует, что поскольку разность между числами Q и P равна всего лишь: Q - P = P + 1 - P = 1, /53/то, по меньшей мере, одно из чисел В или С является дробным числом.Допустим, что число В - целое число.ПРИМЕР: c=5; P = 612 = 3721; n =2m = 4; m=2.По формуле /49/ имеем: B = =Тогда: С = = - дробное число.Очевидно, что если (dm) 2 = d2m, то (dm + 1) 2 ? e2m,где: d - целое число; e - целое число.Таким образом, если допустить, что число В - целое число, то С - дробное число.Следовательно, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРАЕсли в уравнении /1/ гипотезы Биля принять, что показатели степени равны между собой и равны: x = y = z = 2, то оно преобразуется в уравнение теоремы Пифагора: А2 +В2= С2 /54/Тогда уравнения /2/, /6/ - /11/, /16/ и /17/ примут вид: А2 = С2 - В2/55/В2 =V2 /56/С2 =U2 /57/В == V /58/С == U /59/А2 = С2 - В2 = U2-V2 /60/А2 = (U-V) •(U+V) /61/B = V = /62/C = U = /63/ По уравнениям /62/ и /63/ и заданному значению числа A определяются пары чисел B и С, которые с числом A образуют тройки пифагоровых чисел.
ПРИМЕРЫ Пример 1: А=3•5=15; n=2; М=3.В=Х=; С=Y=А2=С2-В2=392-362=225; А= или: А2 +В2=152+362=1521=392= С2Пример 2: А=3•5=15; n=2; М=5.В=Х=; С=Y=А2 =С2-В2=252-202=225=152 или: А2+В2=152+202=625=252= С2Пример 3: А=2•3•13=78; n=2; М=2•13=26.В=Х=; С=Y=А2=С2-В2=1302-1042=6084=782, или: А2 + В2=782+1042=16900=1302= С2Пример 4: А=2•3•13=78; n=2; М=2•3=6.В=Х=; С=Y=А2=С2-В2=5102-5042=6084=782, или: А2 + В2=782+5042=260100=5102= С2Таким образом, из уравнения /60/ следует, что любое целое положительное число в квадрате всегда равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых положительных чисел.
ВЫВОДЫИз анализа гипотезы Биля, великой теоремы Ферма и теоремы Пифагора следует, что в основе их лежит одно и тоже уравнение: Аx +Вy= СzПри этом:в уравнении гипотезы Биля показатели степени x, y, z больше 2 и не равны между собой;в уравнении великой теоремы Ферма показатели степени x, y, z больше 2 и равны между собой: x= y= z = n;в уравнении теоремы Пифагора показатели степени x, y, z равны между собой и равны: x= y= z = n=2.Таким образом:уравнение теоремы Пифагора является частным вариантом уравнения великой теоремы Ферма;уравнение великой теоремы Ферма является частным вариантом уравнения гипотезы Биля.Доказательства гипотезы Биля, великой теоремы Ферма и теоремы Пифагора выполнены одним методом: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Тот факт, что использованный метод доказательства теоремы Пифагора дает возможность для любого числа А находить пары пифагоровых чисел В и С, позволяет сделать вывод, что и доказательства гипотезы Биля и великой теоремы Ферма, выполненные тем же методом, достоверны.