Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный
2
Фрунзенский район
Технологическая гимназия №13 г. Минска
Авторы:
Кравченко Арсений Борисовичученик 9”Д” классаул. Горецкого 69-263д.т. 215-84-33Ермолицкий Алексей Александровичученик 9”Д” классаул. Сухаревская 7-46д.т. 215-62-23Тема:Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный
Секция: математикаНаучный руководитель:Буйницкая Инесса Мечеславовна учитель высшей категорииМинск 2004СодержаниеОбщая теоретическая часть
………………………………………00
Графический метод………………………………………………..00Функциональный метод…………………………………………...00Метод функциональной подстановки…………………………..00Цели и задачи научной работы…………………………………..00Практикум………...…………………………………………………00Список литературы………………………………………………..00
Общая теоретическая частьПусть X и Y - два произвольных численных множества. Элементы этих множеств будем обозначать х и у соответственно и будем называть переменными.
Определение. Числовой функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие (правило, закон), которое каждому х из множества Х сопоставляет одно и только одно значение у из множества Y. Переменную х называют независимой переменной или
аргументом, а переменную у - зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является
функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции. Введенное понятие числовой функции является частным случаем общего понятия функции как соответствия между элементами двух или более произвольных множеств.Пусть Х и Y - два произвольных множества.
Определение. Функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие, соотносящее с каждым элементом множества Х один и только один элемент из множества Y.
Определение. Задать функцию - это значит указать область ее определения и соответствие (правило), при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.С понятием функции связаны два способа решения уравнений:
графический и
функциональный. Частным случаем функционального метода является метод
функциональной, или универсальной
подстановки.
Определение. Решить данное уравнение - значит найти множество всех его корней (решений). Множество корней (решений) может быть пустым, конечным или бесконечным.В следующих главах теоретического раздела мы разберем вышеописанные способы решения уравнений, а в разделе «Практикум» покажем их применение в различных ситуациях.
Графический метод.На практике для построения графика некоторых функций составляют таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, затем наносят соответствующие точки на координатную плоскость и последовательно соединяют их линией. При этом предполагается, что точки достаточно точно показывают ход изменения функции.
Определение. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек x, f(x) координатной плоскости.Заметим, что так как функция
f сопоставляет каждому
x D(f) одно число
f(x), то график функции
f пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякое непустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной оси ординат, не более одной общей точки, является графиком некоторой функции. Не всякое множество точек координатной плоскости является графиком какой-либо функции. Например, множество точек окружности не может быть графиком функции, поскольку значению абсциссы внутри окружности, соответствует два значения ординаты.В общем случае уравнение с одной переменой
х можно записать в видеf(x)=g(x), где f(x) и g(x) - некоторые функции. Функция f(x) является
левой частью, а g(x) -
правой частью уравнения. Тогда для решения уравнения необходимо построить в одной системе координат графики функций f(x) и g(x). Абсциссы точек пересечения будут являться решениями данного уравнения.Заметим, что так как функция
f сопоставляет каждому
x D(f) одно число
f(x), то график функции
f пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, не более, чем в одной точке. И наоборот: всякое непустое множество точек плоскости, имеющее со всякой прямой, параллельной оси ординат, не более одной общей точки, является графиком некоторой функции.Данный метод может использоваться не только для одиночных уравнений, но и для их систем, а также неравенств. В случае с системами необходимо находить не только абсциссы, но и ординаты (если графики функций f(x) и g(x) пересекаются в точке А (х1, у1), то решением системы будет х=х
1, у=у
1). При решении неравенств ответом будет совокупность абсцисс, при которых график функции f(x) находится выше или ниже (в зависимости от условия) графика функции g(x).
Функциональный методНе всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычные методы решения. В таких случаях имеет смысл использовать такие свойства функций f(x) и g(x) как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций возрастает, а другая убывает на определенном промежутке, то уравнение f(x) = g(x) не может иметь более одного корня, который, в принципе, можно найти подбором. Далее, если функция f(x) ограничена сверху, а функция g(x) - снизу так, что f(x)
мах=А g(x)
мin=A, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравненийТакже при использовании функционального метода рационально использовать некоторые теоремы, приведенные ниже. Для их доказательства и использования необходимы следующие уравнения общего вида: f(x)=x (1) (2)
Теорема 1. Корни уравнения (1) являются корнями уравнения (2).
Теорема 2. Если f(x) - возрастающая функция на интервале a<f(x)<b, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны. Если f(x) - убывающая функция на интервале a<f(x)<b, n - нечетное, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны.Из последней теоремы вытекают следствие, также используемое в решениях:
Следствие 1. Если f(x) возрастает на всей своей области определения, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны. Если f(x) убывает на всей своей области определения, n - нечетное, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны.
Теорема 3. Если в уравнении f(x)=g(x) при любом допустимом х выполнются условия f(x)?a, g(x)?a, где а - некоторое действительное число, то дано уравнение равносильно системе
Следствие 2. Если в уравнении f(x)+g(x)=a+b при любом допустимом х f(x)?a, g(x)?b, то данное уравнение равносильно системеФункциональный метод решения уравнений часто используется в комбинации с графическим, так как оба эти метода основаны на одних свойствах функций. Иногда комбинацию этих методов называют
графоаналитическим методом.
Метод функциональной подстановкиЧастным случаем функционального метода является метод функциональной подстановки - самый, пожалуй, распространенный метод решения сложных задач математики
. Суть метода состоит в введении новой переменной
y
=ѓ(
x
), применение которой приводит к более простому выражению.
Отдельным
случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.Тригонометрическое уравнение вида
R(sinkx,
cos
nx, tg
mx, ctg
lx) = 0 (3)где R - рациональная функция,
k,n,m,lZ, с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению уравнению относительно аргументов sin
x,
cos
x, tg
x, ctg
x, после чего уравнение (3) может быть сведено к рациональному уравнению относительно t=tg(
x/2) c помощью формул универсальной тригонометрической подстановки 2tg(x/2) 1-tgІ(x/2) sin
x= cos
x= 1+tgІ(x/2) 1+tgІ(x/2) (4) 2tg(x/2) 1-tgІ(x/2) tg
x= ctg
x= 1-tgІ(x/2) 2tg(x/2)Следует отметить, что применение формул (4) может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку tg(x/2) не определен в точках x=р+2рk, kZ, поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы x=р+2рk, kZ корнями исходного уравнения.
Практикумsinx +v2-sinІx + sinxv2-sinІx = 3Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.Пусть u = sin
x и v = +v2-sinІ
x . Так как -1?u?1 и v?1, то u+v?0. Кроме того, имеем uІ + vІ =2.В таком случае из уравнения получаем систему уравненийu + v + uv = 3uІ + vІ =2Пусть теперь r = u+v и s=uv, тогда из системы уравнений следуетr + s = 3rІ - 2s = 2Отсюда с учетом того, что r?0, получаем r = 2 и s = 1. Следовательно, имеет местоu + v = 2uv = 1u = v = 1Поскольку, u = sin
x и u = 1, то sin
x = 1 и x = р/2+2рk, k
ZОтвет: x = р/2+2рk, kZ
cos=x2+1Данное уравнение рационально решать функциональным методом.cos?1 x2+1?1 =>cos=1 x2+1=1 x=0Ответ: х=0
5sinx-5tgx +4(1-cosx)=0 sinx+tgxДанное уравнении рационально решать методом фунциональной подстановки.Так как tg
x не определен при x = р/2+рk, k
Z, а sin
x+tg
x=0 при x = рk, k
Z, то углы x = рk/2, k
Z не входят в ОДЗ уравнения.Используем формулы тангенса половинного угла и обозначим t=tg(
x/2), при этом по условию задачи t?0;±1, тогда получим 2t 2t5 - 1+tІ 1-tІ 1-tІ +4 1- =0 2t 2t 1+tІ + 1+tІ 1-tІТак как t?0;±1, то данное уравнение равносильно уравнению 8tІ-5tІ + = 0 -5-5tІ + 8 = 0 1+tІоткуда t = ±v3/5,. Следовательно, x = ±2arctgv3/5 +2рk, k
ZОтвет: x = ±2arctgv3/5 +2рk, k
Ztgx+ctgx+tgІx+ctgІx+tgіx+ctgіx=6Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.Пусть y=tg
x+ctg
x, тогда tgІ
x+ctgІ
x=yІ-2, tgі
x+ctgі
x=yі-3yyі+yІ-2y-8=0y=2Так как tg
x+ctg
x=2, то tg
x+1/ tg
x=2. Отсюда следует, что tg
x=1 и x = р/4+рk, k
ZОтвет: x = р/2+2рk, k
Z2cos рx=2x-1Данное уравнение рационально решать графическим методом.
Точка пересечения графиков имеет координаты (0,5; 0). Следовательно,
х=0,5Ответ: х=0,5
3+(х-р)2=1-2cosxДанное уравнение рационально решать функциональным методом.(х-р)2+2=-2cosx(х-р)2+2?2 -2cosx?2 => x=р, при k=0
Ответ: x=р
10|sinx|=10|cosx|-1Данное уравнение рационально решать графоаналитическим методом.Т.к. 10>1, то данное уравнение равносильно следующему: |sinx|=|cosx|-1Точки пересечения графиков имеют координаты ();. Следовательно, х=.
Ответ: х=