Некоторые понятия высшей матаматики
Высшая математика
Слушатель - Никифоров Михаил Николаевич
Курс 1. АПМ-03. Семестр осенний. 2003 год.
Матрица - совокупность чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы.
Минором для элемента аig называется определитель матрицы, полученный из исходной, вычеркиванием i-ой строки и g-ого столбца.
Матрицы с нулевым определителем называются вырожденными или особенными. Особенная матрица обратной не имеет. . .
Bpq согласовано с Amn, если число строк В равно числу столбцов А, т.е. p=n. Одно согласование.
1) Если один столбец или одна строка все нули, то | |=0.
2) Если в матрице имеется 2 равных столбца или 2 равных строки, то | |=0.
3) Треугольная матрица. Все элементы выше или ниже главной диагонали =0. Тогда определитель матрицы равен произведению диагональных элементов.
4) При перемене местами 2 строк или 2 столбцов определитель меняет знак.
5) Определитель матрицы, содержащей 2 пропорциональные строки или столбца равен нулю.
6) Определитель матрицы равен сумме произведений некоторой строки на соответствующие алгебраические дополнения.
Системы уравнений с матрицами
Система 1 совместная, если имеет хотя бы одно решение.
Система 1 определенная, если есть только 1 решение и неопределенная, если более 1 решения.
Ранг матрицы.
Ранг нулевой матрицы равен 0.
Ранг единичной матрицыnm равен n.
Ранг трипсидальной матрицы равен числу ненулевых строк.
При элементарных преобразованиях матрицы ранг её остается неизменным.
При добавлении к матрице строки или столбца ранг её может только увеличиться или остаться неизменным.
Лекция 5.
.
Замечание: 1) Нет решения
2) . n-число неизвестных
а) r=n - одно решение
б) r<n - бесконечное множество решений, зависящих от S=n-r параметров.
Векторная алгебра
Проекция вектора на ось:
Проекцией точки на прямую называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проекция АВ на х это число |A'B'| взятое со знаком +, если угол острый и со знаком - если угол тупой.
,
.
Скалярное произведение векторов
.
Признак перпендикулярности .
Векторное произведение векторов
; ;
Объем пирамиды ;
Смешанное произведение векторов
Если - углы, которые составляет вектор а с координатными осями, то , откуда следует
Условие коллинеарности
ab=0 - перпендикулярность
- коллинеарность
abc=0 - компланарность
Аналитическая геометрияПлоскость в пространствеНормаль и точка привязки однозначно определяют положение плоскости в пространстве. - каноническое уравнение (1)
Общее уравнение плоскости, где , где А, В, С - координаты нормали, D - свободный член, x,y,z - текущий координаты.Уравнение плоскости, проходящий через точку перпендикулярно вектору N=(A;B;C), имеет вид Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки записывают в видеУравнение плоскости в отрезках Нормальное уравнение плоскости , где p - расстояние от начала координат.Нормирующий множитель Расстояние от точки до плоскостиУгол между плоскостями Условия параллельности и перпендикулярности ; Уравнение пучка плоскостей:
Прямые линии в пространстве.-уравнение прямой - параметрическое уравнение прямой. - каноническое уравнение прямой.Уравнения прямой, проходящей через 2 заданные точки Угол между 2 прямыми
Взаимное расположение 2 прямых.1. (могут лежать и на одной прямой)2. (могут скрещиваться)3. . Если (3) , то скрещиваются.
Взаимное расположение прямой и плоскости1. 2. 3. Угол между прямой и плоскостью 4.
Аналитическая геометрия на плоскости.
Прямоугольная декартова система координат на плоскостиРасстояние между 2 точками .Если заданы точки А и В и точка С делит отрезок АВ в отношении , т.е. , то .
Уравнение прямой на плоскостиAx+By+C=0;Уравнение прямой в отрезках .Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки . Уравнение прямой, проходящей через точку, под заданным углом к оси Ох (): Расстояние от точки до прямой 1. 2. 3.
ОкружностьУравнение окружности с центром в M(a;b) радиусом R Уравнение окружности с центром в начале координат
ЭллипсЭллипс - геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек плоскости (фокусов эллипса) есть величина постоянная, , чем расстояние между фокусами.Обозначим M(x;y) - произвольная точка эллипса, 2с - расстояние между фокусами F1 и F2; 2а - сумма расстояний от точки М до F1 и F2 (a - большая полуось эллипса). - малая полуось эллипса. .Тогда каноническое уравнение эллипса имеет вид . Число называется эксцентриситетом эллипса и характеризует сплюснутость эллипса относительно осей . Если , то получается окружность. a=b.
ГиперболаГипербола - геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух заданных точек (фокусов) есть постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами.Если M (x;y) - точка гиперболы; F1, F2 - фокусы, 2с - расстояние между фокусами, 2а - разность расстояний от точки М (х;y) до фокусов , где а - действительная полуось гиперболы. - мнимая полуось гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы .Гипербола пересекает ось Ох в точках и , с осью Оу пересечений нет.Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых . Эксцентриситет гиперболы .
ПараболаПарабола - геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки F - фокуса и заданной прямой - директрисы параболы. Если ось абсцисс совпадает с перпендикуляром, опущенным из фокуса на директрису, а начало координат делит этот перпендикуляр пополам,
то каноническое уравнение имеет вид . Эксцентриситет параболы - отношение расстояния от точки параболы до директрисы к расстоянию от этой точки до фокуса.
Общее уравнение второго порядка - общее уравнение кривой второго порядка
Параллельный перенос: .
Поворот осей: - инварианты. - дискриминантЕсли >0, то уравнение эллиптического вида Если <0, то уравнение гиперболического типаЕсли =0, то уравнение параболического типаВыбираем угол так, чтобы B'=0, тогда (1) (B=0) 1. . Осуществляем параллельный перенос для уничтожения членов .(**) ** подставляем в (1)+ (2) (3)
а) >0 - эллиптический видA`C`>0 (одного знака)Если F``>0, то пустое множествоЕсли F``=0, то одна точка (x``=0, y``=0)Если F``<0, то получим эллипс в виде , где
б) <0 (гиперболический вид) A'C'<0 (разные знаки). Пусть A'>0A`=, , , тогда . Если F0=0, то , получаем пару пересекающихся прямых.Если F0>0, то (гипербола)Если F0<0, то (гипербола, где оси поменялись местами)
в) (параболический тип) A`C`=0 (5)а) D`=E`=0, пусть б) ** в (5), где 2р=, если p>0, то парабола .
Теория пределовЧисло а
называется пределом последовательности xn для любого () сколь угодно малого положительного числа найдется номер, зависящий от , начиная с которого все члены последовательности отличаются от а меньше, чем на .
Предел последовательностиПод числовой последовательностью понимают функцию , заданную на множестве натуральных чисел т.е. функцию натурального аргумента.Число a называется
пределом последовательности xn (x=1,2,…): =а, если для любого сколь угодно малого >0, существует такое число N=N(), что для всех натуральных n>N выполняется неравенство .1) , - натуральное число. Если xn=a, то (a, a, a, a) - стационарная последовательность.2) , где a, d - const, тогда (a, a+d, a+2d,…a+(n-1)d)
xn+1=xn+d - рекуррентная формула.3)
Числа Фибоначчи. (1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…), где x1, x2 =1 и . (*); - эпсилон - окрестность числа а.1. . 2.
Основные теоремы пределах1. О единственном пределе. Последовательность имеет не более 1 предела.2. Предельный переход в неравенстве. 3. О трех последовательностях. О сжатой последовательности.