Методы оптимизации при решении уравнений
Контрольная работа
«Методы оптимизации при решении уравнений»
Задание №1
Определить, существует ли кривая , доставляющая функционалу экстремум и, если существует, то найти ее уравнение.
Решение: Составим уравнение Эйлера и найдём его общее решение:
Используем краевые условия:
Решаем систему уравнений и получаем:
Таким образом, экстремаль имеет уравнение вида
Так как то функционал на прямой достигает минимума.
Задание №2Найти, используя уравнение Эйлера-Лагранжа, оптимальное управление , минимизирующее функционал для системы, описываемой уравнениями,при начальных и конечных условиях соответственно:
|
A | B | t0 | tf | x0 | xf | a | b | |
0 1 0 0 | 0 1 | 0 | 1 | 1 0 | 0 0 | 0 | 1 | |
|
РешениеФормируем задачу по исходным данным: (1) (2)Составим функцию Лагранжа и гамильтониан:и соответственно уравнения Эйлера-Лагранжа (здесь для Н): (3) (4)Используя замену (3), подставим выражения (4) во второе уравнение динамики в (1): и находим общее решение (5)Подставим его в первое уравнение (1):и находим общее решение: (6)Для из (6) и из (5) используем начальные и конечные условия и получаем систему уравнений для констант С1, С2, С3, С4,: Таким образом, решение имеет вид:которое удовлетворяет начальным и конечным условиям.
Задание №3Для системы, описываемой уравнениями с заданными условиями на начальное и конечное значение координат, найти оптимальное управление , минимизирующее функционал
|
A | B | t0 | tf | x0 | xf | g0 | a | b | |
0 1 0 0 | 0 1 | 0 | t | 1 0 | x1(tf) = -tf2 | 0 | 0 | 1 | |
|
Решение. Формулируем задачу по исходным данным (1) (2)т.е. , подвижна на правом конце, координата - свободна на правом конце, Составим функцию Гамильтона Н (или функцию Лагранжа L) (3)и соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа: (4) (5) (6)Составим вспомогательную функцию, где . Таким образом: . (7)Поскольку и подвижны, то используем условия трансверсальности:
(8)
(9)
Так как не фиксирован момент времени , то используем условие трансверсальности
Найдем значение при из (3), но учтем, что , а из (9). Тогда, учитывая (4):
и используя (10) получим:
(11)
Подставляя (4), (5) и (6) в (2), а потом в (1) и интегрируя получим:
(12),
(13)
Используя начальные условия, можем записать:
Запишем условие с учетом (13). Тогда:
(14)
Уравнения (9), (11) и (14) составляют систему уравнений с тремя неизвестными С1, С2 и :
Подставляя 1-е уравнение во 2-е, получим:
,
а подставляя 1-е в третье, получим:
Таким образом, решение имеет вид:
Задание №4
Используя метод динамического программирования найти оптимальное уравнение для системы
|
A | B | t0 | tf | F | a | b | |
0 1 0 0 | 0 1 | 0 | ? | 0 | 1 0 0 2 | 1 | |
|
Решение:
Формируем задачу по исходным данным.
(1)
- не ограничено, то есть .
Составим уравнение Беллмана с учетом того, что (S-функция Беллмана)
(2)
(3)
(4)
Из (3) находим:
(5)
Подставим (5) в (4)
(6)
Представим функцию Беллмана в виде квадратичной формы
(7)
причем это должна быть положительно определенная квадратичная форма, а значит
(8)
т.е. матрица должна быть положительно определённой.
Вычисляя выражения:
(9)
подставим их в (6) и обратим коэффициенты при , и в ноль, т.к. справа у нас ноль:
Отсюда:
(10)
(11)
(12)
Если , то S < 0, что нельзя допустить. Тогда:
а следовательно а12 и а22 должны быть одного знака, так как а11 > 0.
Тогда а12 = 1/2, а22 = 1, а11 = 1. Таким образом, решение имеет вид (из (5) и (9)):
Задача 5
Используя принцип максимума Понтрягина найти оптимальное управление для линейной системы
в задаче:
|
А | В | t0 | tf | х0 | xf | |u| | |
0 1 0 0 0 1 0 0 0 | 0 0 1 | 0 | 1 | 0 0 0 | x1max 0 0 | 1 | |
|
Решение:
Формируем задачу по исходным данным:
(4)
Составим функцию Гамильтона
Уравнения Эйлера-Лагранжа имеет вид:
(5)
(6)
(7)
Поскольку - подвижна, то используем условие трансверсальности:
Но из (5) видно, что 1 = С1 С1 = 1. Тогда из (7) видно, что 3 = t2/2-C2t+C3, - то есть это квадратичная парабола ветвями вверх, которая может дважды пересечь уровень 3 = 0 и возможных порядок следования интервалов знакопостоянства следующий: +, -, +.
Из принципа максимума следует:
,
а следовательно:
Тогда, поскольку 3 меняет знак дважды, (пусть в моменты t1 и t2) можем записать
(8)
Подставим в (3) и получим, проинтегрировав уравнение (3)
(9)
Используя начальные и конечные условия для х3 и условия непрерывности в t1 и t2 получим:
(10)
Подставим (9) и константы из (10) в (2) и проинтегрируем. Получим:
(11)
Используя начальные и конечные условия для х2 и условия непрерывности в t1 и t2, получим:
Используем непрерывность при и :
Собрав уравнения (10) и полученное уравнение составим систему уравнений:
(12-14)
Подставив (12) в (13), получим уравнение.Подставим (13) в полученное уравнение (вместо ):Тогда t1 из (12) равно и, наконец, Подставим (11), с учетом найденных констант в (1): (15)Исходя из начального условия и условия непрерывности получим:Таким образом: моменты переключения: t1=1/4, t2=3/4, а заданы уравнениями(15), (11), (9) и (8) с известными константами.
Задание №6Установить управляемость и наблюдаемость линейной системы:где .
Решение:Для оценки управляемости составим матрицу управляемости (учтем, что n=3); Y = (B, AB, A2B): Таким образом
Взяв минор из 1,2 и 3 столбцов можно видеть, что
.
Следовательно, rang(Y)=3=n и система вполне управляема.
Для оценки наблюдаемости системы составим матрицу наблюдаемости (n=3):
H=(CT, ATCT, (AT)2 CT);
.
Таким образом
Взяв минор из 1, 2 и 3 столбцов можно видеть, что
Таким образом rang(H) = 3 = n, а следовательно система вполне наблюдаема.
Задание №7
Для линейной системы и квадратичного критерия
выполнить синтез оптимального управления с обратной связью
Решение: Требуется выполнить синтез стационарного регулятора. Для этого воспользоваться алгебраическим матричным уравнением Риккати:
где
,
причем матрица >0 (положительно определена).
Сравнивая коэффициенты матрицы слева и справа, стоящих на одинаковых местах получим систему уравнений:
Решая систему уравнений с учетом положительной определенности матрицы , получим:
Тогда для уравнения, которое имеет вид
получим: