Методика регрессионного анализа
Министерство науки и образования Украины
Национальный технический университет Украины
"Киевский политехнический институт"
Радиотехнический факультет
Контрольная работа
По курсу: "Основы научных исследований"
Тема: "Методика регрессионного анализа"
Киев 2007
Нахождение коэффициентов регрессии модели полнофакторного эксперимента типа 23Факторный эксперимент связан с варьированием одновременно всех факторов и проверкой достоверности результатов математико-статистическими методами. Факторы в эксперименте можно варьировать на бесконечном множестве уровней. При планировании эксперимента, чтобы получить результаты эксперимента в виде удобных для анализа полиномов, достаточно изменять факторы на двух, трех или пяти уровнях. Проведение экспериментов с многоуровневыми факторами затруднительно, поэтому они находят ограниченное применение в практике инженерного эксперимента.Таблица 1
|
Номер комбинации | Факторы | Произведения факторов | Параметры оптимизации (экспертная оценка) | Параметр оптимизации | |
| _ | Ф | И | С | | | | |
| x0 | x1 | x2 | x3 | x1x2 | x1x3 | x2x3 | x1x2x3 | y1 | y2 | y3 | | |
1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
2 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 31 | 28 | 47 | 35,3 | |
3 | 1 | -1 | 1 | -1 | -1 | 1 | -1 | 1 | 12 | 9 | 10 | 10,3 | |
4 | 1 | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 60 | 52 | 64 | 58,7 | |
5 | 1 | -1 | -1 | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 3 | 2 | 2 | |
6 | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | -1 | 54 | 59 | 50 | 54,3 | |
7 | 1 | -1 | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 | -1 | 41 | 41 | 40 | 40,7 | |
8 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 91 | 92 | 90 | 91 | |
| Среднее значение | | | | 24,8 | |
|
Модель для ПФЭ типа выглядит следующим образом:Коэффициенты уравнения регрессии по методу наименьших квадратов в матричной форме определяем следующим образом [1, с. 53-55]:Выражение - квадратная симметричная матрица - называется матрицей системы нормальных уравнений, или информационной матрицей (матрицей Фишера); - ковариационная матрица, или матрица дисперсий ковариаций.Ковариация показывает величину статистической взаимосвязи между эффектами модели
xi и
xj:Также коэффициенты ковариаций можно определить из ковариационной матрицы:Из матрицы видно, что коэффициенты ковариаций каждого эффекта с каждым равны нулю, отсюда делаем вывод, что коэффициенты уравнения регрессии не коррелированны между собой.
Проверка многофакторных статистических моделей по основными критериям качестваПроверка на статистическую значимость получаемой математической модели [1, с. 93-94]Проводиться проверка статистической гипотезы о силе влияния факторов плана эксперимента на фоне случайной изменчивости повторных опытов:Где - среднее значения результатов опытов в
u-той строке матрицы результатов; - среднее значение по всем результатам опытов; - результат в
u-той строке
l-го повторного опыта; (n - количество повторных опытов (2))По таблице (приложение 3) определяем 3,73Поскольку (53,935>3,73), то делаем положительный вывод о целесообразности получения математической модели.
Проверки предпосылок о свойствах случайных ошибок входящие в результаты экспериментов [1, с. 93]При равномерном дублировании опытов nu = n = const (в нашем случае n = 2). Проверка однородности ряда дисперсий производиться с использованием
G-критерия Кохрена: - вычисляется по формуле:Число степеней свободы, которыми обладает каждая из дисперсий: n - 1 = 1;Количество независимых оценок дисперсий: N = 8По указанным индексам находим значение из таблицы "Критерий Кохрена" (приложение 1)Так как то делаем вывод, что дисперсии однородны и могут быть усреднены:
Проверка на адекватность полученной модели произвольным результатам экспериментов в пределах принятых изменений факторов [1, с. 94-95]Проверка коэффициентов уравнения регрессии на статистическую значимость проводиться с помощью
t-критерия:Для значения б = 0,05, получим б/2 = 0,025 и значение t-критерия Стьюдента равно . Поскольку в матрице дисперсий-ковариаций не нулевые только диагональные элементы и равны между собой (), то все доверительные интервалы равны между собой:Теперь проверим все коэффициенты на статистическую значимость исходя из условия: если - то коэффициент статистически значим, если - то коэффициент статистически не значим.
|
коэффициент | b0 | b1 | b2 | b3 | b4 | b5 | b6 | b7 | |
| 36,542 | 23,292 | 13,625 | 10,458 | 1,375 | 2,375 | 5,208 | 1,875 | |
Статистически значим | + | + | + | + | - | + | + | - | |
|
Таким образом мы получили, что коэффициенты
b4 и
b7 - статически не значимы, поэтому мы не будем вносить их в нашу модель. И окончательный вид модели будет таким:Число = 6 - количество эффектов, которые вошли в структуру модели, то есть статистически значимые.Значения откликов, полученных с помощью последней модели:
|
Отклик | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 | y6 | y7 | y8 | |
| -3.25 | 38.584 | 13.584 | 55.418 | 2.5 | 53.834 | 40.166 | 91.5 | |
| 3.25 | 3.251 | 3.251 | 3.249 | 0.5 | 0.499 | 0.501 | 0.5 | |
|
Проверка модели на адекватность производиться с использованием
F-критерия Фишера:Где - числа степеней свободы для и :Просчитаем экспериментальное значение:По таблицам значения критерия Фишера (приложения 3) для q = 0,05 находим:Так как выполняется условие значит модель адекватна.Так как у нас , то нет необходимости определять значимость обратного отношения дисперсий.
Проверка на информативность [1, с. 97-99]Коэффициент множественной корреляции
R определяется по формуле:Посчитанное значение R = 0,997 которое очень близко к единице.Гипотезу о значимости множественного коэффициента корреляции проверяют по
F-критерию:Где - суммы квадратов отклонений - связанная с коэффициентом модели и остаточная; - числа степеней свободы для и .В нашем случае:По таблицам значения критерия Фишера для q = 0,05 находим:Поскольку , то гипотеза о статистической незначимости
R не принимается - это значит, что коэффициент множественной корреляции
R является статистически значимым.
Проверка на устойчивость коэффициентов математической модели к случайным составляющим в исходной информации [1, с. 99-101]Коэффициенты математической модели должны быть устойчивы к малым случайным изменениям в исходных данных, полученных в процессе эксперимента. Для количественно показателя устойчивости коэффициентов математической модели будем использовать меру обусловленности матрицы по Нейману-Голдстейну.Для определения меры обусловленности по Нейману-Голдстейну
P необходимо найти собственные числа для матрицы Фишера , решая уравнение:Где - собственные числа для информационной матрицы Фишера Поскольку коэффициенты
b4 и
b7 статистически незначимы, тога соответствующие столбцы матрицы
X отбрасываются и размер матрицы становится , размер обратной матрицы - , а размер матрицы Фишера - :Так как все эффекты в матрице Фишера ортогональны друг другу и нормированы, то:Находят - максимальное и минимальное собственное число для информационной матрицы Фишера :Мера обусловленности по Нейману-Голдстейну:Другая мера обусловленности матрицы обозначается латинским сокращением
cond: - обозначение нормы матрицы. При этом предполагается, что матрица невырождена.Известны несколько видов норм для матрицы
А. Каждой из векторных норм соответствует своя подчиненная норма матрицы. Будем использовать следующую форму:что означает выбор по всем столбцам
j максимальной суммы абсолютных значений элементов по строкам
i (
m - число строк матрицы
А).Так как все эффекты в расширенной матрице
X ортогональны друг другу, то:Для матрицы каждая по столбцам . Для матрицы каждая по столбцам .Число обусловленности в этом случае будет:Что подтверждает результат, полученный предыдущим методом.
Проверка фактической эффективности извлечения полезной информации из исходных данных [1, с. 101-102]Косвенным показателем эффективности может быть число обусловленности
cond для полученной модели. Так как значит эффективность можно считать хорошей.
Проверка правильности описания полученной математической модели по всей области моделирования [1, с. 102]Полученную математическую модель желательно проверить по контрольной выборке. С использованием ПС ПРИАМ можно построить трехмерное изображение поверхности отклика, и проанализировать полученную поверхность, сравнивая минимальные и максимальные расчетные значения с допустимыми физическими значениями отклика. Возможен также поиск минимума и максимума по модели с использованием ЛПф равномерно распределенных последовательностей и сравнения с физически возможными значениями отклика.
Оценка семантичности по полученным коэффициентам математической модели [1, с. 102-103]Семантичность достигается, если эффекты статистической модели ортогональны друг другу, нормированы и план эксперимента равномерный. Выбор структуры модели должен быть проведен с использованием алгоритма RASTA3 и ПС ПРИАМ.В нашем случае все эффекты полученной модели ортогональны друг другу и нормированы, план эксперимента мы выбрали равномерный, следовательно семантичность достигается.
Проверка свойств остатков [1, с. 103, 364-366]Анализ основных графиков остатков
Общая оценка свойств полученной математической модели и возможностей ее использования для достижения поставленной цениИз вышеприведенных расчетов и проверок можно сделать вывод, что данная математическая модель является адекватной для ее использования в поставленных задачах.
Литература1. Рядченко С.Г. Устойчивые методы оценивания статистических моделей. Монография. - К.: ПП "Санспарель", 2005. - 504 с.
2. Большов Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики
Приложения1. Значение критерия Кохрена G1-q для q = 0,05. Все значения G1-q меньше единицы, поэтому в таблице приведены лишь знаки, следующие после запятой.
2. Значения критерия Стьюдента (t - критерия)
3. Значения критерия Фишера F1-q для q = 0,05