рефератырефератырефератырефератырефератырефератырефератырефераты

рефераты, скачать реферат, современные рефераты, реферат на тему, рефераты бесплатно, банк рефератов, реферат культура, виды рефератов, бесплатные рефераты, экономический реферат

"САМЫЙ БОЛЬШОЙ БАНК РЕФЕРАТОВ"

Портал Рефератов

рефераты
рефераты
рефераты

Краткое доказательство великой теоремы Ферма

8

Файл FERMA-KDVar © Н. М. Козий, 2008

Свидетельство Украины № 27312

о регистрации авторского права

КРАТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

Аn+ Вn = Сn* /1/

где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах A, B, С.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Из формулировки Великой теоремы Ферма следует: если n - целое положительное число, большее двух, то при условии, что два из трех чисел А, В или С - целые положительные числа, одно из этих чисел не является целым положительным числом.

Доказательство строим, исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой о единственности факторизации» или «теоремой о единственности разложения на простые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показатели степени n. Рассмотрим оба случая.

1. Случай первый: показатель степени n - нечетное число.

В этом случае выражение /1/ преобразуется по известным формулам следующим образом:

Аn + Вn = Сn = (A+B)[An-1-An-2·B +An-3·B2- …-A·Bn-2+Bn-1] /2/

Полагаем, что A и B - целые положительные числа.

Числа А, В и С должны быть взаимно простыми числами.

Из уравнения /2/ следует, что при заданных значениях чисел A и B множитель (A+B) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n, следовательно, он является делителем числа С.

Допустим, что число С - целое положительное число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должно выполняться условие:

Сn = An + Bn =(A+B)n• Dn , /3/

где множитель Dn должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.

Из уравнения /3/ следует:

/4/

Из уравнения /3/ также следует, что число [Cn = An + Bn] при условии, что число С - целое число, должно делиться на число (A+B)n . Однако известно, что:

An + Bn < (A+B)n /5/

Следовательно:

- дробное число, меньшее единицы. /6/

- дробное число.

Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

При нечетных показателях степени n >2 число:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Из анализа уравнения /2/ следует, что при нечетном показателе степени n число:

Сn = Аn + Вn = (A+B)[An-1-An-2·B +An-3·B2- …-A·Bn-2+Bn-1]

состоит из двух определенных алгебраических множителей, при этом при любом значении показателя степени n неизменным остается алгебраический множитель (A+B).

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетном показателе степени n >2.

2. Случай второй: показатель степени n - четное число.

Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ перепишем следующим образом:

An = Cn - Bn /7/

В этом случае уравнение /7/ преобразуется следующим образом:

An = Cn - Bn = (С+B)•(Cn-1 + Cn-2 · B + Cn-3B2 +…+ C Bn-2 + Bn-1 ). /8/

Принимаем, что С и В - целые числа.

Из уравнения /8/ следует, что при заданных значениях чисел B и C множитель (С+B) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n, следовательно, он является делителем числа A.

Допустим, что число А - целое число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должно выполняться условие:

Аn = Сn - Bn =(С+B)nDn , /9/

где множитель Dn должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.

Из уравнения /9/ следует:

/10/

Из уравнения /9/ также следует, что число [Аn = Сn - Bn] при условии, что число А - целое число, должно делиться на число +B)n . Однако известно, что:

Сn - Bn < +B)n /11/

Следовательно:

- дробное число, меньшее единицы. /12/

- дробное число.

Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

При четных показателях степени n >2 число:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах и при четном показателе степени n >2.

Из изложенного следует общий вывод: уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах А, В и С при условии, что показатель степени n >2.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОБОСНОВАНИЯ

В том случае когда показатель степени n - четное число, алгебраическое выражение (Cn - Bn) раскладывается на алгебраические множители:

C2 - B2 = (C-B) • (C+B); /13/

C4 - B4 = (C-B) • (C+B) (C2 + B2); /14/

C6 - B6 = (C-B) • (C+B) · (C2 -CB + B2) • (C2 +CB+ B2); /15/

C8 - B8 = (C-B) • (C+B) • (C2 + B2) • (C4 + B4). /16/

Приведем примеры в числах.

ПРИМЕР 1: В=11; С=35.

C2 - B2 = (22 • 3) • (2 · 23) = 24 · 3 · 23;

C4 - B4 = (22 • 3) • (2 · 23) · (2 · 673) = 24 · 3 · 23 · 673;

C6 - B6 = (22 • 3) • (2 · 23) · (312) ·(3 · 577) =2 • 3 • 23 • 312 • 577;

C8 - B8 = (22 • 3) • (2 · 23) · (2 · 673) • (2 · 75633) = 25 • 3 • 23 •673 • 75633.

ПРИМЕР 2: В=16; С=25.

C2 - B2 = (32) • (41) = 32 • 41;

C4 - B4 = (32) • (41) · (881) =32 • 41 · 881;

C6 - B6 = (32) • (41) • (22 • 3) • (13 · 37) · (3 • 7 · 61) = 33 · 7 • 13· 37 • 41 • 61;

C8 - B8 = (32) • (41) • (881) • (17 ·26833) = 32 • 41 • 881 • 17 ·26833.

Из анализа уравнений /13/, /14/, /15/ и /16/ и соответствующих им числовых примеров следует:

- при заданном показателе степени n, если он четное число, число Аn = Сn - Bn раскладывается на вполне определенное количество вполне определенных алгебраических множителей;

- при любом показателе степени n, если он четное число, в алгебраическом выражении (Cn - Bn) всегда имеются множители (C-B) и (C+B);

- каждому алгебраическому множителю соответствует вполне определенный числовой множитель;

- при заданных значениях чисел В и С числовые множители могут быть простыми числами или составными числовыми множителями;

- каждый составной числовой множитель является произведением простых чисел, которые частично или полностью отсутствуют в составе других составных числовых множителей;

- величина простых чисел в составе составных числовых множителей увеличивается с увеличением этих множителей;

- в состав наибольшего составного числового множителя, соответствующего наибольшему алгебраическому множителю, входит наибольшее простое число в степени, меньшей показателя степени n (чаще всего в первой степени).

ВЫВОДЫ: дополнительные обоснования подтверждают заключение о том, что великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

Автор: Николай Михайлович Козий,

инженер-механик

E-mail: nik_krm@mail.ru

рефераты
РЕФЕРАТЫ © 2010