Кольца и полукольца частных
3
Содержание
- Введение
- Глава 1.Построение классического полукольца частных
- Глава 2.Построение полного полукольца частных
- Глава 3.Связь между полным и классическим полукольцами частных
- Библиографический список
Введение
В настоящее время теория полуколец активно развивается и находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики.В работе построены полное и классическое полукольца частных, а так же рассмотрена их связь.Прежде чем начать рассмотрение этих структур, определим коммутативное полукольцо частных следующим образом.Непустое множество с определёнными на нём бинарными операциями и называется коммутативным полукольцом, если выполняется следующие аксиомы:A1. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом , т.е.1) ;2) 3) А2. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1, т.е.1) ;2) 3) А3. умножение дистрибутивно относительно сложения: , .А4. .Таким образом, можно сказать, что полукольцо отличается от кольца тем, что аддитивная операция в нём необратима.
Глава 1.
Для построения классического полукольца частных можно воспользоваться следующим методом:Рассмотрим пары неотрицательных целых чисел .Будем считать пары и эквивалентными, если , получим разбиение множества пар на классы эквивалентности.Затем введём операции на классах, превращающие множество классов эквивалентных пар в полуполе, которое содержит полукольцо неотрицательных чисел.
Определение1. Элемент назовём мультипликативно сокращаемым, если для из равенства следует, что .Обозначим через множество всех мультипликативно сокращаемых элементов.
Утверждение1.Мультипликативно сокращаемый элемент является неделителем нуля.Пусть - делитель нуля, т.е. для некоторого . Тогда , но не является мультипликативно сокращаемым. ^Пусть - коммутативное полукольцо с возможностью сокращения на элементы из . Рассмотрим множество упорядоченных пар . Введём отношение на
: для всех и .
Предложение1. Отношение является отношением эквивалентности на .Покажем, что является отношением рефлективности, симметричности и транзитивности.1.Рефлективность: в силу коммутативности полукольца ;2. Симметричность: ;3.Транзитивность: Таким образом, отношение является отношением эквивалентности на .Полукольцо разбивается на классы эквивалентности; в каждом классе находятся те элементы, которые находятся в отношении . Обозначим класс эквивалентности пары . Введём операции на множестве всех классов эквивалентности: т.к. для , , выполнено отсюда т.к. получаем и поскольку то следовательно .Покажем корректность введённых операций:Пусть , , тогда^
Теорема1. - коммутативное полукольцо с 1. .
Доказательство.Чтобы доказать, что множество всех классов эквивалентности является коммутативным полукольцом с 1, нужно показать замкнутость на нём операций:сложение: для и 1. 2.Так как правые части равны, то левые части тоже равны:3. покажем, что для .Так как Класс является нейтральным по +: Из равенства тогда .Для составляет отдельный класс, играющий в роль нуля.умножение: для и 1. 2. Из равенства правых частей следует, что 3. покажем, что для .Пусть Класс является нейтральным по умножению (единицей полукольца), т.к. , поскольку из равенства тогда .4. умножение дистрибутивно относительно сложения:Следовательно, правосторонний дистрибутивный закон выполняется:Аналогично доказывается левосторонний закон дистрибутивности.Таким образом, доказано, что является коммутативным полукольцом с 1.Полукольцо называется классическим полукольцом частных полукольца .^
Глава 2
Для построения полного полукольца частных можно воспользоваться следующим методом. Рассмотрим дробь как частичный эндоморфизм аддитивной полугруппы неотрицательных целых чисел. Его область определения - идеал , и он переводит в , где . Аналогично, дробь определена на идеале и переводит в . Эти две дроби эквивалентны, т.е. они согласованы на пересечении своих областей определений, равном идеалу , поскольку та и другая дробь переводят в . Отношения определяются как классы эквивалентных дробей. Варьируя этот метод, можно выбрать в каждом классе эквивалентности одну «несократимую» дробь. Рассмотренный выше класс содержит несократимую дробь .Данный метод можно применить к произвольному коммутативному полукольцу для построения «полного полукольца частных», где в качестве областей определения допускаются лишь идеалы определённого типа - плотные идеалы.
Определение2. Идеал коммутативного полукольца называется плотным, если для и выполняется равенство тогда и только тогда, когда .Свойства плотных идеалов полукольца :10 - плотный идеал.Доказательство:Пусть для выполнено . Положим , тогда . Таким образом - плотный идеал по определению. ^20 Если - плотный идеал и , то идеал плотный.Доказательство:Если - плотный идеал, то для из равенства следует . Пусть для выполнено . Так как по условию возьмём . Тогда т.к. - плотный идеал получаем отсюда . Таким образом - плотный идеал по определению. ^30 Если и - плотные идеалы, то и - так же плотные идеалы.Доказательство:Положим для выполняется . Пусть , где , . Элемент т.к. , тогда верно равенство отсюда , т.к. - плотный идеал имеем , , и - плотный, . Таким образом - плотный идеал.Пусть , тогда по определению идеала: . С другой стороны значит . Тогда по 20 - плотный идеал. ^40 Если , то 0 не является плотным идеалом.Доказательство.Пусть . Для и выполнено отсюда 0 не является плотным идеалом. ^
Определение3. Дробью назовём элемент , где - некоторый плотный идеал. ( - сокращение от - гомоморфизм, в данном случае: - гомоморфизм )Таким образом, - гомоморфизм аддитивных полугрупп, для которого для и .Введём так же дроби , положив и для .Сложение и умножение дробей определяются следующим образом:пусть и тогда, , .Покажем, что является идеалом, где т.е. сохраняются операции:1. Если , то .Пусть , , тогда .2. Если и , то . По условию .Так как - коммутативное полукольцо, то . . Таким образом, - идеал.Покажем, что идеал является плотным: надо доказать, что плотный идеал - , т.е. .По определению сложения и умножения , т.е. содержит плотный идеал значит, по свойству 20 идеал является плотным.Дроби образуют аддитивную коммутативную полугруппу с нулём и полугруппу с единицей. То есть образуют полукольцо. Доказательство:1. По определению сложения и умножения:, ., 2. Коммутативность:3. Ассоциативность:4. Нейтральный элемент.5. Дистрибутивность:Правосторонняя дистрибутивность аналогично.Таким образом, дроби образуют полукольцо.
Определение4. Будем писать если и согласованы на пересечении своих областей определений, т.е. для .
Лемма 1. тогда и только тогда, когда и согласованы на некотором плотном идеале.
Доказательство.Если то и согласованы на . По свойству 30 идеал является плотным. Следовательно, и согласованы на плотном идеале.Обратно, пусть и согласованы на плотном идеале . Тогда если и , то отсюда в силу плотности идеала , для , но это равенство выполняется тогда, когда пересечением областей определений и является отсюда следует, что .^
Лемма 2. Отношение является конгруэнцией на системе .
Доказательство.Для того чтобы доказать, что - конгруэнция, нужно показать:1. отношение - рефлексивно, симметрично, транзитивно.Рефлективность: и согласованы на плотном идеале .Симметричность: пусть , т.е. и согласованы на .Транзитивность: пусть и , т.е. и согласованы на плотном идеале и согласованы на плотном идеале . Значит и согласованы на идеале , являющемся плотным , и согласована с на , тогда согласована с на плотном идеале по
Лемме 1 Таким образом, - отношение эквивалентности.2. отношение сохраняет полукольцевые операции.Ш Пусть и , т.е. для и для .Тогда и определены и согласованы на плотном идеале отсюда по
Лемме 1 .Ш Пусть и , т.е. для и для .Тогда и определены и согласованы на плотном идеале отсюда по
Лемме 1 .^
Теорема2.Если - коммутативное полукольцо то система так же является коммутативным полукольцом. . (Будем называть полным полукольцом частных полукольца )
Доказательство. - разбивает множество дробей на непересекающихся классов эквивалентности.По
Лемме 2 все тождества выполняющиеся в справедливы и в .Чтобы убедится, что коммутативное полукольцо остаётся проверить справедливость законов дистрибутивности и коммутативности.1. Дистрибутивность.Отображения: и согласованы на идеале покажем, что образы отображений и совпадают на этом идеале:пусть , где .Тогда .Областью определения является . По определению идеала: то для , а идеал (свойство 30) то: . Тогда по определению сложения отсюда следует . Покажем . По определению Аналогично .Тогда:Таким образом, где . По свойству 30 - плотный идеал значит и согласованы на плотном идеале .2. Коммутативность.Отображения и согласованы на плотном идеале докажем что их образы совпадают на этом идеале: .Доказано ранее, что пусть элементы тогда Отсюда следует, что и согласованы на плотном идеале .Таким образом, по
Лемме 1.Наконец сопоставим дробь: с областью определения при которой переходит в .
Предложение2. Отображение является гомоморфизмом т.е. сохраняет операции:
Доказательство:1. Пусть , и где и .Нужно показать, что . Покажем равенство образов и .Рассмотрим дробь , такую что для . (1) С другой стороны рассмотрим дроби и , такие что для . (2)Из (1) и (2) следует, что .По свойству сложения смежных классов: для 2. Пусть , и где и .Нужно показать, что . Покажем равенство образов и .Рассмотрим дробь , такую что для . (3) С другой стороны рассмотрим дроби и , такие что для . (4)Из (3) и (4) следует, что .По свойству умножения смежных классов: для .Таким образом гомоморфизм.Пусть , тогда т.е. и согласованы на некотором плотном идеале значит для , так как - плотный идеал, то отсюда - инъективно.Поэтому, гомоморфизм является мономорфизмом и вкладывается в полное полукольцо частных.Гомоморфизм будем называть каноническим мономорфизмом в .^
Глава 3.
Определение5.Любому мультипликативно сокращаемому элементу сопоставим плотный идеал . Если , то элемент назовём классической дробью, полагая для .
Теорема3. Множество дробей образует подполукольцо полного полукольца частных, изоморфное классическому полукольцу частных полукольца .
Доказательство:Рассмотрим отображение , т.е. .1. Докажем, что - отображение: если и , , где , , то .Имеем Возьмём элемент из пересечения плотных идеалов , т.е. и Тогда , домножим на получим . Так как и на выполняется коммутативность по умножению, то , отсюда для .2. Докажем, что является полукольцевым гомоморфизмом, т.е. сохраняются полукольцевые операции.2.1. Покажем, что дробь согласована с на плотном идеале .Пусть , .для .Следовательно .2.2.Идеал содержит , покажем, что и согласованы на плотном идеале .Пусть , . Тогда для .Значит .Таким образом - полукольцевой гомоморфизм классического полукольца частных в полное полукольцо частных .3. Докажем, что - инъективный гомоморфизм.Пусть для . Предположим, что дроби и согласованы на некотором плотном идеале , т.е. для выполнено . Но , . Тогда . Домножим обе части равенства на получим:т.к. - плотный идеал , что противоречит условию.Значит, является инъективным гомоморфизмом или мономорфизмом в .Так как , то , где - элемент подполукольца полного полукольца частных , т.е. и . Поскольку - инъективный гомоморфизм, то по теореме о гомоморфизме существует изоморфизм отсюда следует .Мономорфизм называется вложением классического полукольца частных в полное полукольцо частных полукольца .^
Библиографический список1. Вечтомов, Е. М. Введение в полукольца [Текст] / Е. М. Вечтомов. - Киров.: ВГПУ, 2000.2. Ламбек, И. Кольца и модули [Текст] / И. Ламбек. - Москва.: Мир, 1971. - 288 с.3. Чермных, В. В. Полукольца [Текст] / В. В. Чермных. - Киров.: ВГПУ, 1997. - 131 с.