Классы конечных групп F, замкнутые о взаимно простых индексов относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП , ЗАМКНУТЫЕ О ВЗАИМНО ПРОСТЫХ ИНДЕКСОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫХ -ПОДГРУПП
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-53 МОКЕЕВА О. А.
Научный руководитель:
доктор ф-м наук, профессор Семенчук В.Н.
Гомель 2009
Оглавление
- ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
- Введение
- 1 Некоторые базисные леммы
- 2 Критерий принадлежности групп, факторизуемых обобщенно субнормальными -подгруппами, индексы которых взаимно просты, наследственно насыщенным формациям
- Заключение
- Список использованных источников
Перечень условных обозначений
Рассматриваются только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].
--- множество всех натуральных чисел;
--- множество всех простых чисел;
--- некоторое множество простых чисел, т. е. ;
--- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;
примарное число --- любое число вида .
Буквами обозначаются простые числа.
Пусть --- группа. Тогда:
--- порядок группы ;
--- множество всех простых делителей порядка группы ;
-группа --- группа , для которой ;
-группа --- группа , для которой ;
--- коммутант группы , т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
--- подгруппа Фиттинга группы , т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
--- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;
--- подгруппа Фраттини группы , т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
--- наибольшая нормальная -подгруппа группы ;
--- -холлова подгруппа группы ;
--- силовская -подгруппа группы ;
--- дополнение к силовской -подгруппе в группе , т. е. -холлова подгруппа группы ;
--- нильпотентная длина группы ;
--- -длина группы ;
--- минимальное число порождающих элементов группы ;
--- цоколь группы , т. е. подгруппа, порожденная всеми минимальными нормальными подгруппами группы ;
--- циклическая группа порядка .
Если и --- подгруппы группы , то :
--- является подгруппой группы ;
--- является собственной подгруппой группы ;
--- является нормальной подгруппой группы ;
--- ядро подгруппы в группе , т. е. пересечение всех подгрупп, сопряженных с в ;
--- нормальное замыкание подгруппы в группе , т. е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с подгруппами группы ;
--- индекс подгруппы в группе ;
;
--- нормализатор подгруппы в группе ;
--- централизатор подгруппы в группе ;
--- взаимный коммутант подгрупп и ;
--- подгруппа, порожденная подгруппами и .
Минимальная нормальная подгруппа группы --- неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы ;
--- является максимальной подгруппой группы .
Если и --- подгруппы группы , то:
--- прямое произведение подгрупп и ;
--- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;
--- и изоморфны;
--- регулярное сплетение подгрупп и .
Подгруппы и группы называются перестановочными, если .
Группу называют:
-замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в ;
-нильпотентной, если -холлова подгруппа группы нормальна в ;
-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;
-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
разрешимой, если существует номер такой, что ;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Монолитическая группа --- неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу.
-замкнутая группа --- группа, обладающая нормальной холловской -подгруппой.
-специальная группа --- группа, обладающая нильпотентной нормальной холловской -подгруппой.
-разложимая группа --- группа, являющаяся одновременно -специальной и -замкнутой.
Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением к подгруппе группы называется такая подгруппа из , что .
Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.
Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
Ряд подгрупп называется:
субнормальным, если для любого ;
нормальным, если для любого ;
главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .
Класс групп --- совокупность групп, содержащая с каждой своей группой и все ей изоморфные группы.
-группа --- группа, принадлежащая классу групп .
Формация --- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Если --- класс групп, то:
--- множество всех простых делителей порядков всех групп из ;
--- множество всех тех простых чисел , для которых ;
--- формация, порожденная классом ;
--- насыщенная формация, порожденная классом ;
--- класс всех групп , представимых в виде
где , ;
;
--- класс всех минимальных не -групп, т. е. групп не принадлежащих , но все собственные подгруппы которых принадлежат ;
--- класс всех -групп из ;
--- класс всех конечных групп;
--- класс всех разрешимых конечных групп;
--- класс всех -групп;
--- класс всех разрешимых -групп;
--- класс всех разрешимых -групп;
--- класс всех нильпотентных групп;
--- класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной .
Если и --- классы групп, то:
.
Если --- класс групп и --- группа, то:
--- пересечение всех нормальных подгрупп из таких, что ;
--- произведение всех нормальных -подгрупп группы .
Если и --- формации, то:
--- произведение формаций;
--- пересечение всех -абнормальных максимальных подгрупп группы .
Если --- насыщенная формация, то:
--- существенная характеристика формации .
-абнормальной называется максимальная подгруппа группы , если
, где
--- некоторая непустая формация.
-гиперцентральной подгруппой в называется разрешимая нормальная подгруппа группы , если обладает субнормальным рядом таким, что
(1) каждый фактор является главным фактором группы ;
(2) если порядок фактора есть степень простого числа , то .
--- -гиперцентр группы , т. е. произведение всех -гиперцентральных подгрупп группы .
Введение
Известно, что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этим можно сформулировать следующую проблему.
Проблема. Классифицировать наследственные насыщенные формации с тем свойством, что любая группа , где и --- -субнормальные -подгруппы взаимно простых индексов, принадлежит .
Именно изучению таких формаций посвящена данная работа. В частности, в классе конечных разрешимых групп получено полное решение данной проблемы.
1 Некоторые базисные леммы
В данном разделе доказаны леммы, которые существенным образом используются при доказательстве основного раздела данной главы.
1.1 Лемма [18-A]. Пусть --- насыщенная формация, принадлежит и имеет нормальную силовскую -подгруппу для некоторого простого числа . Тогда справедливы следующие утверждения:
1) ;
2) , где --- любое дополнение к в .
Доказательство. Так как , то , а значит, . Так как и формация насыщенная, то не содержится в . Так как --- элементарная группа, то по теореме 2.2.16, обладает -допустимым дополнением в . Тогда , . Если , то отлична от и, значит, принадлежит . Но тогда, ввиду равенства , имеем
отсюда следует и . Тем самым доказано, что .
Докажем утверждение 2). Очевидно, что является -корадикалом и единственной минимальной нормальной подгруппой группы , причем . Поэтому, ввиду теоремы 2.2.17,
Очевидно,
. Если , то
отсюда . Значит, . Лемма доказана.
Пусть и --- произвольные классы групп. Следуя [55], обозначим через --- множество всех групп, у которых все -подгруппы принадлежат .
Если --- локальный экран, то через обозначим локальную функцию, обладающую равенством для любого простого числа .
1.2 Лемма [18-A]. Пусть и --- некоторые классы групп. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) --- наследственный класс;
2) ;
3) если , то ;
4) если , то --- класс всех групп;
5) если --- формация, а --- насыщенный гомоморф, то --- формация;
6) если , , --- некоторые классы групп и --- наследственный класс, то в том и только в том случае, когда ;
7) если и --- гомоморфы и , то .
Доказательство. Доказательство утверждений 1), 2), 3) и 4) следует непосредственно из определения класса групп .
Пусть , --- нормальная подгруппа группы и --- -подгруппа из . Пусть --- добавление к в . Покажем, что . Предположим противное. Пусть не входит в . Тогда обладает максимальной подгруппой , не содержащей . Поэтому , а значит, , что противоречит определению добавления.
Так как --- насыщенный гомоморф, то . Но тогда и . Значит, класс замкнут относительно гомоморфных образов.
Пусть . Пусть --- -подгруппа из . Тогда , а значит ввиду определения класса , имеем
Так как --- формация и , то отсюда получаем, что . Таким образом, .
Докажем утверждение 6). Пусть , . Если не входит в , то получается, что каждая -подгруппа из принадлежит , а значит, . Получили противоречие. Поэтому .
Покажем, что . Предположим, что множество непусто, и выберем в нем группу наименьшего порядка. Тогда не входит в . Пусть --- собственная подгруппа из . Так как классы и --- наследственные классы, то . Ввиду минимальности имеем . Значит, . Получили противоречие. Поэтому .
Докажем утверждение 7). Пусть и --- -подгруппа из группы . Отсюда следует, что , . А это значит, что . Отсюда нетрудно заметить, что . Следовательно, . Итак, . Лемма доказана.
1.3 Лемма [18-A]. Пусть --- наследственная насыщенная формация, --- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда и только тогда -корадикал любой минимальной не -группы является силовской подгруппой, когда:
1) ;
2) формация имеет полный локальный экран такой , что для любого из .
Доказательство. Необходимость. Пусть --- максимальный внутренний локальный экран формации . Пусть --- произвольное простое число из . Так как --- насыщенный гомоморф, то по лемме 4.1.2, --- формация.
Пусть --- формация, имеющая локальный экран такой, что для любого из . Покажем , что . Согласно теореме 2.2.13, --- наследственная формация для любого из . Отсюда нетрудно заметить, что для любого из . А это значит, что .
Пусть --- группа минимального порядка из . Так как --- наследственная формация, то очевидно, что --- наследственная формация. А это значит, что и . Покажем, что --- полный локальный экран, т. е. для любого из . Действительно. Пусть --- произвольная группа из . Отсюда . Пусть --- произвольная -группа из . Так как , то . Отсюда . Так как --- полный экран, то . А это значит, что . Следовательно, . Отсюда нетрудно заметить, что . Теперь, согласно теореме 2.2.5, , где --- единственная минимальная нормальная подгруппа группы , --- -группа и . Так как и , то . Отсюда . Противоречие. Итак, . Покажем, что для любого из . Пусть и --- -группа. Пусть --- произвольная -подгруппа из . Тогда . Отсюда . А это значит, что . Противоречие.
Достаточность. Пусть --- произвольная минимальная не -группа. Так как разрешима, то по теореме 2.2.5,
где --- -группа, . Согласно условию, --- -группа. А это значит, что --- -замкнутая группа. Но тогда, --- -замкнутая группа. Согласно лемме 4.1.1, --- силовская подгруппа группы . Лемма доказана.
1.4 Лемма [18-A]. Пусть --- наследственная насыщенная формация, --- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда и только тогда любая минимальная не -группа бипримарна и -замкнута, где , когда:
1) ;
2) формация имеет полный локальный экран такой, что и любая группа из является примарной -группой для любого простого из .
Доказательство. Необходимость. Пусть --- произвольная минимальная не -группа. Согласно условию, --- бипримарная -замкнутая группа, где . По лемме 4.1.1, . Согласно лемме 4.1.3, формация имеет полный локальный экран такой, что и для любого простого из . Покажем, что любая группа из примарна. Предположим противное. Тогда существует группа и . Пусть --- группа наименьшего порядка такая, что . Очевидно, что и . Нетрудно заметить, что и имеет единственную минимальную нормальную подгруппу. Значит, по лемме 2.2.18, существует точный неприводимый -модуль , где --- поле из элементов.
Пусть . Покажем, что . Поскольку и , то .
Пусть --- собственная подгруппа из . Покажем, что . Пусть . Если , то . Следовательно, . Пусть . Тогда --- собственная подгруппа из . А это значит, что и . Так как и --- наследственная формация, то . Но тогда и , а значит и .
Пусть теперь . Так как , то и . Отсюда следует, что . Итак, . Cогласно условию, бипримарна, что невозможно, т. к. .
Достаточность. Пусть --- произвольная минимальная не -группа. Согласно условию, разрешима. По теореме 2.2.5,
где --- -группа, .
Согласно условию, --- примарная -группа. А это значит, что --- бипримарная -замкнутая группа. Но тогда --- бипримарная -замкнутая группа. Лемма доказана.
2 Критерий принадлежности групп, факторизуемых обобщенно субнормальными
-подгруппами, индексы которых взаимно просты, наследственно насыщенным формациям
В данном разделе в классе конечных разрешимых групп получена классификация наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальных -подгрупп, индексы которых взаимно просты.
2.1 Теорема [18-A]. Пусть --- наследственная насыщенная формация, --- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) формация содержит любую группу , где и --- -субнормальные -подгруппы и индексы , взаимно просты;
2) любая минимальная не -группа либо бипримарная -замкнутая группа , либо группа простого порядка;
3) формация имеет полный локальный экран такой, что и любая группа из является примарной -группой для любого простого из .
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть --- произвольная минимальная не -группа. Предположим, что , где --- характеристика формации . Покажем, что --- группа простого порядка. Пусть . Тогда существует простое число , . Так как , то , что невозможно. Итак, --- примарная -группа. Так как , то, очевидно, что .
Пусть теперь . Рассмотрим случай, когда .
Покажем, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу . Предположим противное. Тогда содержит, по крайней мере, две минимальные нормальные подгруппы и . Так как , то в группе найдутся максимальные подгруппы и такие, что , . Так как и принадлежат , , , то , . Так как --- формация, то . Получили противоречие. Итак, , где --- единственная минимальная нормальная -подгруппа группы .
Покажем, что --- примарная -группа, где . Предположим, что существуют простые числа , где . Тогда в найдутся максимальные подгруппы и такие, что --- -число, --- -число. Рассмотрим подгруппы и . Очевидно, что индексы и взаимно просты. Так как и , то . Согласно лемме 3.1.4, подгруппы и -субнормальны в . Так как --- минимальная не -группа, и --- собственные подгруппы группы , то и . Так как , то согласно условию, . Получили противоречие.
Покажем, что --- -группа, где . Предположим, что . Так как , то согласно лемме 3.1.4, --- -субнормальная подгуппа группы . Рассмотрим подгруппу . Так как --- собственная подгруппа и , то . Согласно лемме 3.1.4, --- -субнормальная подгруппа . Очевидно, что --- -субнормальная подгруппа . По лемме 3.1.4, --- -субнормальная подгруппа группы . Так как , то из и условия теоремы следует, что . Получили противоречие. Итак, --- -группа. Тогда --- бипримарная -замкнутая группа, где .
Пусть . Рассмотрим фактор-группу . Так как , то, как показано выше, --- бипримарная -замкнутая группа. Отсюда следует, что --- бипримарная -замкнутая группа.
Из леммы 4.1.4 следует, что утверждение 3) следует из 2).
Покажем, что из 3) следует 1).
Пусть --- группа наименьшего порядка такая, что , где и --- -субнормальные -подгруппы группы взаимно простых индексов, то . Так как --- разрешимая группа и , где , то нетрудно заметить, что , где и --- холловские подгруппы группы , и , , где , --- некоторые элементы группы .
Пусть --- собственная подгруппа группы . Покажем, что . Так как --- разрешимая группа, то согласно теореме Ф. Холла [63], , где , , где , --- некоторые элементы из . Согласно лемме 3.1.4, и --- -субнормальные подгруппы группы . Так как и , а --- наследственная формация, то и --- -субнормальные подгруппы и соответственно. Согласно лемме 3.1.4, нетрудно показать, что и --- -субнормальные подгруппы группы , а значит, согласно лемме 3.1.4 и в . Так как , то по индукции, получаем, что . А это значит, что --- минимальная не -группа.
Если --- группа простого порядка, то ее нельзя представить в виде произведения собственных подгрупп взаимно простых индексов.
Пусть --- бипримарная группа. Тогда согласно лемме 4.1.4, . Согласно лемме 4.1.1, . А это значит, что все подгруппы группы , содержащие -абнормальны, т. е. группа не представима в виде произведения собственных -субнормальных -подгрупп взаимно простых индексов. Получили противоречие. Теорема доказана.
Напомним, что формация называется 2-кратно насыщенной, если она имеет локальный экран такой, что --- насыщенная формация для любого простого числа из .
Следующая теорема доказана в классе конечных разрешимых групп.
2.2 Теорема [18-A]. Пусть --- наследственная 2-кратно насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) формация содержит любую группу , где и --- -субнормальные -подгруппы из взаимно простых индексов;
2) --- формация Шеметкова;
3) формация содержит любую группу , где и --- -субнормальные -подгруппы из ;
4) .
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть --- произвольная минимальная не -группа. Рассмотрим случай, когда . Как и в теореме 4.2.1 можно показать, что либо --- группа простого порядка , где , либо , где и из . А также нетрудно показать, что --- единственная минимальная нормальная подгруппа группы . А это значит, что . Пусть --- максимальный внутренний локальный экран формации . Если , то из полноты экрана следует, что . Так как --- внутренний экран, то . А это значит, что . Противоречие. Итак, .
Покажем, что . Предположим, что это не так. Тогда в найдется неединичная собственная подгруппа . Рассмотрим подгруппу . Так как --- минимальная не -группа и --- собственная подгруппа , то . Покажем, что . Если это не так, то в существует неединичная нормальная -подгруппа . Тогда . Так как , то , что невозможно. Согласно лемме 2.2.12, . Отсюда . Так как , то . А это значит, что . Так как --- насыщенная формация, то . Следовательно, , что невозможно. Итак, , значит, --- группа Шмидта. Итак, --- группа Шмидта. По лемме 3.1.1, --- группа Шмидта.
Тот факт, что из 2) 3) следует из теоремы 2.2.19; 3) 4) следует из теоремы 2.2.10; 4) 1) следует из теоремы 2.2.10. Теорема доказана.
Очевидно, что любая сверхрадикальная формация содержит любую группу , где и -субнормальны в и принадлежат и имеют взаимно простые индексы в .
Следующий пример показывает, что существует несверхрадикальная наследственная насыщенная формация , содержащая любую группу , где и -субнормальны в и принадлежат и имеют взаимно простые индексы в .
2.3 Пример. Пусть --- формация всех сверхразрешимых групп, а --- формация всех -групп, где , и --- различные простые числа. Рассмотрим формацию . Так как существуют минимальные не -группы, которые не являются либо группой Шмидта, либо группой простого порядка, то не является формацией Шеметкова. Так как , то согласно теореме 3.3.9, формация не является сверхрадикальной формацией.
С другой стороны хорошо известно, что любая минимальная несверхразрешимая группа -замкнута, где . Очевидно, что любая минимальная не -группа является либо группой простого порядка, либо бипримарной -замкнутой группой, где . Теперь из теоремы 4.2.1 следует, что содержит любую группу , где , и принадлежат и и --- субнормальны в .
Заключение
В главе 1 доказаны леммы, которые используются для доказательства основных результатов главы 2.
В главе 2 важную роль сыграл метод экстремальных классов, разработанный в работе Картера, Фишера, Хоукса [55] и метод критических групп, разработанный В.Н. Семенчуком в работе [19]. С помощью этих методов в классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных насыщенных формаций , содержащих любую группу , где , и принадлежат и и --- -субнормальны в , теорема 2.1 .
Доказано, что любая разрешимая --- наследственная 2-кратно насыщенная формация, обладающая отмеченным выше свойством, является сверхрадикальной, теорема 2.2 .
Список использованных источников
1. Васильев, А.Ф. О максимальной наследственной подформации локальной формации / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1990. -- Вып. 5. -- С. 39--45.
2. Васильев, А.Ф. О решетках подгрупп конечных групп / А.Ф. Васильев, С.Ф. Каморников, В.Н. Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-т математики Акад. Украины; редкол.: Н.С. Черников [и др.]. -- Киев, 1993. -- С. 27--54.
3. Васильев, А.Ф. О влиянии примарных -субнормальных подгрупп на строение группы / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во обр. и науки Республики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Гомель, 1995. -- Вып. 8. -- С. 31--39.
4. Васильева, Т.И. О конечных группах с -достижимыми силовскими подгруппами / Т.И. Васильева, А.И. Прокопенко. -- Гомель, 2006. -- 18 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 4).
5. Ведерников, В.А. О локальных формациях конечных групп / В.А. Ведерников // Матем. заметки. -- 1989. -- Т. 46, № 3. -- С. 32--37.
6. Казарин, Л.С. Признаки непростоты факторизуемых групп / Л.С. Казарин // Известия АН СССР. -- 1980. -- Т. 44, № 2. -- С. 288--308.
7. Казарин, Л.С. О произведении конечных групп / Л.С. Казарин // ДАН СССР. -- 1983. -- Т. 269, № 3. -- С. 528--531.
8. Каморников, С.Ф. О некоторых свойствах формаций квазинильпотентных групп / С.Ф. Каморников // Матем. заметки. -- 1993. -- Т. 53, № 2. -- С. 71--77.
9. Каморников, С.Ф. О двух проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморников // Сибир. мат. журнал. -- 1994. -- Т. 35, № 4. -- С. 801--812.
10. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО АН СССР. -- Новосибирск, 1992. -- 172 с.
11. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО РАН. -- Новосибирск, 1999. -- 146 с.
12. Легчекова, Е.В. Конечные группы с заданными слабо квазинормальными подгруппами / Е.В. Легчекова, А.Н. Скиба, О.В. Титов // Доклады НАН Беларуси. -- 2007. -- Т. 51, № 1. -- С. 27--33.
13. Монахов, В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным / В.С. Монахов // Конечные группы. -- 1975. -- С. 70--100.
14. Монахов, В.С. О произведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов / В.С. Монахов // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во высш. и ср. спец. обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1985. -- Вып. 1. -- С. 54--57.
15. Мокеева, С.А. Конечные группы с перестановочными -субнормальными (-достижимыми) подгруппами / С.А. Мокеева. -- Гомель, 2003. -- 25 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 56).
16. Прокопенко, А.И. О конечных группах с -достижимыми силовскими подгруппами / А.И. Прокопенко // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 2004. -- № 6 (27). -- С. 101--103.
17. Семенчук, В.Н. О минимальных не -группах / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1978. -- № 7. -- С. 596--599.
18. Семенчук, В.Н. Конечные группы с заданными свойствами подгрупп / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1979. -- № 1. -- С. 11--15.
19. Семенчук, В.Н. Минимальные не -группы / В.Н. Семенчук // Алгебра и логика. -- 1979. -- Т. 18, № 3. -- С. 348--382.
20. Семенчук, В.Н. Конечные группы с системой минимальных не -подгрупп / В.Н. Семенчук // Подгрупповое строение конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1981. -- С. 138--149.
21. Семенчук, В.Н. Минимальные не -группы / В.Н. Семенчук // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 170--175.
22. Семенчук, В.Н. Характеризация локальных формаций по заданным свойствам минимальных не -групп / В.Н. Семенчук, А.Ф. Васильев // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 175--181.
23. Семенчук, В.Н. Описание разрешимых минимальных не -групп для произвольной тотально локальной формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1988. -- Т. 43, № 4. -- С. 251--260.
24. Семенчук, В.Н. О разрешимых минимальных не -группах / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. -- Минск: Университетское, 1987. -- Вып. 3. -- С. 16--21.
25. Семенчук, В.Н. Роль минимальных не -групп в теории формаций / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1991. -- Т. 98, № 1. -- С. 110--115.
26. Семенчук, В.Н. Конечные группы с -абнормальными или -субнормальными подгруппами / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1994. -- Т. 56, № 6. -- С. 111--115.
27. Семенчук, В.Н. Разрешимые тотально локальные формации / В.Н. Семенчук // Сибир. мат. журн. -- 1995. -- Т. 36, № 4. -- С. 861--872.
28. Семенчук, В.Н. Разрешимые -радикальные формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1996. -- Т. 59, № 2. -- С. 261--266.
29. Семенчук, В.Н. Об одной проблеме в теории формаций / В.Н. Семенчук // Весцi АН Беларусi. -- 1996. -- № 3. -- С. 25--29.
30. Семенчук, В.Н. О разрешимых тотально локальных формациях / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. -- 1997. -- № 11. -- С. 109--115.
31. Семенчук, В.Н., Поляков Л.Я. Характеризация минимальных не -групп / В.Н. Семенчук // Известия высших учебных заведений. -- 1998. -- № 4 (431). -- С. 1--4.
32. Семенчук, В.Н. Классификация локальных наследственных формаций критические группы которых бипримарны / В.Н. Семенчук // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 1999. -- № 1 (15). -- С. 153--162.
33. Семенчук, В.Н. Сверхрадикальные формации / В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков // Доклады НАН Беларуси. -- 2000. -- Т. 44, № 5. -- С. 24--26.
34. Семенчук, В.Н. Конечные группы, факторизуемые -достижимыми подгруппами / В.Н. Семенчук, С.А. Мокеева // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 2002. -- № 5 (14). -- С. 47--49.
35. Скиба, А.Н. Об одном классе локальных формаций конечных групп / А.Н. Скиба // ДАН БССР. -- 1990. -- Т. 34, № 11. -- С. 382--385.
36. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А.Н. Скиба. -- Минск: Беларуская навука, 1997. -- 240 с.
37. Старостин, А.И. О минимальных группах, не обладающих данным свойством / А.И. Старостин // Матем. заметки. -- 1968. -- Т. 3, № 1. -- С. 33--37.
38. Тютянов, В.Н. Факторизации -нильпотентными сомножителями / В.Н. Тютянов // Матем. сб. -- 1996. -- Т. 187, № 9. -- С. 97--102.
39. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1929. -- Т. 36, № 2. -- С. 135--137.
40. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1933. -- Т. 40, № 1. -- С. 39--41.
41. Чунихин, С.А. О группах с наперед заданными подгруппами / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1938. -- Т. 4 (46), № 3. -- С. 521--530.
42. Чунихин, С.А. О существовании подгрупп у конечной группы / С.А. Чунихин // Труды семинара по теории групп. -- ГОНТИ, М.--Л. -- 1938. -- С. 106--125.
43. Чунихин, С.А. Подгруппы конечных групп / С.А. Чунихин. -- Минск: Наука и техника, 1964. -- 158 с.
44. Шеметков, Л.А. Формации конечных групп / Л.А. Шеметков. -- М.: Наука, 1978. -- 272 с.
45. Шеметков, Л.А. Экраны произведения формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1981. -- Т. 25, № 8. -- С. 677--680.
46. Шеметков, Л.А. О произведении формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1984. -- Т. 28, № 2. -- С. 101--103.
47. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. -- М.: Наука, 1989. -- 256 с.
48. Шмидт, О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные / О.Ю. Шмидт // Матем. сб. -- 1924. -- Т. 31, № 3. -- С. 366--372.
49. Ballester-Bolinches, A. On the lattice of -subnormal subgroups / A. Ballester-Bolinches, К. Doerk, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1992. -- Vol. 148, № 2. -- P. 42--52.
50. Ballester-Bolinches, A. On -critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1995. -- Vol. 174. -- P. 948--958.
51. Ballester-Bolinches, A. Two questions of L.A. Shemetkov on critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1996. -- Vol. 179. -- P. 905--917.
52. Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L.M. Ezquerro. -- Springer, 2006. -- 385 p.
53. Bryce, R.A. Fitting formations of finite soluble groups / R.A. Bryce, J. Cossey // Math. Z. -- 1972. -- Bd. 127, № 3. -- S. 217--233.
54. Carter, R.O. The -normalizers of a finite soluble group / R. Carter, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1967. -- Vol. 5, № 2. -- Р. 175--202.
55. Carter, R. Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1968. -- Vol. 9, № 3. -- P. 285--313.
56. Doerk, K. Minimal nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk // Math. Z. -- 1966. -- Vol. 91. -- P. 198--205.
57. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes. -- Berlin -- New York: Walter de Gruyter, 1992. -- 891 p.
58. Fisman, E. On product of two finite solvable groups / E. Fisman // J. Algebra. -- 1983. -- Vol. 80, № 2. -- P. 517--536.
59. Gaschutz, W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. -- 1963. -- Vol. 80, № 4. -- P. 300--305.
60. Guo, W. The Theory of Classes of Groups / W. Guo. -- Dordrecht -- Boston -- London: Kluwer Academic Publishers, 2000. -- 257 p.
61. Guo, W. X-semipermutable subgroups of finite groups / W. Guo, K.P. Shum, A.N. Skiba // J. Algebra. -- 2007. -- Vol. 315. -- P. 31--41.
62. Hall, P. A note on soluble groups / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1928. -- Vol. 3. -- P. 98--105.
63. Hall, P. On the Sylow systems of a soluble group / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1937. -- Vol. 43. -- P. 316--323.
64. Hawkes, T. On Fitting formations / T. Hawkes // Math. Z. -- 1970. -- Vol. 117. -- P. 177--182.
65. Huppert, B. Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert // Math. Z. -- 1954. -- Vol. 60. -- P. 409--434.
66. Ito, N. Note on (LN)-groups of finite order / N. Ito // Kodai Math. Seminar Report. -- 1951. -- Vol. 1--2. -- P. 1--6.
67. Kazarin, L.S. Product of two solvable subgroups / L.S. Kazarin // Comm. Algebra. -- 1986. -- Vol. 14, № 6. -- P. 1001--1066.
68. Kegel, O.H. Produkte nilpotenter Gruppen // Arch. Math. -- 1961. -- Vol. 12, № 2. -- P. 90--93.
69. Kegel, O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echt enthalten / O.H. Kegel // Arch. Math. -- 1978. -- Bd. 30, № 3. -- S. 225--228.
70. Miller, G.A. Nonabelian groups in which every subgroup is abelian / G.A. Miller, H.C. Moreno // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1903. -- Vol. 4. -- P. 398--404.
71. Semenchuk, V.N. Finite groups with permutable -subnormal and -accessible subgroups / V.N. Semenchuk, S.A. Mokeeva // 4th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts, August 4--9. -- 2003. -- P. 153--154.
72. Thompson, J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable / J.G. Thompson // Bull. Amer. Math. Soc. -- 1968. -- Vol. 74. -- P. 383--437.
73. Wielandt, H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. -- 1939. -- Bd. 45. -- S. 209--244.
74. Wielandt, H. Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. -- 1958. -- Bd. 69, № 8. -- S. 463--465.
75. Wielandt, H. Uber das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt // Illinois Journ. -- 1958. -- Vol. 2, № 4B. -- P. 611--618.
