Исследование прочности на разрыв полосок ситца
3
Министерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Московской области
Международный Университет природы
общества и человека "Дубна"
Филиал "Котельники"
Кафедра естественных и гуманитарных наук.
Курсова робота
"Исследование прочности на разрыв полосок ситца"
по дисциплине:
"Теория вероятностей и математическая статистика"
Выполнила студентка
Второго курса 262 ЭТ группы
Проверила:
___________
2006 г.
Содержание
- Введение
- Цель курсовой работы
- Постановка задачи
- Исходные данные
- Распределение случайной величины на основе опытных данных
- Построение эмпирической функции распределения
- Статистические оценки параметров распределения
- Нормальный закон распределения случайной величины
- Проверка гипотезы о нормальном распределении изучаемой величины
- Вывод
- Литература
ВведениеМатематическая статистика - наука которая занимается разработкой методов отбора, группировки и обработки опытных данных с целью изучения закономерностей массовых случайных явлений.Математическая статистика опирается на методы и понятия теории вероятностей и, в свою очередь, служит основой для обработки анализа статистических результатов в конкретных областях человеческой деятельности.
Задачи математической статистики:нахождение функции распределения по опытным данным.из теоретических соображений функция распределения оказывается в общем виде известна, но неизвестны её параметры. Неизвестные параметры определяются по опытным данным.Статистическая проверка гипотез:в общем виде известна функция распределения, определяют её неизвестные параметры и выясняют, как согласуются экспериментальные данные с общим видом функции распределения.
Цель курсовой работыЦелью курсовой работы является закрепление теоретических знаний и приобретения навыков обработки статистической информации.
Постановка задачиВ данной курсовой работе были поставлены следующие задачи для обработки статистических данных:построение полигона частот и относительных частотпостроение гистограммы частот и относительных частотпостроение эмпирической функции распределения.нахождение выборочной средней, выборочной дисперсии инахождение среднего выборочного квадратичного отклонения.5) проверка гипотезы о нормальном распределении изучаемой случайной величины.
Исходные данныеВариант 14. Прочность на разрыв полосок ситца (в дан):32313432312932343331313432313532343331303032323431313532343332313432312932343331313432313532343331303432312932343331303232313632343331303233312832343331303233303532343332303133303332343331303233303132343331303233303132333331303233303132333034333130323330313233
Распределение случайной величины на основе опытных данныхДля обработки опытных данных воспользуемся составлением
статистического ряда. В первой строке записываются номера наблюдений, а во второй строке результаты наблюдений.Если результаты наблюдений расположить в возрастающем порядке, то
получим вариационный ряд.Результат измерения называется -
варианта.Число появления каждой варианты называется
частотой.Отношение частоты к объему выборки называется
относительной частотой.xi - варианта (значение, полученное в процессе измерения)ni - частота (сколько раз появилась каждая варианта)Р*i - отношение частоты объёму выборки
|
xi | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | |
ni | 1 | 3 | 18 | 29 | 32 | 24 | 18 | 4 | 1 | |
ni Pi* n | 1 130 | 3 130 | 18 130 | 29 130 | 32 130 | 24 130 | 18 130 | 4 130 | 1 130 | |
|
Существует вместо статистического ряда так называемая статистическая совокупность, для этого все наблюдаемые значения признака разбиваются на группы равной длины.
|
xi<x?xi+1 | (27; 29] | (29; 31] | (31; 33] | (33; 35] | (35; 37] | |
ni | 4 | 47 | 56 | 22 | 1 | |
Pi* | 4/130 | 47/130 | 56/130 | 22/130 | 1/130 | |
|
Размах колебания: хmin=28
хmax=36
R= 36-28=8
Статистическое распределение можно изобразить графически:
Либо в виде полигона частот, полигона относительных частот и в виде гистограммы частот, гистограммы относительных частот.
Полигоном частот называется ломаная линия, соединяющая точки с абcциcсой (Ох) - варианта и ординатой (Оу) - частота.
Cтроим полигон частот.
Полигоном относительных частот называется ломаная линия, соединяющая точки с абсциссой (Ох) - варианта и ординатой (Оу) - относительная частота.
Строим полигон относительных частот.
Полигон относительных частот
Гистограммой частот называется фигура, состоящая из прямоугольников с равными основаниями (длина интервала) и площадью численно равной частоте.
Для построения гистограммы воспользуемся таблицей:
|
xi<x?xi+1 | (27; 29] | (29; 31] | (31; 33] | (33; 35] | (35; 37] | |
ni | 4 | 47 | 56 | 22 | 1 | |
hi = ni Дx | 4/2 | 47/2 | 56/2 | 22/2 | Ѕ | |
|
|
| | | | | | | | | |
| | | | | | | Дx=2 | | |
hi | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
56? 2 | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
47? 2 | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
22? 2 | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
4/2 | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
1/2 | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| 27 | 29 | 31 | 33 | 35 | 37 | | | |
| | | | | | | | xi | |
|
Гистограммой относительных частот называется фигура, состоящая из прямоугольников с равными основаниями (длина интервала) и площадью численно равной относительной частоте.
Для построения гистограммы воспользуемся таблицей:
|
xi<x?xi+1 | (27; 29] | (29; 31] | (31; 33] | (33; 35] | (35; 37] | |
Р*i | 4/130 | 47/130 | 56/130 | 22/130 | 1/130 | |
hi = P*i Дx | 4/260 | 47/260 | 56/260 | 22/260 | 1/260 | |
|
Дx=2
|
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
h*i | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
56? 260 | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
47? 260 | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
22? 260 | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
4? 260 | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
1 ? 260 | | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
0 | 27 | 29 | 31 | 33 | 35 | 37 | | | |
| | | | | | | | xi | |
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
|
Построение эмпирической функции распределенияСтатистическая функция распределения (эмпирическая) - это частота события, состоящего в том, что случайная величина Х в процессе изменения примет значение меньше некоторого фиксированного хF*(х) = Р* = P* (X<x)Статистическая функция распределения (эмпирическая) является разрывной функцией, точки разрыва совпадают с наблюдаемыми значениями случайной величины, а скачок в каждой точке разрыва равен частоте появления наблюдаемого значения в данной серии наблюдения. Сумма скачков всегда равна 1. 9У Pi* = 1i=11) ? < х ? 28F* (x) =P* (X<28) =02) 28<x?29F* (x) =P* (X<29) =P* (X=28) =1/1303) 29<x?30F* (x) =P* (X=28) + P* (X=29) =1/130+3/130=4/1304) 30<x?31F* (x) =P* (X<31) = P* (X=28) + P* (X=29) P* (X=30) +1/130+3/130+18/130=22/1305) 31<x?32F* (x) =P* (X<32) = P* (X=28) + +P* (X=29) +P* (X=30) +P* (X=31) =1/130+3/130+18/130+29/130=51/1306) 32<x?33F* (x) =P* (X<33) = P* (X=28) +P* (X=29) +P* (X=30) +P* (X=31) P* (X=32) =1/130+3/130+18/130+29/130+32/130=83/1307) 33<x?34F* (x) =P* (X<34) = P* (X=28) +P* (X=29) +P* (X=30) +P* (X=31) ++P* (X=32) +P* (X=33) =1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130=107/1308) 34<x?35F* (x) =P* (X<35) = P* (X=28) +P* (X=29) +P* (X=30) +P* (X=31) ++P* (X=32) +P* (X=33) P* (X=34) ==1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130+18/130=125/1309) 35<x?36F* (x) =P* (X<36) = P* (X=28) +P* (X=29) +P* (X=30) +P* (X=31) ++P* (X=32) +P* (X=33) P* (X=34) + P* (X=35)=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130+18/130+4/130=129/13010) x>36F* (x) =1 0, -?<х?28 1/130, -?<х?29 4/130, 29<х?30 22/130, 30<х?31F*(x) 51/130, 31<х?32 83/130, 32<х?33 107/130, 33<х?34 125/130, 34<х?35 129/130, 35<х?36 1, х>36 Статистическая функция распределения является разрывной функцией и её графиком является ступенчатая линия.Построим систему координат:на оси Ох=хiна оси Оу=F* (x)
|
F* 1 129/130 125/130 107/130 83/130 51/130 22/130 4/130 1/130 0 xi 28 29 30 31 32 33 34 35 36 | |
|
Статистические оценки параметров распределенияОдной из задач статистики является оценка параметров распределения случайной величины Х по данным выборки.Оценка параметра зависит от наблюдаемых значений и от числа наблюдений. Для того чтобы полученную оценку можно было бы использовать на практике она должна удовлетворять следующим условиям:1) оценка должна быть не смещённой оценкой параметра, т.е. математическое ожидание должно быть равно оцениваемому параметру. Если это условие не выполняется, то оценку называют
смещённой оценкой оцениваемого параметра;2) оценка должна быть состоятельной оценкой оцениваемого параметра;3) Оценка должна быть эффективной оценкой оцениваемого параметра;Из всех различных оценок выбираем ту которая имеет наименьшую дисперсию она и называется эффективной если её дисперсия является минимальной из всех получившихся дисперсий.Таким образом, чтобы полученная опытным путем оценка оцениваемого параметра была пригодной она должна быть несмещённой состоятельной и эффективной.Пусть изучается дискретная генеральная совокупность объема N количественного признака Х.
Генеральной средней совокупностью называют среднее арифметическое наблюдаемых значений.Если же значение признака х1, х2,……. хк имеют соответственно частоты N1,N2……. Nk, то средняя генеральная вычисляется по формуле:Пусть для изучения генеральной совокупности относительно некоторого количественного признака Х произведена выборка объема n.
Выборочной средней называют среднее арифметическое наблюдаемых значений в данной выборке.Если же значение признака х1, х2,…. хk имеет соответственно частоты n1,n2,…. nk, то выборочная средняя определяется по формуле:
|
xi | 28 | 29 | 30 | 32 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | |
ni | 1 | 3 | 18 | 29 | 32 | 24 | 18 | 4 | 1 | |
|
28Ч1+29Ч3+30Ч18+31Ч29+32Ч32+33Ч24+34Ч18+35Ч4+36Ч1
хв =
130
= 4158 = 31,98
130
Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочной средней. Вычисляется выборочная дисперсия по формуле:
Если же значение признака х1, х2…. x k имеет соответственно частоты n1,n2…. nk, то выборочная дисперсия вычисляется по формуле:
(28-31,98) 2Ч1+ (29-31,98) 2Ч3+ (30-31,98) 2Ч18+ (31-31,98) 2Ч29+
Dв= + (32-31,98) 2Ч32+ (33-31,98) 2Ч24+ (34-31,98) 2Ч18+ (35-31,98) 2Ч
Ч4+ (36-31,98) 2Ч1 =
130
= 291,972 = 2,24
130
Среднее выборочное квадратичное отклонение - это величина численно равная квадратному корню из выборочной дисперсии.
__
ув = v 2,24 = 1,5
Нормальный закон распределения случайной величиныГоворят, что случайная величина распределена по нормальному закону если плотность распределения этой случайной величины выражается формулой:
3
Проверка гипотезы о нормальном распределении изучаемой величиныГипотезу Н0 выдвигаем в качестве основной - пусть наш исследуемый признак х распределён по нормальному закону. Параллельно гипотезе Н0 выдвигаем альтернативную гипотезу о том, что исследуемый признак распределен не по нормальному закону.Проверка гипотезы о предполагаемом законе распределения производится с помощью специально подобранной величины называемой
критерием согласия.Для исследования воспользуемся критерием
ч2 Пирсона.Вычисляем
ч2 для наблюдаемых значений. Для вычислений составляем таблицу и воспользуемся следующими формулами:
3
_хв =31,98_Dв=2,24_ув=1,5Таблица отдельный файл k (ni-ni*)2ч2 набл.=У i=1 niч2 набл=13,8725515Далее находим ч2 с помощью таблицы критических точек распределения по заданному уровню значимости Ј=0,05 и числу степеней свободы.К=S-35-3=2ч2крит. =6,0ч2 набл=13,8725515 > ч2крит=6,0Гипотеза не принимается.
ВыводВ данной работе был изучен статистический материал по исследованию прочности на разрыв полосок ситца, статистически были обработаны и получены соответствующие результаты.Цель курсовой работы реализована через решение поставленных задач.Наглядно представление о поведении случайной величины показано через полигон частот и полигон относительных частот, гистограммы частот и гистограммы относительных частот.Была составлена и построена эмпирическая функция распределения и построен график этой функции на основе наблюдаемых значений.0ценили параметры распределения:выборочную среднюювыборочную дисперсиювыборочное среднее квадратичное отклонение.После обработки имеющихся статистических данных было выдвинуто предположение о нормальном распределении случайной величины. При проверке этой гипотезы оказалось, что случайная величина нераспределена по нормальному закону.
Литература1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник. - М.: Наука, 1988.
2. Боровков А.А. Теория вероятностей: Учеб. пособие.; М.: Наука, 1986.
3. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей: Учеб. пособие. - М.: Изд-во ун-та Дружбы народов, 1994.
4. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Математическая статистика: Учеб. пособие. - М.: Изд-во ун-та Дружбы народов, 1994.
5. Б.М. Рудык, В.И. Ермаков, Р.К. Гринцевевичюс, Г.И. Бобрик, В.И. Матвеев, И.М. Гладких, Р.В. Сигитов, В.Г. Шершнев. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В.И. Ермакова. - М.: ИНФАРМА-М, 2005. - 656с. - (Высшее образование).