Интересные примеры в метрических пространствах
Интересные примеры
в метрических пространствах:
1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром , то вершины этих кубиков будут образовывать конечную -сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.
Единичная сфера S в пространстве l2 дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида:
е1=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),
е2=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),
…………………………,
еn=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),
………………………….
Расстояние между любыми двумя точками
еn
и
ем (
nm) равно . Поэтому последовательность {
еi} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в
S не может быть конечной -сети ни при каком <2/2.Рассмотрим в
l2 множество
П точек x=(x1, x2, , xn, ...),удовлетворяющих условиям: | x1|1, | x2|1/2, ,| xn|1/2n-1, ...Это множество называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым кирпичем») пространства
l2. Оно представляет собой пример бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной ограниченности поступим следующим образом.Пусть >0 задано. Выберем
n так, что 1/2n-1</2. Каждой точке x=(x1, x2, , xn, ...)из
П сопоставим точку x*=(x1, x2, , xn, 0, 0, ...)из того же множества. При этом (x,x*)<1/2n-1</2.Множество
П* точек вида x*=(x1, x2, , xn, 0, 0, ...) из
П вполне ограничено (как ограниченное множество в
n-мерном пространстве). Выберем в
П* конечную /2-сеть. Она будет в то же время -сетью во всем
П. Докажем это.
Доказательство: для , выберем
n так, что 1/2n-1</2. x
П: x=(x1, x2, , xn, ...) сопоставим x*=(x1, x2, , xn, 0, 0, ...) и x*
П. При этом (x,x*)</2. Из пространства
П выберем x**: (x*,x**)</2. Тогда: (x,x**)(x,x*)+(x*,x**)</2+/2=. Множество
П* содержит точки вида x*=(x1, x2, , xn, 0, 0, ...), в этом множестве выберем конечную /2-сеть. Она будет -сетью в пространстве
П, так как (x,x**)<.