Графическое решение уравнений
Графическое решение уравнений
Расцвет, 2009
Введение
Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н.э. Правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.
Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году М. Штифелем.
В 1591 году Франсуа Виет ввел формулы для решения квадратных уравнений.
В древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.
Диофант Александрийский и Евклид, Аль-Хорезми и Омар Хайям решали уравнения геометрическими и графическими способами.
В 7 классе мы изучали функции у = С, у = kx, у = kx+m, у = x2, у = - x2, в 8 классе - у = vx, у =|x|, у = ax2+bx+c, у = k /x. В учебнике алгебры 9 класса я увидела ещё не известные мне функции: у = x3, у = x4, у = x2n, у = x-2n, у = 3vx, (x - a)2 + (у - b)2 = r2 и другие. Существуют правила построения графиков данных функций. Мне стало интересно, есть ли ещё функции, подчиняющиеся этим правилам.
Моя работа заключается в исследовании графиков функций и графическом решении уравнений.
1. Какие бывают функции
График функции - это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов, а ординаты - соответствующим значениям функции.
Линейная функция задаётся уравнением у = kx + b, где k и b - некоторые числа. Графиком этой функции является прямая.
Функция обратной пропорциональности у = k/x, где k 0. График этой функции называется гиперболой.
Функция (x - a)2 + (у - b)2 = r2, где а, b и r - некоторые числа. Графиком этой функции является окружность радиуса r с центром в т. А (а, b).
Квадратичная функция y = ax2 + bx + c где а, b, с - некоторые числа и а 0. Графиком этой функции является парабола.
Уравнение у 2(a - x) = x2(a+ x). Графиком этого уравнения будет кривая, называемая строфоидой.
Уравнение (x2 + y2)2 = a (x2 - y2). График этого уравнения называется лемнискатой Бернулли.
Уравнение . График этого уравнения называется астроидой.
Кривая (x2 y2 - 2 a x)2 =4 a2 (x2 + y2). Эта кривая называется кардиоидой.
Функции: у = x3 - кубическая парабола, у = x4, у = 1/x2.
2. Понятие уравнения, его графического решения
Уравнение - выражение, содержащее переменную.
Решить уравнение - это значит найти все его корни, или доказать, что их нет.
Корень уравнения - это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.
Решение уравнений графическим способом позволяет найти точное или приближенное значение корней, позволяет найти количество корней уравнения.
При построении графиков и решении уравнений используются свойства функции, поэтому метод чаще называют функционально-графическим.
Для решения уравнение «делим» на две части, вводим две функции, строим их графики, находим координаты точек пересечения графиков. Абсциссы этих точек и есть корни уравнения.
3. Алгоритм построения графика функции
Зная график функции у = f(x), можно построить графики функций у = f (x+m), у = f(x)+l и у = f (x+ m)+ l. Все эти графики получаются из графика функции у = f(x) с помощью преобразования параллельного переноса: на ¦m¦ единиц масштаба вправо или влево вдоль оси x и на ¦l¦ единиц масштаба вверх или вниз вдоль оси y.
4. Графическое решение квадратного уравнения
На примере квадратичной функции мы рассмотрим графическое решение квадратного уравнения. Графиком квадратичной функции является парабола.
Что знали о параболе древние греки?
Современная математическая символика возникла в 16 веке.
У древнегреческих же математиков ни координатного метода, ни понятия функции не было. Тем не менее, свойства параболы были изучены ими подробно. Изобретательность античных математиков просто поражает воображение, - ведь они могли использовать только чертежи и словесные описания зависимостей.
Наиболее полно исследовал параболу, гиперболу и эллипс Аполоний Пергский, живший в 3 веке до н.э. Он же дал этим кривым названия и указал, каким условиям удовлетворяют точки, лежащие на той или иной кривой (ведь формул-то не было!).
Существует алгоритм построения параболы:
• Находим координаты вершины параболы А (х0; у0): х0 =-b/2a;
• y0=ахо2+вх0+с;
• Находим ось симметрии параболы (прямая х=х0);
• Составляем таблицу значений для построения контрольных точек;
• Строим полученные точки и построим точки им симметричные относительно оси симметрии.
1. По алгоритму построим параболу y = x2 - 2x - 3. Абсциссы точек пересечения с осью x и есть корни квадратного уравнения x2 - 2x - 3 = 0.
Существует пять способов графического решения этого уравнения.
2. Разобьём уравнение на две функции: y=x2 и y= 2x + 3. Корни уравнения - абсциссы точек пересечения параболы с прямой.
3. Разобьём уравнение на две функции: y=x2 -3 и y =2x. Корни уравнения - абсциссы точек пересечения параболы с прямой.
4. Преобразуем уравнение x2 - 2x - 3 = 0 при помощи выделения полного квадрата на функции: y= (x -1)2 и y=4. Корни уравнения - абсциссы точек пересечения параболы с прямой.
5. Разделим почленно обе части уравнения x2 - 2x - 3 = 0 на x, получим x - 2 - 3/x = 0, разобьём данное уравнение на две функции: y = x - 2, y = 3/x. Корни уравнения - абсциссы точек пересечения прямой и гиперболы.
5. Графическое решение уравнений степени n
Пример 1. Решить уравнение x5 = 3 - 2x.
Корнями данного уравнения является абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y = x5, y = 3 - 2x.
Ответ: x = 1.
Пример 2. Решить уравнение 3vx = 10 - x.
Корнями данного уравнения является абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y = 3vx, y = 10 - x.
Ответ: x = 8.
Заключение
Рассмотрев графики функций: у = ax2+bx+c, у = k /x, у = vx, у =|x|, у = x3, у = x4, у = 3vx, я заметила, что все эти графики строятся по правилу параллельного переноса относительно осей x и y.
На примере решения квадратного уравнения можно сделать выводы, что графический способ применим и для уравнений степени n.
Графические способы решения уравнений красивы и понятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков могут быть приближёнными.
В 9 классе и в старших классах я буду ещё знакомиться с другими функциями. Мне интересно знать: подчиняются ли те функции правилам параллельного переноса при построении их графиков.
На следующий год мне хочется также рассмотреть вопросы графического решения систем уравнений и неравенств.
Литература
1. Алгебра. 7 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.
2. Алгебра. 8 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.
3. Алгебра. 9 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.
4. Глейзер Г.И. История математики в школе. VII-VIII классы. - М.: Просвещение, 1982.
5. Журнал Математика №5 2009; №8 2007; №23 2008.
6. Графическое решение уравнений сайты в Интернете: Тол ВИКИ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3-6.htm.
