Геометричні фігури на площині та їх площ
7
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ
ЛУБЕНСЬКА ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА № 3
І-ІІІ СТУПЕНІВ
РЕФЕРАТ
НА ТЕМУ:
ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ НА ПЛОЩИНІ ТА ЇХ ПЛОЩІ
Виконала: учениця 5-Б класу
Німець Євгенія
Лубни 2007
ВступДаний реферат охоплює геометричні фігури, що розглядаються в
планіметрії - розділі геометрії, в якому вивчають фігури на площині, тобто, так би мовити, у двовимірному світі.Основними геометричними фігурами на площині є
точка і
пряма. Я дам їх визначення, як також визначення
кута,
трикутника,
квадрата,
чотирикутника,
ромба,
паралелограма,
трапеції,
многокутника. Пригадаю, як визначали площі згаданих фігур у часи античності та сучасні методи обчислення площ.
Точка і прямаЯк вже було зазначено,
точка і
пряма є основними геометричними фігурами на площині. Математично,
точкою на площині є об'єкт, два плоскі виміри якого (
x і
y) прямують до нуля. Тобто, це об'єкт, що має плоскі координати
x і
y, але не має розмірів, тобто довжини і ширини, тобто це „існуюче ніщо”. Як би я не загострювала кінчик олівця, в надії нанести на площину математичну точку - в мене нічого не вийде. Реально нарисована точка матиме цілком реальні (хай навіть менше 0,1 мм!) розміри по
x та по
y. Таке визначення точки у математиці було зроблено для спрощення розрахунків.Як правило, всяку геометричну фігуру прийнято вважати складеною з точок. Тому
прямою на площині (рис.1) є геометричне місце точок, один з вимірів якого (скажімо довжина) рівний нескінченності, а інший - ширина, прямує до нуля. Для порівняння,
відрізок (рис 2), як
частина прямої, яка складена з усіх точок прямої, що лежать між двома її точками, має
нульову ширину при
цілком певній довжині, скажімо 15 см чи 5 м.
Півпрямою, або
променем (рис.3) називають частину прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на ній точки. Промінь також вважають проведеним у нескінченність в один бік.Аналогічно попередньому, яким тонким не був би кінчик мого олівця, я не зможу накреслити математичну пряму, відрізок чи промінь - вони матимуть цілком певну ширину.
арис.1А ВРис. 2.Рис.3
КутКутом (рис.4) називається фігура, що складається з двох різних півпрямих із спільною початковою точкою, яка називається
вершиною кута, а півпрямі -
сторонами кута.Рис.4Очевидно, що до фігур, зазначених вище, поняття площі
незастосовне.
Плоскі геометричні фігуриЧотирикутником взагалі є фігура, складена з чотирьох точок і чотирьох відрізків, які послідовно їх сполучають. Чотирикутник називають
опуклим, якщо він розміщений в одній півплощині відносно прямої, яка містить будь-яку його сторону. На рисунках 5 і 6 показано опуклий та неопуклий чотирикутники.Рис.5 Рис.6Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називають
сусідніми сторонами, а сторони, які не мають спільного кінця -
протилежними сторонами.
Прямокутник (рис.7) - це чотирикутник, у якого всі кути прямі.
bаРис. 7.Як бачимо з рис.7, геометри античності спочатку розбивали прямокутник на квадратики, які були одиницями площі (поняття метр і метр квадратний з'явилось пізніше) і підраховували їх кількість. Тепер використовується формула
Sпрям. =
аb.
Квадрат - це прямокутник, у якого всі сторони рівні (рис.8).
аРис.8Можна також розбити квадрат на
n одиниць площі і знайти їх суму, проте ми користуємося формулою
Sквад. =
а2.
Паралелограм - це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні (рис.9).
hаРис.9Площа паралелограма визначається як добуток його сторони на висоту, проведену до цієї сторони:
Sпарал. =
аh.
Ромб - це паралелограм, у якого всі сторони рівні (рис.10).
hаРис.10Площа ромба визначається так само як і площа паралелограма.
Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні (рис.11).
bh аРис.11Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту:
Кругом називається геометричне місце точок площини, що лежать від даної точки на відстані, не більшій за дане число
R, яке називається
радіусом круга (рис.12).
RРис.12Площа круга визначається рівністю: , де р - число Архімеда, яке рівне відношенню довжини кола до його діаметра, причому вказане відношення є
однаковим для будь-якого кола. Не буду зупинятися на виникненні числа р, оскільки багато чого, пов'язаного з його походженням не ясно і дотепер. Доведено ірраціональність числа р. За допомогою комп'ютерів отримані мільйони десяткових знаків цього числа. Перші знаки його такі: р = 3,14159265358…
Трикутником є фігура, що складається з трьох точок і трьох прямих, що їх з'єднують. Розрізняють прямокутні та косокутні трикутники (рис.13, 14)
сb с bh г
а аРис.13 Рис.14Оскільки прямокутний трикутник можна розглядати як половину прямокутника, то площа прямокутного трикутника рівна .Взагалі, площа будь-якого трикутника може бути визначена як половина добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони. За рис.14 запишемо: . Існують інші формули для визначення площі трикутника, наприклад (див. рис.14). Можна також довести формулу Герона для площі трикутника:де
р - півпериметр трикутника, а саме .Якщо плоска фігура зображена в системі координат (
x,
y), то площа будь-якої з них може бути представлена у вигляді визначеного інтеграла. Дана тема вивчається в 11-му класі середньої школи, тому поки що я не буду її торкатися. За допомогою визначеного інтеграла знаходять площі опуклих і не опуклих
криволінійних плоских фігур.Для площ
n-кутників багатьма великими цього світу виведені спеціальні формули, запам'ятати які не завжди легко. Тому я зазвичай, застосовую інший метод обчислення площ багатокутників: всякий
n-кутник може бути розбитий на певну кількість простіших фігур, формули площ яких я пам'ятаю.