Функции и их производные
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
ВАРИАНТ 4.3
№ 1.
а) Найти производные от данных функций:
б)
Применяем правило нахождения производной произведения функцийв)№ 2Дана функция Найти:а) координаты вектора grad u в точке А (-1,3,2)По определению:б) в точке А в направлении вектора а{2,-6,-3}По определению:Величины найдены в п.а)Найдем cosб, cosв, cosг.По формуле получаем:№ 3.Дана функция .Найти y”. Вычислить y”(-1).№ 4.Доказать, что функция удовлетворяет уравнениюподставляем найденные выражения в уравнение, получаем: , что и требовалось доказать.№5Найти если Вычислить если .Воспользуемся формулами нахождения производных для функций, заданных параметрически№ 6.Функции задана неявно уравнением Вычислить:а) Вычисления проводим по формулеб)№ 7.На графике функции y=ln2x взята точка А. Касательная к графику в точке А наклонена к оси ОХ под углом, тангенс которого равен ј. Найти абсциссу точки А.Из геометрического смысла производной имеем№ 8.Найти dy, если у=х6. Вычислить значение dy, если Для имеем № 9.Дана функция и точки и Вычислить Дz и dz при переходе из точки М0 в точку М1 . Приращение функции Дz равноДифференциал функции dz равен № 10.Дана функция . Найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [0;6]. Найдем Приравниваем числитель к нулю при условии Решение отбрасываем. совпадает с граничным значением.Найдем значение функции в точках x=0 и x=6.Наибольшее значение функции на отрезке [0;6] равно , наименьшее равно 3.№ 11Дана функция .Найти ее наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве, ограниченном прямыми .Найдем стационарные точки из системы уравненийРешаем систему уравненийСделаем чертежНа участке границы х=-1 функция z(х,у) превращается в функцию одной переменнойНайдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на обрезке [-1;2]. Имеем , отсюда . Это значение не принадлежит отрезку [-1;2]. Z(-1)=5. Z(2)=4+6+7=17.На участке у=-1 получаемНайдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке [-1;2]. Имеем , отсюда .НаходимНа участке границы у=1-х получаем функциюНайдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на участке [-1;2].На границах отрезкаСравниваем все найденные значения функции
видим, что наибольшее значение достигается в точке (2;-1) и равно 23, а наименьшее равно 4 и достигается в точке (0;0).
Ответ: 23;4.
№ 12.
Провести полное исследование функции и начертить ее график.
1. Найдем область определения функции .
Функция непериодична.
2. Установим наличие симметрии относительно оси OY или начала координат по четности или нечетности функции , симметрии нет.
3. Определим «поведение функции в бесконечности»
4. Точка разрыва х=-2
5. найдем пересечение кривой с осями координат
т.А (0;2)
Корней нет, нет пересечения с осью OY.
6. Найдем точки максимума и минимума
в точке производная меняет знак с <-> на <+>, следовательно имеем минимум, в точке производная меняет знак с <+> на <->, имеем максимум.
При первая производная отрицательна, следовательно, функция убывает, при производная положительна, функция в этих промежутках возрастает.
7. Найдем точки перегиба
, точек перегиба нет. При вогнутость вверх, при , вогнутость вниз.
8. Найдем горизонтальные и наклонные асимптоты в виде , где
Получили асимптоту у=х.
Найдем пересечение кривой с асимптотой
Точек пересечения нет.
Строим график