Формула Бернулли. Локальная функция Лапласа
Контрольная работа 3.
1. Прибор может работать в двух режимах нормальном и ненормальном. Нормальный режим встречается в 80% всех случаев работы прибора, ненормальный в 20%. Вероятность выхода прибора за время t в нормальном режиме равна 0,1, в ненормальном 0,7. Найти вероятность выхода прибора из строя за время t.
Решение Пусть гипотезы и состоят в том что прибор работает:в нормальном режиме, вероятность - в ненормальном режиме, вероятность Гипотезы несовместны и сумма их вероятностей равна 1. Значит, гипотезы образуют полную группу.Пусть событие А состоит в том, что прибор выходит из строя. При условии, что режим работы нормальный, вероятность наступления А равнаПри условии что режим работы ненормальный вероятность наступления А По формуле полной вероятности вычислим вероятность того что прибор выйдет из строя за время tОтвет: 0,222. В лотерее каждый десятый билет выигрывает 10 рублей, сам же лотерейный билет стоит 1 рубль. Некто приобрел 10 билетов. Найти вероятность того, что он: а) не будет в проигрыше;б) будет в выигрыше.РешениеВероятность выиграть по произвольному билету, по формуле классической вероятности равна p=0.1Проводится n=10 испытаний c одинаковой вероятностью наступления события в каждом.Для того чтобы игрок не был в проигрыше, должен выиграть хотя бы один билет то есть k>=1Для того чтобы игрок был в выигрыше, должно выиграть как минимум два билета или k>1По формуле Бернулли, Теперь найдем вероятность противоположного события p(k>=1)=1-p(k<1)=1-0.349=0.651 - вероятность не оказаться в проигрышеP(k>=1)=p(k>1)+p(k=1) - вероятность суммы несовместных событийP(k>1)=p(k>=1)-p(k=1)=0.651-0.387=0.264 - вероятность выигрышаОтвет: а)0,651 б)0,2643. Семена некоторых растений прорастают с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что из 2000 посаженных семян прорастает:а) 1600 семян;б) не менее 1600 семян.
РешениеМы имеем дело с серией последовательных независимых испытаний, в каждом из которых с одинаковой вероятностью может произойти событие А (семя прорастает) Количество испытаний n=2000 Вероятность наступления события А равна p(A)=0.8=pq=1-p=1-0.8=0.2Условия задачи соответствуют схеме Бернулли. В силу того, что n достаточно велико, удобно применить для вычислений локальную теорему Муавра-Лапласа. Вероятность того, что событие А наступит ровно k=1600раз, приблизительно равнаЗдесь - локальная функция Лапласа, значения которой можно взять из таблиц.ПолучимОтвет :0,02234. В коробке лежат 10 исправных и 3 неисправных батарейки. На удачу извлекаются 3 батарейки. Составить закон распределения случайной величины --- числа исправных батареек среди извлеченных.
РешениеПусть Х- дискретная случайная величина- число неисправных батареек. Х может принимать значения 0,1,2 или 3. Найдем вероятности каждого из значений Х.Вероятность для каждой батарейки быть неисправной определяем по формуле классической вероятности.Проводится n=3 испытания Бернулли в каждом из которых p=0.231, q=1-p=0.769По формуле БернуллиПроверка: p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)=0.455+0.410+0.123+0.012=1.00Получаем закон распределения случайной величины Х:
|
Х | 0 | 1 | 2 | 3 | |
Р | 0,455 | 0,410 | 0,123 | 0,012 | |
|
5. Случайная величина Х распределена по нормальному закону, причем P(X>2) = 0,5, а P(1<X<3) = 0,8. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
РешениеДля случайной величины X с нормальным распределeнием вероятность попадания в интервал равна ,где Ф(х) - интегральная функция Лапласа, значения которой табулированы.По этой формулеОтсюда следует что Из таблиц определяем a=2 - математическое ожидание ХКроме тогоЗначитиз таблицы определяем что -среднеквадратическое отклонение Дисперсия Ответ : Математическое ожидание Дисперсия