Елементи багатомірної геометр

2

Дипломна робота

Елементи багатомірної геометрії

ЗМІСТ

Введення

Глава 1. Елементи загальної теорії багатомірних просторів

§1. Історична довідка

§2. Поняття векторного багатомірного простору на основі аксіоматики Вейля.

§3. Евклідовий векторний простір

§4. Поняття крапко-векторного афінного n-мірного простору

Глава 2. Багатомірні геометричні образи в n-мірних просторах

§5. Чотирьохмірний простір. Визначення і його дослідження

§6. Геометрія k-площин в афінному і евклідовому просторах

§7. K-Паралелепіпеди в просторі

§8. K-Симплекси в просторі

§9. K-Кулі в просторі

Глава 3. Застосування багатомірної геометрії

§10. Про необхідність введення багатомірного простору (на прикладах задач)

§11. Простір-Час класичної механіки

§ 12. Простір-Час спеціальної теорії відносності

§13. Простір-Час загальної теорії відносності

Висновок

Література

Введення

Багатомірна геометрія в наш час широко застосовується в математиці й фізиці для наочного подання рівнянь із декількома невідомими, функцій декількох змінних і систем з декількома ступенями волі.

Геометрична мова дозволяє застосувати до рішення складних задач геометричну інтуїцію, що зложилася в нашім звичайному просторі.

До множини задач, розв'язуваних за допомогою багатомірної геометрії, ставляться задачі про знаходження більше вигідних варіантів перевезень, задачі про найбільш вигідні способи розкрою матеріалу, найбільш ефективних режимах роботи підприємств, задачі про складання виробничих планів і т.п. Той факт, що ці задачі вирішуються геометрично за допомогою знаходження найбільших або найменших значень лінійних функцій на багатогранниках (причому, як правило, у просторах, що має розмірність, більшу трьох) був уперше помічений Л.В. Канторовичем. Необхідність розгляду n-мірних просторів при n > 3 диктується також математичними задачами фізики, хімії, біології й інших областей знання.

Таким чином, хоча просторові властивості навколишнього світу добре описуються геометричним тривимірним простором, потреби практичної діяльності людини приводить до необхідності розгляду просторів будь-якої розмірності n. Метою дипломної роботи є розгляд методів побудови багатомірних просторів і деяких геометричних образів у цих просторах; приведення прикладів застосування багатомірної геометрії.

Об'єктом дослідження є теорія багатомірних просторів і їхня практична значимість.

Робота складається із введення, трьох глав, розбитих на параграфи, списку літератури. У першому розділі розглядається історична довідка багатомірного простору, поняття n-мірного простору на основі аксіоматики Вейля, евклідовий векторний простір, також сповіщається про афінному n-мірний простір.

У другому розділі розповідається про багатомірні геометричні образи в n-мірному просторі.

Третій розділ роботи містить застосування багатомірної геометрії в різних теоріях.

Глава 1. Елементи загальної теорії багатомірних просторів

§1. Історична довідка

Багатомірна геометрія - геометрія просторів розмірності, більше трьох. Термін «багатомірна геометрія» застосовується до тих просторам, геометрія яких була спочатку розвинена для випадку трьох вимірів і тільки потім узагальнена на число вимірів n > 3, тобто, насамперед до евклідова простору, а також до просторів Лобачевского, Римана, проективному, афінномуу (загальні ж риманови й інші простори були визначені відразу для n-вимірів). Поділу трьох- і багатомірної геометрії має історичне й навчальне значення, тому що задачі ставляться і вирішуються для будь-якого числа вимірів, коли й оскільки це осмислено. Побудова геометрії зазначених просторів для n-вимірів проводиться за аналогією з випадком трьох вимірів. При цьому можна виходити з узагальнення безпосередньо геометричних підстав 3-мірні геометрії, з тієї або іншої системи її аксіом або з узагальнення її аналітичної геометрії, переносячи її основні висновки з випадку трьох координат на довільне n.

Саме так і починалася побудова n-мірної евклідової геометрії. У цей час воліють вихідні з поняття векторного простору.

Історично подання в більш ніж 3-мірному просторі зароджувалася поступово; спочатку - на ґрунті геометричного подання ступенів: а2 - «квадрат», а3 - «куб», а4 - «біквадрат», а5 - «кубоквадрат» і т.д. (ще в Диофанта в 3 в. і далі в ряду середньовічних авторів). Думка в багатомірному просторі виражав И. Кант (1746), а про приєднання до простору в якості 4-й координати часу писав Ж. Д'аламбер (1764). Побудова ж евклідової геометрії було здійснено А. Кели (1843), Г. Грассманом (1844) і Л. Шлефли (1852). Первісні сумніви й містика, зв'язані зі змішанням цих узагальнень із фізичним простором, були переборені, і n-мірний простір як плідне формально-математичне поняття незабаром повністю зміцнилося в математику.

Багатомірні простори виникли шляхом узагальнення, аналогії з геометрією на площині й у тривимірному просторі. На площині кожна крапка задається в системі координат двома числами - координатами цієї крапки, а в просторі - трьома координатами. В n-мірному ж просторі, крапка задається n координатами, тобто записується у вигляді A(x1, x2, ..., xn), де x1, x2, ..., xn - довільні дійсні числа (координати крапки А). На площині система координат має дві осі, у просторі - три, а в n-мірному просторі система координат містить n осей, причому кожні дві із цих осей перпендикулярні один одному. Звичайно, такі простори існують лише в уяві математиків і тих фахівців з інших областей з інших областей знання, які застосовують ці математичні абстракції. Адже реальний простір, у якому ми живемо, математично добре описується тривимірним простором (евклідовим або римановим, але саме тривимірним). Побачити - у буквальному, фізичному змісті цього слова - фігури в чотирьохмірному просторі (а тим більше в просторах більшого числа вимірів) не в змозі ніхто, навіть самий геніальний математик; їх можна бачити тільки думкою.

Існують різні парадокси четвертого виміру. Якщо, наприклад, на площині є кільце (оболонка), а усередині - кружок, то як би ми не рухали цей кружок по площині, вийняти його із цієї оболонки, не розриваючи її, неможливо. Але варто тільки вийти в третій вимір, і кружок легко вийняти з кільця, піднявши його нагору, над площиною, те, не прориваючи оболонку, неможливо вийняти з її ця кулька. Але якби існував четвертий вимір, то можна було б «підняти» кульку над тривимірним простором у напрямку четвертого виміру, а потім покласти його знову в тривимірний простір, але вже поза оболонкою. І те, що це зробити нікому не вдається, приводять як довід проти існування четвертого виміру. Довід помилковий, тому що в ньому поплутані два питання.

Перше питання: чи є в реальному? Відповідь на це питання негативний.

Друге питання: чи можна розглядати чотирьохмірний простір абстрактно, математично? Відповідь стверджувальна.

Немає нічого нелогічного або суперечливого в тім, щоб розглядати четвірки чисел (x1, x2, x3, x4), досліджувати властивості цих «чотирьохмірних крапок», становити з них фігури, доводити теореми, постійно ладу таким чином, геометрію чотирьохмірного (або, взагалі n-мірного) простору. Але математична несуперечність n-мірної геометрії ще недостатня для судження про цінність цієї теорії.

§2. Поняття векторного багатомірного простору на основі аксіоматики Вейля

У векторній аксіоматиці поняття вектора є одним з основних (необхідних) понять. Поняття числа теж будемо вважати основним поняттям і виходити з того, що теорія дійсного числа відома. Властивості операцій додавання векторів і множення вектора на дійсні числа приймемо за аксіоми. Тоді можна дати аксіоматичне визначення векторного простору.

Нехай V - деяка непуста множина, елементи якого будемо називати векторами, і які можуть бути довільної природи, R - множина дійсних чисел. Уведемо для векторів операції додавання векторів і множення вектора на дійсні числа з R будь-яким двом векторам a і b поставлений у відповідність певний вектор, називана сумою й позначуваний a+b;б) будь-якому вектору a і будь-якому дійсному числу б поставлений у відповідність певний вектор, називана добутком вектора на число й позначуваний через ба. И нехай при цьому виконуються наступні властивості аксіоми:1. a+b=b+a для будь-яких векторів a і b з V ;2. (a+b)+з=a+(b+c), для будь-яких векторів a, b, c V.3. Існує такий вектор О V, що а+О=а;4. Для будь-якого вектора а V існує такий вектор - a V , що а+(- а)=O;5. для будь-яких чисел і V;6. для будь-якого числа R і будь-яких векторів a і b з V;7.1? а = а для будь-якого вектора а V.

Тоді множина V називається дійсним лінійним векторним простором або векторним простором. Уведене визначення не накладає ніяких обмежень на природу елементів множини V, тому можуть існувати різні векторні простори.

Приклади: Векторний простір V1 - множина векторів на прямій; Векторний простір V2 - множина векторів на площині; Векторний простір V3 - множина векторів простору трьох вимірів; Множина різних багаточленів від один змінної також становить векторний простір. «Векторами» є багаточлени. Використовуючи твердження, що у звичайному просторі трьох вимірів існує три лінійно незалежних вектори, тобто виконується рівність:

, коли ;

Будь-яка система, що складається більш, ніж з 3-х векторів цього простору, лінійно залежна.

Продовжуючи будувати аксіоматичну теорію векторних просторів, уведемо наступне визначення.

Визначення: Векторний простір V називається n-мірним, якщо в ньому виконуються аксіоми:

9. У векторному просторі V існують n лінійно незалежних векторів.

10. Будь-яка система, що складається більш, ніж з n векторів простору V, лінійно залежна.

Число n називається розмірністю векторного простору й позначається символом dim V , а сам простір будемо позначати символом Vn. Базисом n-мірного векторного простору Vn називається будь-яка впорядкована система векторів, таких, що система лінійно незалежна; будь-який вектор простору Vn є лінійною комбінацією даної системи векторів. Базис не може мати більше трьох векторів і менш чим три вектори. Очевидно, що базис простору V3 будемо називати 3-мірним і позначати В = (е1, е2, е3), де вектори е1, е2, е3 називаються базисними. З аксіом 9 і 10 треба, що в n-мірному векторному просторі Vn існує хоча б один базис, що складається з n векторів. Можна довести, що в Vn існує незліченна множина базисів і кожної з них складається з n векторів.N-Мірний базис будемо позначати В = (е1, е2,…,еn), а вектори е1, е2,…,еn називати базисними. Наслідок: Будь-яка система, що складається більш ніж із трьох векторів звичайного простору трьох вимірів, лінійно залежна.

§3. Евклідовий векторний простір

Ладу аксіоматичну теорію аналітичної геометрії на векторній основі, уведемо наступне визначення.

Визначення

1: Скалярним добутком на векторному просторі V називається операція, що будь-якій парі векторів a і b ставить у відповідність деяке дійсне число, позначаємо символом a b і з наступними властивостями:

11. Для будь-яких векторів a, b V і будь-якого вектора a b= b а;

12. Для будь-яких двох векторів a, b V і будь-якого числа .

13. Для будь-яких трьох векторів a, b, c V ;

14. Для будь-якого ненульового вектора а V aa>0.

Визначення 2: Векторний простір Vn, у якому уведена операція скалярного добутку векторів, що задовольняє аксіомам 11-14, називається евклідовим векторним простором. Будемо позначати його символом Еn.

На основі визначення 1 можна ввести поняття довжини вектора й величини кута між векторами.

Число аа називається скалярним квадратом вектора а й позначається а2. З аксіоми 14 треба, що а2>0, отже, - дійсне позитивне число. Воно називається довжиною або нормою вектора й позначається: . Якщо 1, то вектор а називається одиничним.

На основі аксіом 11-14 можна вказати наступні твердження: Для будь-яких векторів a, b1, b2,…,bn виконується рівність

.

,

де а - довільний вектор;

Якщо

, те,

а якщо

, то ;

Якщо

, те

Можна показати, що якщо , те вектор є одиничним, його називають ортом вектора а. Він визначає той же напрямок, що й вектор а.

При рішенні метричних задач, тобто задач, пов'язаних з виміром довжин векторів і величин кутів, користуються ортонормированим базисом.

Визначення: Базис називається ортонормированним, якщо всі його вектори одиничні й попарно ортогональні, тобто якщо

й ( ) при .



Теорема. В евклідовому просторі Еn існують базиси.

Дійсно, якщо (а1, а2,…,аn) - ортогональний базис, то можна розглянути вектори

, ,…,...

Ясно, що базис (е1, е2,…,еn) ортонормированний, тому що його вектори одиничні й попарно ортогональні.

Уведемо позначення: В=(i, j) або B=(i, j, k) - ортонормированні базиси евклідових векторних просторів Е2 і Е3 відповідно.

§4. Поняття крапко-векторного афінного n-мірного простору

В §2 і §3 аксіоматично визначені різні векторні простори: лінійні векторні, n-мірні векторні, евклидови векторні. Але для побудови геометрії, тобто для розгляду різних геометричних фігур, одних векторів недостатньо, потрібні ще крапки.

Побудова вектора по двох крапках, уведемо наступне визначення.

Визначення. Афінним простором називають деяка множину А* елементів довільної природи, називаних крапками, для якої задано

а) деякий векторний простір V;

б) відображення, що будь-яким двом крапкам А и В А* ставить у відповідність деякий вектор з V, позначуваний АВ.

При цьому потрібне виконання наступних аксіом:

15. Для будь-якої крапки А А* і будь-якого вектора А з V існує єдина крапка В А* і будь-якого вектора а V існує єдина крапка В А*, така що АВ=а.

16. Для будь-яких трьох крапок А, В, З A* має місце рівність АВ+ВР=АС.

Аксіома 15 називається аксіомою відкладання вектора від крапки, а аксіома 16 - аксіомою трикутника, з якої треба правило трикутника й правило паралелограма додавання векторів.

Розмірність простору V називається розмірністю відповідного афінного простору А* і позначається символом А*n.

Відзначимо деякі важливі наслідки з аксіом 15-16.

При будь-якому виборі крапки А вектор АА нульової.

Якщо АВ=0, то крапки А и В збігаються.

Для будь-яких крапок А и В АВ = - ВА.

Якщо АВ=СD, то АС=ВD.

Для довільних крапок А1, А2,…,Аn виконується рівність А1А2+ А2А3+ Аn-1Аn= А1Аn (правило багатокутника додавання векторів).

Простір А*n містить незліченну множину крапок. На основі аксіом 1-10 і 15-16 афінної геометрії не можна ввести понять довжин відрізків і величин (мер) кутів. Ці поняття можна ввести, використовуючи скалярний добуток векторів.

Як відомо, введення в Vn скалярного добутку векторів приводить до евклідова векторного простору Еn.

Визначення. Афінний простір Аn*, у якому відповідне йому векторний простір Vn перетворене в евклідовий векторний простір Еn, називається евклідовим n-мірним простором.

Для цього простору введемо позначення Еn. Відповідно до визначення ясно, що всяке афінний простір Аn* можна перетворити в евклідовий простір Еn, задаючи на векторному просторі Vn скалярний добуток векторів, що задовольняє аксіомам 11-14 (§ 3).

Таким чином, в Еn виконуються аксіоми 1-16.

На основі аксіом евклидова простору будується евклидова геометрія.

В евклідовій геометрії, мабуть, справедлива вся викладена вище теорія афінної геометрії. Але простір Еn має метричні властивості, які випливають із аксіом скалярного добутку векторів і пов'язані з виміром довжин відрізків і мер кутів. Тому евклідова геометрію називають ще метричною геометрією.

Метричні аксіоми дозволяють установити метрику евклидова простору, тобто відстані між його крапками. Визначимо спочатку модуль |a| вектора а як ненегативний корінь із його квадрата, тобто

(4.1)

Вектори, модуль яких дорівнює 1, будемо називати одиничними векторами; одиничний вектор будемо позначати а0.

Будемо вважати відстанню між крапками А и В модуль вектора АВ; будемо позначати це відстанню АВ.

Таким чином, відстань АВ між крапками А(х) і В(y) визначається співвідношенням

(4.2)

З визначення відстані треба, що відстань симетрично, тобто

АВ=ВА (4.3)

Відстань позитивно, тобто (4.4) AB ? 0, причому знак дорівнює тільки при збігу крапок А и В.Покажемо, що для відстаней між крапками евклидова простору крім властивостей 1 і 2 виконується також «нерівність трикутника».відстань між усякими двома крапками не більше суми відстаней між цими крапками й третьою крапкою, тобто



АС ? АВ + ВР (4.5)

Множина крапок, для всяких двох крапок А и В якого визначене число АВ, що задовольняє умовам 1-3, називається метричним простором. Для доказу нерівності трикутника доведемо так звану нерівність Коші

(4.6)

Скалярний квадрат вектора a - tb ненегативний при будь-якому речовинному t

, тобто .

У випадку b = 0 обидві частини нерівності (4.6) рівні 0, тобто нерівність виконується автоматично.

Якщо , одержимо

Тоді нерівність прийме вид

, тобто ,

що рівносильне нерівності (4.6). Розглянемо три крапки А(х), В(у) і З(z).

Тоді



Мал. 1

Але в силу нерівності Коші

.

Тому

,

звідки одержуємо нерівність (4.5).

Глава 2. Багатомірні геометричні образи в n-мірних просторах

§5. Чотирьохмірний простір. Визначення і його дослідження

При побудові геометрії на прямій, на площині й у тривимірному просторі є дві можливості: або викладати матеріал за допомогою наочних подань (цей спосіб характерний для шкільного курсу, тому важко собі представити підручник геометрії без креслень), або - і цю можливість дає нам метод координат - викладати його чисто аналітично, назвавши, наприклад, крапкою площини в курсі планіметрії пари чисел (координати цієї крапки), а крапкою простору - трійку чисел. При введенні чотирьохмірного простору перша можливість у нас відсутній. Ми не можемо безпосередньо користуватися наочними геометричними поданнями - адже навколишнє нас простір має всього три виміри. Однак друга версія для нас не закрита. Справді, ми визначаємо крапку прямій як число, крапку площини як пари чисел, крапку тривимірного простору як трійку чисел. Тому зовсім природно побудувати геометрію чотирьохмірного простору, визначивши крапку цього уявлюваного простору як четвірку чисел. Під геометричними фігурами в такому просторі потрібно буде розуміти деякі множини крапок (як, втім, і у випадку звичайної геометрії). Перейдемо тепер до точних визначень.

Координатні осі й площини

Визначення. Крапкою чотирьохмірного простору називається впорядкована четвірка чисел (x, y, z, t).

Що вважати в просторі чотирьох вимірів координатними осями й скільки їх?

Щоб відповісти на це питання, повернемося на час до площини й тривимірного простору.

На площині (тобто в просторі двох вимірів) координатні осі - це множини крапок, у яких одна з координат може мати одне числове значення, а друга дорівнює нулю. Так, вісь абсцис - це множина крапок виду (х, 0), де х - будь-яке число. Наприклад, на осі абсцис лежать крапки (1, 0), (-3, 0), а крапка (1/5, 2) не лежить на осі абсцис.

Мал. 2

Вісь ординат площини - це множина крапок виду (0, у), де в - будь-яке число. У тривимірному просторі є три осі: вісь х - це множина крапок виду (х, 0, 0), де х - будь-яке число; вісь в - множина крапок виду (0, в, 0), де в - будь-яке число; вісь z - множина крапок виду (0, 0, z), де z - будь-яке число. У чотирьохмірному просторі, що складається із всіх крапок виду (x, y, z, t), де x, y, z, t - будь-які числа, природно вважати координатними осями такі множини крапок, у яких одна з координат приймає будь-які числові значення, а інші дорівнюють нулю. Тоді ясно, що в чотирьохмірному просторі є чотири координатні осі: вісь х - це множина крапок виду (х, 0, 0, 0), де х - будь-яке число; вісь в - множина крапок виду (0, в, 0, 0), де в - будь-яке число; вісь z - множина крапок виду (0, 0, z, 0), де z - будь-яке число, де в - будь-яке число; вісь t - множина крапок виду (0, 0, 0, t), де t - будь-яке число. У тривимірному просторі, крім координатних осей, є ще координатні площини. Це - площини, що проходять через дві які-небудь дві координатні осі. Наприклад, площина yz - це площина, що проходить через вісь y і вісь z.

Усього в тривимірному просторі є три координатні площини:

площина xy - множина крапок виду (х, в, 0), де х и в - будь-які числа;

площина yz - множина крапок виду (х, 0, z), де х и z - будь-які числа;

площина yz - множина крапок виду (0, в, z), де y і z - будь-які числа.

Природно, і в чотирьохмірному просторі називати координатними площинами множина крапок, у яких які-небудь дві із чотирьох координат приймають будь-які числові значення, а інші дві дорівнюють нулю. Наприклад, множина крапок виду (x, 0, z, 0) ми будемо називати координатною площиною xz чотирьохмірного простору. Скільки ж усього таких площин?

Випишемо їх:

площина ху - множина крапок, виду (х, в, 0, 0),

площина хz - множина крапок, виду (х, 0, z, 0),

площина хt - множина крапок, виду (х, 0, 0, t),

площина уz - множина крапок, виду (0, в, z, 0),

площина уt - множина крапок, виду (0, в, 0, t),

площина zt - множина крапок, виду (0, 0, z, t).

Для кожної із цих площин змінні координати можуть приймати будь-які числові значення, у тому числі й нульове. Наприклад, крапка (5, 0, 0, 0) належить площині xy і площини xt. Тоді легко бачити, що, наприклад, площина yz «проходить» через вісь в у тому розумінні, що кожна крапка цієї осі належить цій площині. Дійсно, будь-яка крапка на осі в, тобто крапка виду (0, в, 0, 0), належить множині крапок виду (0, y, z, 0), тобто площини yz.

Отже, у чотирьохмірному просторі існують множини крапок, аналогічні координатним площинам тривимірного простору. Їх шість. Кожне з них складається із крапок, у яких, як і в крапок координатних площин тривимірного простору, дві які-небудь координати можуть приймати будь-які числові значення, а інші дві дорівнюють нулю. Кожна із цих координатних площин «проходить» через дві координатні осі: наприклад, площина yz проходить через вісь в і вісь z. З іншого боку, через кожну вісь проходять три координатні площини. Так, через вісь х проходять площини xy, xz, xt. Будемо говорити, що вісь х є перетинанням цих площин. Всі шість координатних площин містять одну загальну крапку. Це крапка (0, 0, 0, 0) - початок координат.

Одержуємо аналогічну тому, що є в тривимірному просторі. Представимо схематичний малюнок, що допоможе створити деякий наочний образ розташування координатних площин і осей чотирьохмірного простору.

Мал. 3

На малюнку осі координат зображені прямими, показані координатні площини, все точно також, як і для тривимірного простору.

Однак, у чотирьохмірному просторі є ще множини крапок, які можна називати координатними площинами. На прямій є тільки початок координат, на площині є й початок координат, і осі в тривимірному просторі, крім початку й осей, з'являються ще й координатні площини. Природно, що в чотирьохмірному просторі з'являються нові множини, які будемо називати тривимірними координатними площинами.

Це - множини, що складаються із всіх крапок, у яких які-небудь три із чотирьох координат приймають усілякі числові значення, а четверта дорівнює нулю.

Таке, наприклад, множина, що має вид (х, 0, z, t), де x, z, t приймають усілякі значення. Ця множина будемо називати тривимірною координатною площиною xzt. Легко зрозуміти, що в чотирьохмірному просторі існує чотири координатні тривимірні площини:

площина xyz - множина крапок виду (x, y, z, 0),

площина xyt - множина крапок виду (x, y, 0, t),

площина xzt - множина крапок виду (x, 0, z, t),

площина yzt - множина крапок виду (0, y, z, t).

Кожна із тривимірних координатних площин «проходить» через початок координат і що кожна із цих площин «проходить» через три координатні осі (слово «проходить» ми тут уживаємо в тому розумінні, що початок координат і кожна із крапок осей належать площині). Наприклад, тривимірна площина xyt проходить через осі x, y, t.

Аналогічно, можна сказати, що кожна із двовимірних площин є перетинанням двох тривимірних площин.

Наприклад, площина ху є перетинанням тривимірних площин xyz і xyt, тобто складається із всіх крапок, що належать одночасно й тій і іншій множині.

Чотирьохмірний куб

Визначення сфери й куба

Перейдемо тепер до розгляду геометричних фігур у чотирьохмірному просторі. Під геометричною фігурою (як і у випадку звичайної геометрії) будемо розуміти деяку множину крапок.

Візьмемо, наприклад, визначення сфери: сфера є множину крапок, вилучених від деякої крапки на те саме відстань.

Це визначення вже можна використовувати, щоб за аналогією визначити сферу в чотирьохмірному просторі: що таке крапка, ми знаємо; що така відстань між крапками, теж знаємо.

Ми й приймемо визначення, перевівши його на мову чисел (для простоти, як і у випадку тривимірного простору, візьмемо сферу із центром на початку координат).



Мал. 4. 2-мірна куля (коло) 3-мірна куля

Визначення. Множина крапок (x, y, z, t), що задовольняють співвідношенню

(5.1)

називається чотирьохмірною сферою із центром на початку координат і радіусом R.

Якщо розглядати не сферу, а куля, то зазначена рівність треба замінити нерівністю

(5.2)

Це зауваження ставиться також до двовимірного й до тривимірного випадкам.

Розповімо тепер небагато про чотирьохмірному куб. Судячи з назви, його фігура, аналогічна звичайному, добре знайомому тривимірному кубу.



Мал. 5. 3-мірний куб

На площині теж є фігура, аналогічна кубу, - це квадрат.

Мал. 6. 2-мірний куб (квадрат)

Кубом називається множина крапок (x, y, z), що задовольняють співвідношенням:

(5.3)

Це «арифметичне» визначення куба не має потреби ні в якому кресленні. Однак воно повністю відповідає геометричному визначенню куба.

У просторі є й інші куби. Наприклад, множина крапок, обумовлених співвідношеннями теж є кубом. Цей куб добре розташований щодо координатних осей: початок координат є його центром, координатні осі й координатні площини - осями й площинами симетрії. Однак для наших цілей зручний саме куб, обумовлений співвідношеннями (5.3). Такий куб ми будемо іноді називати одиничним, щоб відрізнити його від інших кубів.

Мал. 7. Одномірний куб (відрізок)

Для квадрата теж можна дати арифметичне визначення: квадратом називається множина крапок (х, у), що задовольняють співвідношенням:

Порівнюючи ці два визначення, легко зрозуміти, що квадрат дійсно є, як говорять, двовимірним аналогом куба. Будемо називати іноді квадрат «двовимірним кубом».

Можна також розглянути аналог цих фігур і в просторі одного виміру - на прямій. Одержимо множину крапок х прямій, що задовольняють співвідношенням:

Ясно, що таким «одномірним кубом» є відрізок.

Визначення. Чотирьохмірним кубом називається множина крапок (x, y, z, t), що задовольняють співвідношенням

Пристрій чотирьохмірного куба

Розглянемо один по одному «куби» різних мір, тобто відрізок, квадрат і звичайний куб.

Відрізок, обумовлений співвідношеннями є дуже простою фігурою. Про нього можна сказати, що його границя складається із двох крапок: 0 і 1. Інші крапки відрізка будемо називати внутрішніми.

Границя квадрата складається із чотирьох крапок (вершин) і чотирьох відрізків. Таким чином, квадрат має на границі елементи двох типів: крапки й відрізки. Границя тривимірного куба містить елементи трьох типів: вершини - їх 8, ребра (відрізки) - їх 12 і границь (квадрати) - їх 6.

Запишемо ці дані у вигляді таблиці:

Склад границі Фігура	Крапок (вершин)	Відрізок (сторін, ребер)	Квадратів (граней)
Відрізок	2	-	-
Квадрат	4	4	-
Куб	8	12	6

Цю таблицю можна переписати коротше, якщо вмовитися писати замість назви фігури число n, рівне її розмірності: для відрізка n = 1; для квадрата n = 2; для куба n = 3.

Замість назви елемента границі теж можна писати розмірність цього елемента: для грані n = 2, для ребра n = 1.

При цьому крапку (вершину) зручно вважати елементом нульової розмірності (n = 0). Тоді попередня таблиця прикмет наступний вид:



Розмірність границі Розмірність куба	0	1	2
1	2	-	-
2	4	4	-
3	8	12	6
4	16	32	24

Ціль - заповнити четвертий рядок цієї таблиці.

Границя відрізка складається із двох крапок: х = 0 і х =1. Границя квадрата містить 4 вершини:

х = 0, в = 0; х = 0, в = 1; х = 0, в = 1; х = 1, в = 1, тобто крапки (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Куб , , містить вісім вершин. Кожна із цих вершин є крапка (x, y, z), у якій x, y, z заміняються або нулем, або одиницею. Одержуємо наступних 8 крапок:

(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1).

Вершинами чотирьохмірного куба:

, ,

називаються крапки (x, y, z, t), у яких x, y, z, t заміняються або нулем, або одиницею. Таких вершин 16.



Мал. 8

Тоді ребрами (тривимірного) куба є сторони.

Мал. 9

х = 0, в = 0, (ребро АА1)

, в = 0, z = 1 (ребро АB1)

х = 1, , z = 1 (ребро B1А1) і т.д.

Визначення. Ребрами чотирьохмірного куба називається множина крапок, для яких всі координати, крім однієї, постійні (рівні 0, або 1), а четверта приймає всі можливі значення від 0 до 1.

Насамперед будемо розрізняти чотири групи ребер: для першою нехай змінною координатою є х ( ), а y, z, t приймають постійні значення 0 і 1 у всіх комбінаціях. Тому що існує 8 різних трійок з нуля й одиниці. Тому ребер першої групи - 8. Ребер другої групи, для яких змінної є не х, а в, теж 8. Таким чином, ясно, що всього в чотирьохмірного куба 32 ребра. Крім ребер у куба є грані, які, у свою чергу розділяються на двовимірні й тривимірні грані чотирьохмірного куба. У чотирьохмірного куба 24 двовимірної грані й 8 - тривимірних (вони зображені паралелепіпедами (мал. 10)).

4 - мірний куб Мал. 10

§6. Геометрія k-площин в афінному і евклідовому просторах

Визначення k-площини

Нехай в n-мірному афінному просторі Un зафіксовані довільна крапка А, і у відповідному лінійному просторі Ln зафіксований довільне k-мірний підпростір Lk.

Визначення. Множина всіх крапок М афінного простору, для яких АМ Lk, називають k-мірною площиною, що проходить через крапку А в напрямку підпростором Lk.

Говорять також, що Lk є напрямний підпростір цієї площини. Очевидно, що кожна площина визначає однозначно свій напрямний простір.

Крапку М називають поточною крапкою площини. На малюнку показані три положення М1, М2, М3 поточні крапки М.

Мал. 11, де k = 2



Окремі випадки k-площин

Якщо k = 0, то площина складається з однієї крапки А. Тому кожну крапку афінного простору можна розглядати як нуль-мірну площину.

Одномірна площина називається прямою лінією.

Площина розмірності n - 1 називається гіперплощиною.

При k = n площина збігається з усім простором Un.

У визначенні площини виділена крапка А. Доведемо, що в дійсності всі крапки площини рівноправні.

Позначимо площину через Пk і зафіксуємо довільну крапку В. Треба довести, що крапка М належить площини Пk тоді й тільки тоді, коли (тобто що будь-яка крапка М може відігравати роль А).

Нехай . По визначенню площини . Звідси й по визначенню підпростору

,

тому . Обернено, якщо , те отже,

.

Мал. 12

Теорема. Усяка k-мірна площина в афінному просторі сама є k-мірним афінним простором.

Доказ. Нехай дане афінний простір U, якому відповідає лінійний простір L, нехай Пk - площина, що проходить через крапку А в напрямку підпростору Lk. Візьмемо в площині Пk дві довільні крапки M, N . По визначенню афінного простору їм відповідає вектор . По визначенню площини вектори АМ і АN належать підпростору Lk.

Отже,

Таким чином, кожній упорядкованій парі крапок М, N площини Пk, поставимо у відповідність вектор MN з k-мірного простору Lk. При цьому дотримуються для Пk аксіоми, що випливають із визначення k-мірної площини й для всього афінного простору U. Теорема доведена.

Зауваження. Якщо площина проходить через початок афінної системи координат у напрямку підпростору Lk, то сукупність радіус-векторів її крапок утворить підпростір, по визначенню співпадаюче з підпростором Lk.

Нехай в афінному просторі U дані крапки А0, А1,…,Аk (у числі k + 1). Ці крапки перебувають у загальному положенні, якщо вони не належать ні однієї (k -1)-мірної площини .

Перевіримо, що крапки А0, А1,…,Аk перебувають у загальному положенні тоді й тільки тоді, коли вектори А0А1,…,А0Аk лінійно незалежні (мал. 13), причому байдуже, яку із крапок брати в якості А0 (тобто за початок векторів, що йдуть із її в інші крапки).

Мал. 13



Зі сказаного в цьому пункті й з визначення площини треба, що через систему крапок А0, А1,…,Аk, що перебувають у загальному положенні, проходить k-мірна площина й притім тільки одна.

Припустимо, що в просторі Un зафіксована яка-небудь афінна система координат з початком О и базисом е1, е2, …, еn. Розглянемо площину Пk, що проходить через крапку А в напрямку підпростору Lk.

Будемо вважати, що крапка А має координати р1, р2, …, рn і що Lk задається як незалежна система векторів q1, q2, …, qk... Тоді радіус-вектор ОМ поточної крапки площини можна записати у вигляді

(6.1)

де параметри ф1, ф2, …, фk незалежно друг від друга пробігають усілякі числові значення, а вектор

(мал. 14)

Мал. 14

Розкладемо вектор q1, q2, …, qk по базисі е1, е2, …, еn:

Координати поточної крапки М позначимо, як звичайно, через (x1, x2, …, xn) і запишемо векторну рівність у координатах. У результаті одержимо n числових рівностей.

(6.2)

Ці рівності називаються параметричними рівняннями площини Пk.

Приклад. Простір, досліджуваний у стереометрії, є тривимірним афінним простором. У ньому одномірні й двовимірні площини збігаються відповідно із прямими лініями й площинами, що розуміються в елементарно-геометричному змісті. На відміну від простору, досліджуваного в елементарній геометрії, в афінному просторі не визначені метричні поняття: відстані між крапками й довжини ліній, площі й об'єми фігур, кути й перпендикулярність. При дослідженні фігур в афінному просторі вивчаються лише ті геометричні властивості, які не залежать від метричних понять.

2. Рівняння k-площини по k+1 крапкам

Якщо задані k+1 крапок А0(х0), А1(х1), …, Аn(хn) і вектори А0Аа = ха - х0 незалежні, те ці крапки визначають єдину k - площина, що проходить через них: у цьому випадку за напрямні вектори цієї площини можна прийняти вектори А0Аа й векторне рівняння k-площини можна записати у вигляді

(6.3)

Будемо називати k-площину, обумовлену крапками А0(х0), А1(х1), …, Аn(хn), k-площиною А0, А1, …, Аk.

Випадок k = n-1

Надалі будемо часто мати справа з k-поверхнями й k-площинами при k = n - 1. Говорячи, «поверхня n-простору» і «площина n-простору», але мати на увазі (n - 1)-поверхня й (n - 1)-площина цього простору. Часто поверхня й площина називається відповідно гіперповерхнею й гіперплощиною.

Поверхня можна задати одним координатним рівнянням

(6.4)

якщо координати xi, що задовольняють цьому рівнянню, можна представити як функції n - 1 параметрів t1, t2, …, tn-1, те одержимо

F(x) = 0. (6.5)

3. Взаємне розташування площин

3.1 Пересічні площини

У всім цьому пункті розмірності площин і підпросторів позначені індексами знизу. Нехай дві площини Пk і Пl перетинаються, то їхнім перетинанням є деяка площина Пm.

k = l = 2, m = 1

Мал. 15

Зауваження 1. Не виключена можливість, що Пm складається з однієї крапки (m = 0). Це видно на прикладі двох пересічних прямих або прямій і площині (мал. 16).



Мал. 16

У загальному випадку по одній крапці можуть перетинатися дві площини, сума різниць яких не перевищує розмірності простору, наприклад, двовимірні площини в чотирьохмірному просторі.

Зауваження 2. Не виключене й інше, коли одна із двох площин цілком належить інший. Наприклад, , тоді (мал. 17)

k = m = 1, l = 2

Мал. 17

2) Якщо площини Пk і Пl перетинаються по площині Пm, те існує єдина площина Пr, розмірності r = k + l - m, що містить Пk і Пl, причому ні в якій площині меншої розмірності Пk і Пl не можуть одночасно поміститися. Напрямний підпростір Lr площини Пr є сумою напрямних підпросторів Lk і Ll. Ця сума є прямою сумою тоді й тільки тоді, коли Пk і Пl перетинаються по одній крапці (m = 0, див. мал. 18).

Мал. 18



В окремому випадку, коли n = k + l - m, роль площини Пr виконує весь простір Un (при r = n = 3 див. мал. 15).

3) Якщо пересічні площини Пk і Пl утримуються в якій-небудь площині Пr, те розмірність їхнього перетинання . Зокрема, для будь-яких двох непересічних площин з Un.

4) Якщо площини Пk і Пl проходять через крапку А в напрямку підпросторів Lk і Ll відповідно і якщо Lk утримується в Ll, те площина Пk утримується в площині Пl. Якщо при цьому k = l, то Пk збігається з Пl (також і Lk збігається з Ll).

Паралельні площини

Нехай тепер площина Пk визначається крапкою А и підпростором Lk, а площина Пl - крапкою В и підпростором Ll. Будемо вважати, що .

Визначення: Площина Пk паралельна площини Пl, якщо .

У цьому випадку площина Пl паралельна площини Пk.

Зауваження 1. Відповідно до цього визначення включення є часткою случаємо паралельності.

Зауваження 2. Якщо Пk паралельна Пl, причому k = l, то Lk збігається з Ll.

Зауваження 3. Переконаємося, що при n = 3 частки випадки k = l = 1,

k = l = 2 і k =1, l = 2 погодяться з поняттям паралельності прямих і площин, відомим з елементарної геометрії (мал. 19)

Нехай у довільної афінної системі координат дві площини П и Пl однакової розмірності задані системами лінійних рівнянь. Користуючись визначенням паралельності, неважко встановити наступне твердження.



Мал. 19. а) б) в)

Твердження. Для того, щоб П и П' були паралельними, необхідно й досить, щоб відповідні однорідні системи рівнянь були еквівалентні.

Зокрема, дві гіперплощини паралельні тоді й тільки тоді, коли в тих самих координатах вони задаються рівняннями

і (6.6)

(6.7)

с пропорційними коефіцієнтами при змінних:

.

Теорема 1. Нехай в афінному просторі Un дані площина Пk і крапка В. Тоді існує єдина площина розмірності k, що проходить через крапку В паралельно Пk. Якщо , то збігається з Пk; якщо крапка В розташована поза Пk, те площини Пk і не перетинаються.

Перехресні площини

Визначення. Дві площини називаються перехресними, якщо вони не перетинаються й не паралельні.

Відомо, що в тривимірному просторі U3 дві прямі лінії, тобто одномірні площини, можуть схрещуватися, тоді як пряма лінія й двовимірна площина в U3 схрещуватися не можуть. З підвищенням розмірності простору воно стає більше просторим, у результаті чого з'являється можливість будувати в ньому перехресні площини різних мір, а не тільки одномірні. Нижче сформульована теорема 2, зміст якої можна розглядати як загальний прийом побудови перехресних площин. Саме, нехай в афінному просторі Un дана площина Пl (l < n). Візьмемо довільну площину Пk так, щоб Пk і Пl не були паралельні й перетиналися; площина, по якій вони перетинаються, позначимо через Пm. Нехай Пr - площина найменшої розмірності, що містить Пk і Пl. Ми знаємо, що r = k + l - m.

Теорема 2. Якщо , то всяка k-мірна площина, що паралельна Пk і не лежить у Пr, схрещується з Пl.

Наслідок. Якщо цілі числа k, l, m, n задовольняють нерівностям

, , ,

те в Un найдуться перехресні площини Пk і Пl з напрямними підпросторами Lk і Ll, перетинання яких має розмірність m.

Доказ теореми 2. Тому що

,

те площина Пr не вичерпує собою всього простору Un. Це дозволяє взяти (з більшою сваволею) крапку З, що не лежить у Пr. Позначимо через площину розмірності k, що проходить через крапку З, паралельно Пk. Ясно, що не втримується в Пr і що, вибираючи по-різному крапку З, ми можемо одержати будь-яку k-мірну площину, що задовольняє умові теореми. (Див. мал. 14, на якому k = l = 2, r = 2, n = 4, і тривимірні площини умовно зображені у вигляді паралелепіпеда).



Мал. 20

Доведемо, що площини Пl і схрещуються. Помітимо, що площина не паралельна Пl, тому що в противному випадку або , або , що суперечить умові розташування площин Пk і Пl.

Тепер доведемо, що й Пl не перетинаються. Проведемо через крапку З допоміжну r-мірну площину , паралельну Пr. Тоді й тому Пk не може перетнути Пl тому що в противному випадку крапка їхнього перетинання належала б паралельним площинам Пr і . Отже, схрещується з Пl. Теорема 2 доведена.

Нехай в n-мірному афінному просторі Un дані перехресні площини Пk і Пl з напрямними підпросторами Lk і Ll, причому

, .

Теорема 3. Існує єдина площина Пr+1 розмірності , що містить площини Пk і Пl.

Доказ. Візьмемо довільну крапку й зафіксуємо довільну крапку ; позначимо через лінійну оболонку вектора (мал. 16). Допустимо, що існує якась площина , що містить Пk і Пl; нехай - її напрямний підпростір. Очевидно, що повинне містити Lk, Ll і , а отже, і суму цих підпросторів. Позначимо цю суму через Lr+1:

Обернено, якщо - будь-який підпростір, що включає Lr+1, те, що проходить через крапку А в напрямку , буде містити Пk і Пl. Справді, тому що й , те ; тому що , те, тому що

й , те .

Мал. 21

Одержимо серед всіх площин шукану площину Пr+1 мінімальної розмірності r + 1 у тім єдиному випадку, коли в якості береться Lr+1. Підрахуємо r + 1. Із цією метою розглянемо

й позначимо розмірність через р. По теоремі 3 (в n-мірному просторі L є підпростори Lk і Ll, розмірності яких відповідно рівні k і l. Якщо їхнє перетинання має розмірність m, то розмірність їхньої суми Lk + Ll дорівнює r = k + l - m) маємо р = k + l - m.

Покажемо, що

є пряма сума, тому розмірність Lr+1 дорівнює р + 1, тобто

(r + 1) = (k + l - m) +1

Для цього досить показати, що вектор не належить простору . Припустимо противне. Нехай . Тоді по визначенню суми підпросторів існують вектори х и в такі, що

, , . (v)

По першій аксіомі афінного простору найдеться крапка З така, що , причому . По другій аксіомі афінного простору

. (vv)

З огляду на (v), (vv), знаходимо, що , так що . Виходить, що площини Пk і Пl мають загальну крапку З, але це неможливо, оскільки площини Пk і Пl схрещуються. Теорема 3 доведена.

Зауваження. Малюнок 20 лише частково ілюструє теорему 3. Наприклад, якщо розмірності Пk і Пl більше m і різні між собою,

, те, як,

Проведені вище міркування показують, що площини Пk і Пl, про які мова йде в теоремі 3, не втримуються ні в якій площині меншої розмірності, чим r + 1.

Зберігаючи позначення попереднього підпункту, сформулюємо достатню умову перетинання двох площин.

Теорема 4. Якщо в Un дані площини Пk і Пl, такі, що

,

де m - розмірність перетинання Lm напрямних підпросторів Lk і Ll, то Пk і Пl перетинаються.

Доказ. Крім тривіального випадку, коли яка-небудь із даних площин збігається з усім простором, має

У розташуванні двох даних площин можуть бути лише три можливості:

або Пk паралельна Пl;

або площини Пk і Пl схрещуються;

або вони перетинаються.

Якщо Пk паралельна Пl, то для розмірності m перетинання відповідних їм просторів Lk і Ll маємо m = min (k, l). Теорема доведена.

2. Розмірність різноманіття k-площин

Знайдемо розмірність Рn,k, різноманіття всіх k-площин n-простору.

Насамперед помітимо, що число параметрів, від яких залежать k+1 крапок M0, M1, …, Mk n - простору з лінійно незалежними векторами , через які проходить єдина k-площина, дорівнює числу координат, цих крапок, тобто (k +1)n. Далі помітимо, що число параметрів, від яких залежать ті ж крапки на k-площині, дорівнює числу параметрів цих крапок, тобто (k +1)k.

Тому що в n-просторі, число параметрів, від яких залежать крапки дорівнює сумі числа Рn,k і числа параметрів, від яких залежать крапки на k-площині, то одержимо, що

, тобто

. (6.7)

§7.K-Паралелепіпеди в просторі

1. Напівплощини й паралелепіпеди

Якщо в рівнянні

(7.1)

k-площини надавати одному з параметрів tb тільки ненегативні значення , а іншим параметрам - довільні дійсні значення, ми одержимо k-напівплощину, що обмежується (k-1)-площиною,

(7.2)

Якщо в тім же рівнянні (7.1) додати всім параметрам тільки значення , ми одержимо k-паралелепіпед з вершинами

;

2-паралелепіпеди називаються паралелограмами.

Умовимося називати k-паралелепіпед з вершинами А0, А1, А2, …, А12…k паралелепіпедом А0 А1 А2 … А12…k...

На малюнку 22 зображений 3-паралелепіпед А0 А1 А2 А3 А12 А13 А123 і паралелограм А0 А1 А2 А12.

а) б)

Мал. 22

2. Грані паралелепіпеда

Надаючи в рівнянні (7.1) значення всім параметрам при , а параметру - значення або , ми одержимо (k - 1)-паралелепіпеди, що є гранями k-паралелепіпеда. Грані цих (k- 1)-паралелепіпедів називаються (k - 2)-гранями k-паралелепіпеда, грані цих (k-3)-гранями k-паралелепіпеда й т. буд. Таким чином, k-паралелепіпед володіє р - гранями, де р - пробігає значення від 0 до k - 1, 0-грануй паралелепіпеда збігаються з його вершинами, 1-грані називаються ребрами (при m= 2 - сторонами). На малюнку 22 (а) сторони паралелограма - чотири відрізки А0 А1, А0 А2, А0 А3, А0 А12, А1 А13, А2 А12, А2 А23, А3 А13, А12 А123, А13 А123, А23 А123; 2-грані - шість паралелограмів А0 А1 А1 А12, А0 А1 А3 А13, А0 А2 А3 А23, А1 А12 А13 А123, А2 А12 А23 А123, А3 А13 А23 А123.

Число р-граней k-паралелепіпеда дорівнює

, де

число сполучень із k по р.

3. Об'єм прямокутного паралелепіпеда

Визначимо об'єм прямокутного k-паралелепіпеда, тобто такого k-паралелепіпеда, у якого всі вектори ра попарно перпендикулярні. Довжина будь-якого відрізка прямокутного k - паралелепіпеда називається його виміром.

Об'єм прямокутного k-паралелепіпеда називається його виміром.

Об'єм прямокутного k-паралелепіпеда тільки постійним множником відрізняється від добутку його вимірів, тобто функція відрізняється від добутку вимірів прямокутного паралелепіпеда тільки постійним множником .

Надалі будемо вважати цей постійний множник рівним 1, тобто будемо вважати, що об'єм Vk прямокутного k -паралелепіпеда дорівнює добутку його вимірів.

(7.4)

4. Об'єм довільного паралелепіпеда

Порівнюючи прямокутні k-паралелепіпед і (k-1)-паралелепіпед з об'ємами, рівному даному k-паралелепіпеду й однієї з його граней ми одержимо, що об'єм Vk k-паралелепіпеда дорівнює добутку об'єму Vk-1 однієї з його (k-1)-граней на відстань hk між цією гранню й паралельної їй (k-1)-гранню.

(7.5)

Якщо назвати виділену (k-1)-грань k-паралелепіпеда його підставою, а відстань hk його висотою, то формула (7.5) показує, що об'єм k-паралелепіпеда дорівнює добутку об'єму його підстави на висоту.



Об'єм Vk k-паралелепіпеда, обумовленого рівнянням

при , визначається співвідношенням

,

т. е. квадрат об'єму цього паралелепіпеда дорівнює визначнику Грама, складеному з k векторів ра.

Твердження очевидно при k =1, коли паралелепіпед збігається з відрізком, обумовленим вектором р1, і об'єм цього паралелепіпеда збігається з довжиною цього відрізка , тобто .

Розглянемо тепер k-паралелепіпед і припустимо, що наше твердження справедливо для його (k - 1)-граней. Розглянемо його (k - 1)-грань, обумовлену рівнянням , при й . Тоді скалярний квадрат векторного добутку в k-площині k-паралелепіпеда, дорівнює визначнику Грама, складеному з k-1 векторів (а < k), дорівнює об'єму цієї (k - 1)-грані. Тому що об'єм Vk k-паралелепіпеда дорівнює добутку об'єму Vk-1 цієї (k-1)-грані на відповідну висоту hk , те об'єм Vk дорівнює

, (7.7)

де - кут між вектором рk і перпендикуляром до (k-1)-грані в k-площині k-паралелепіпеда.

5. Афінність k-паралелепіпедів

Якщо дані два довільних k-паралелепіпеди А0 А1…Аk…А12…kі

В0 У1…Вk…В12…k,те системи крапок А0, А1, … ,Аk і В0, В1, … ,Вk визначають афінний перетворення, що переводить перші із цих крапок у другі. Тому що при афінному перетворенні площини переходять у площині, а паралельні площини в паралельні площини, це афінний перетворення переводить весь k- паралелепіпед А0 А1…Аk…А12…kв k-паралелепіпед В0 В1…Вk…В12…k...Тому всякі два k-паралелепіпеди афінні.

Відносний об'єм k-паралелепіпеда, обумовленого рівнянням

і ,

при афінному перетворенні відносні величини перетворяться по формулі, тобто множиться на визначник матриці цього афінного перетворення, якщо k-паралелепіпед з об'ємом Vk переходить при афінному перетворенні з матрицею в k-паралелепіпед з об'ємом , те

(7.8)

Звідси випливає, що відносини відносних об'ємів k-паралелепіпедів не змінюються при афінних перетвореннях.

Опуклі багатогранники

У цьому пункті будемо розглядати дійсне k-мірне афінний простір , уважаючи, що в ньому дана афінна система координат.

Нехай через деяку крапку з координатами , проведена пряма в напрямку вектора , координати якого позначимо . Відповідно до викладеного раніше цю пряму можна задати параметричними рівняннями

, . (7.9)

.

Нехай на прямій (9) обрані які-небудь крапки й . Відповідні ним значення параметра позначимо й . Припустимо, що < .

Визначення. Множина крапок прямій, що задовольняють нерівністю , називається відрізок .

Якщо крапка має координати , крапка має координати , то як напрямний вектор прямій можна взяти вектор . Тоді , і для крапки прямій маємо

причому = 0 у крапці , = 1 у крапці , так що відрізок задається тепер нерівностями 0 1. Покладемо 1 = , = . Тоді для крапок відрізка й тільки для них маємо , , (7.10)

, , .

Крапка, у якій

,

називається серединою відрізка .

Визначення. Множина крапок дійсного афінного простору називається опуклим, якщо разом з кожними двома своїми крапками , воно містить відрізок .

Найпростішими прикладами опуклих множин можуть служити: відрізок, площина будь-якої розмірності, весь простір .

Множина, що складається з однієї крапки, і порожня множина також уважається опуклими.

З визначення треба, що перетинання будь-якої сукупності опуклих множин саме є опуклою множиною. Справді, якщо крапки , належать перетинанню деякої сукупності опуклих множин, то відрізок належить кожному з них множин, а виходить, і їхньому перетинанню.

Нехай у просторі дана довільна гіперплощина

. (7.11)

Гіперплощина (11) розвиває простір на дві частини, називані відкритими півпросторами. Їхні крапки характеризуються нерівностями

і відповідно. (7.12)

Приєднуючи до відкритого півпростору гіперплощина (11), ми одержимо так званий замкнутий півпростір. Одне з них складається із крапок, координати яких задовольняють нерівностям.

Істотно, що розглянутий простір є дійсним.

Кожний півпростір є опуклою множиною.

У такий спосіб довільна крапка належить простору (7, 12). Але крапка на відрізку взятий довільно, виходить, весь відрізок належить простору.

Визначення. Перетинання кінцевого числа півпросторів (якщо воно не порожнє) називається опуклим багатогранником.

Обмежимося розглядом багатогранників, утворених перетинанням замкнутих півпросторів. З наочної точки зору опуклий багатогранник являє собою шматок простору, висічений декількома гіперплощинами. ( =3).

2

Мал. 23 Мал. 24

Може бути так, що багатогранник цілком утримується в якійсь -мірної площини < (при = 3, = 2).

2

Мал.25

Багатогранник називається -мірним паралелепіпедом, якщо в деякої афінної системі координат він задається нерівностями

0 1, і побудований на незалежних векторах , прикладених до крапки .

Де - початок у координатах, і - базис. -мірний паралелепіпед при = 1 являє собою відрізок, при = 2 - паралелограм.

Частина паралелепіпеда (0 1, ), розташована в який-небудь із гіперплощин = 0 або = 1, сама є ( - 1)-мірним паралелепіпедом і називається ( - 1)-мірною гранню паралелепіпеда.

Приклад. У тривимірному евклідовому просторі із заданої декартової прямокутною системою координат ( ) розглянемо прямокутні паралелепіпеди, ребра яких паралельні координатним осям. Нехай ( ) - координати центра паралелепіпеда, - довжини його ребер, паралельних осям відповідно. Позначимо через множину тих паралелепіпедів зазначеного виду, центри яких лежать у кубі , , , довжини ребер не перевищують . Кожному паралелепіпеду із множини можна поставити у відповідність крапку шестимірного афінного простору з координатами ( , ). Тоді сама множина можна розглядати як шестимірний паралелепіпед.

, , ,

, , .

Потім, що геометричні фігури одного простору часто буває зручно розглядати як крапки іншого простору.

Визначення. Множина крапок в афінному просторі називається обмеженим, якщо координати всіх крапок цієї множини задовольняють нерівності ( > 0 - деяке число).

Це визначення не залежить від вибору афінної системи координат. Множина обмежено в тім і тільки в тому випадку, якщо воно втримується в деякому паралелепіпеді.

Визначення. Опуклою оболонкою множини крапок в афінному просторі називається така опукла множина , що втримується в будь-якій опуклій множині, що містить .

Приклад. 1) Опуклою оболонкою двох крапок , є відрізок .

2) Опукла оболонка будь-якого кінцевого числа крапок є обмеженим опуклим багатогранником, а кінцева система крапок - його вершинами.

Нехай в афінному просторі дані крапки з радіус-векторами відповідно.

Визначення. Опукла оболонка системи крапок , що перебувають у загальному положенні, називається -мірним симплексом з вершинами .

Симплекс із вершинами при . При цьому числа називаються барицентрическими координатами крапки симплекса, що має радіус-вектор .

Окремі випадки:

нульмірний симплекс - одна крапка;

одномірний симплекс - відрізок;

двовимірний симплекс - трикутник;

тривимірний симплекс - трикутна піраміда.

Крапка симплекса, у якій всі координати рівні між собою , називається центром симплекса.

Нехай - симплекс із вершинами ; і нехай - який-небудь із його вершин. -мірний симплекс, що є опуклою оболонкою вершин називається -мірною гранню симплекса . Одномірні грані, тобто відрізки, що з'єднують вершини, називаються ребрами симплекса.

Дві грані розмірності й - називаються протилежними гранями симплекса , якщо вони не мають загальних вершин.

Як вправи доведемо, що симплекс є опуклою оболонкою пари протилежних граней, і що протилежні грані симплекса завжди розташовуються в перехресних площинах і що відрізок, що з'єднує центри протилежних граней, проходить через центр симплекса.

Доведемо, що -мірний симплекс в -мірному просторі являє собою перетинання замкнутих підпросторів у числі .

Нехай - вершини симплекса . Приймемо за початок координат, базис виберемо в такий спосіб:

, , …, ...

Тоді співвідношення при в координатах приймуть вид

(7.13)

звідки треба, що

(7.14)



З іншого боку, з (7.14) випливає (7.13),якщо покласти для

,

Таким чином, системи (7.13) і (7.14) еквівалентні й задають той самий симплекс . (при =3).

Мал. 26

Система нерівностей (7.14) показує, перетинанням яких півпросторів утворений симплекс .

Вище говорилося, що багатогранник можна представити у вигляді шматка простору, «висіченого» декількома гіперплощинами.

Відзначимо попутно, що слово «симплекс» (simplex) у перекладі з латинського означає «простий».

У наступному параграфі даної глави відбудеться знайомство з -симплексами в просторі.

§8. K-Симплекси в просторі

Симплекси

Якщо задані крапок не лежачих в одній ( ) -площини, то крапки, обумовлені радіус-векторами



, (8.1)

де індекс пробігає значення від 0 до , а параметри зв'язані умовою

(8.2)

утворять - симплекс із вершинами , що будемо називати - симплексом .На малюнку 23 а, б, і в зображений 2 - симплекс (трикутник) 3 - симплекс (тетраедр) і 4 - симплекс .

2

2

Мал. 27

Грані симплекса

Якщо в рівнянні (8.1) один з параметрів дорівнює 0, одержуємо - симплекс, називаний гранню - симплекса. Грані цих - симплексів називаються - гранями - симплекса, грані цих -симплексів називаються - гранями - симплекса й т.д. Таким чином, - симплекс володіє - гранями, де пробігає значення від 0 до ; 0 - грануй - симплекса збігаються з його вершинами, 1-грані називаються ребрами (при - сторонами). На малюнку 3, а сторони трикутника - 3 відрізки ; на малюнку 3, б ребра тетраедра - 6 відрізків , 2 -грані-4трикутники А0А1А2, ; на малюнку 3, в - ребра 4 - симплекси - 10 відрізків , , , 2 - грані - 10 трикутників , , , , , , , 3-грані - 5 тетраедрів , , , , .

Якщо представимо вектори у вигляді , то формулу (1) можна переписати у вигляді , де параметри обмежені умовами 0 , .

Тому що будь-яка система вершин - симплекса визначає - грань симплекса, число - граней симплекса дорівнює числу сполучень із по , тобто = . (8.3)



Об'єм симплекса

Насамперед покажемо, що об'єм довільного - симплекса виражається через об'єм однієї з його - граней і відстані від вершини, що лежить проти цієї грані, до площини цієї грані по формулі

. (8.4)

2

Мал. 28

Якщо будемо називати виділену -грань - симплекса його підставою, а відстань - його висотою, то формула (8.4) показує, що об'єм - симплекса дорівнює добуток його підстави на висоту. Нехай підстава k - симплекса (на малюнку 28 зображується при )

Проведемо площину, паралельну площини - грані на відстані від її. Це площина висіче з нашого k - симплекса -симплекс і відітне від нього k - симплекс , Позначимо -симплекса через , те формулу для визначення об'єму k - симплекса можна записати у вигляді



(8.5)

Тому що k - симплекса може бути отриманий з k - симплекса гомотетиєю із центром у вершині й з коефіцієнтом виходить із - грані тієї ж гомотетиєю. Тому що матриця гомотетії, що відображає - грань на - грань є матрицею -20 порядку виду , визначити цієї матриці дорівнює й об'єм може бути записаний у вигляді

Тому

.

Застосовуючи формулу (4) до об'єму - грані, виразимо цей об'єм через об'єм однієї з її - граней і відповідну висоту цієї - грані. Аналогічно виразимо об'єми , , … , і площа , вкладених друг у друга - грані, - грані, …, 3-грані й 2-грані симплекса через об'єми , …, , площу й довжину одного з ребер - симплекса й відповідні висоти , , … , цих граней, одержимо що

.

У тому випадку, коли k - симплекс визначається рівнянням (1), де , добуток … дорівнює об'єму k - паралелепіпеда, обумовленого рівнянням

с векторами при 0 , тому об'єм k - симплекса пов'язаний з об'ємом відповідного k - паралелепіпеда співвідношенням

= (8.6)

Тому що квадрат об'єму в силу (7.6 з § 7) дорівнює визначнику Грама, складеному з вектора , з формули (8.6) випливає, що об'єм k - симплекса, обумовленого рівнянням (8.1), де , визначається співвідношенням



(8.7)

Об'єм - симплексу, обумовленого рівнянням (8.1) при = , де , дорівнює

= , (8.8)

квадрат косого добутку ( ) дорівнює визначнику Грама, складеному з векторів .

Афінність k - симплексів

Якщо дані два довільних k - симплекси й , то системи їхніх вершин визначають афінний перетворення, що переводить першу із цих систем вершин у другу.

Тому що при афінному перетворенні площини переходять у площині, це афінний перетворення переводить весь k - симплекс в k - симплекс .

Тому всякі два k - симплекси афінні.

Відносний об'єм k - симплекса, обумовленого рівнянням (8.1) при = , де , виражається по формулі при афінному перетворенні з оператором множиться на визначник матриці оператора , одержуємо, що при афінному перетворенні відносні об'єми всіх k - симплексів множаться на визначник матриці цього афінного перетворення, тобто якщо k - симплекс із відносним об'ємом переходить при афінному перетворенні з матрицею в k - симплекс із об'ємом , те, так само як у випадку k - паралелепіпедів,

= . (8.9)

Звідси випливає, що відносини об'ємів k - симплексів не змінюються при афінних перетвореннях.

Правильний k - симплекс

Визначення правильних багатокутників і багатогранників дозволяє визначити правильний k - симплекс.

Насамперед побудуємо правильний k - симплекс. Правильний k - симплекс при = 2 - рівносторонній трикутник. Рівносторонній трикутник із центром на початку координат і зі стороною на прямій має вершини в крапках з координатами , і .

2

Мал. 29

Для побудови правильного k - симплекса із центром на початку системи прямокутних координат і із гранню на площині припустимо, що ми побудували правильний - симплекс.

Тому що центр О k - симплекса ділить відрізок прямої між крапкою й площиною у відношенні : 1, а пряма збігається з -ої координатною віссю, вершина має координати (0, 0, 0, …); -е координати вершин рівні - 1, а перші -1 координати цих вершин можна одержати з координат вершин ( -1) - симплекса множенням їх на такий множник , щоб всі відстані , , …, ==

Відстань від центра побудованого - симплекса до його ( -1) - граней дорівнює 1, а відстань від того ж центра до вершин цього - симплекса дорівнює . Довжина кожного з ребер цього - симплекса дорівнює .

З визначення правильного - симплекса видно, що все - грані правильного - симплекса є правильними - симплексами.

2

Мал.30

На малюнку зображений правильний ( -1) - симплекс ( = 4)

Об'єм правильного - симплекса

Обчислимо об'єм побудованого правильного симплекса. Тому що об'єм підстави цього - симплекса дорівнює добутку , а висота цього - симплекса дорівнює +1, одержуємо, що

.

.

При = 2 формула дає нам

При = 3 формула .

Об'єм правильного - симплекса, ( -1) - грані якого перебувають на відстані від його центра, дорівнює

.

§9.K-Кулі в просторі

Називати k-мірною сферою евклідова k-простору або k-сферою цього простору множина всіх крапок цього простору, що лежать в одній (k + 1)-площини й віддалених від даної крапки, називаної центром k-сфери, на тому самому відстані, називаній радіусом k-сфери.

При k = n - 1 k-сфера визначається як множина всіх крапок простору, що відстоять від однієї крапки на тому самому відстані: надалі, говорячи «сфера», будемо мати на увазі (n - 1)-сферу. При k = 1, k-сфера називається окружністю.

Якщо радіус (k- 1)-сфери дорівнює R, то множина всіх крапок k-площини цієї (k- 1)-cферы, що перебувають від центра (k- 1)-cферы на відстані , називається k-кулею. При k = n n-куля визначається як множина всіх крапок n-простору, що відстоять від центра сфери на відстані . Надалі, говорячи «кулю», будемо мати на увазі n-куля. При k = 2 k-куля називається навкруги.

Якщо центр сфери - крапка М0(х0), а радіус дорівнює R (мал. 31), радіус-вектор х довільної крапки М сфери зв'язаний умовою, що складається в тім, що відстань М0М дорівнює R. Тому що ця відстань дорівнює модулю вектора , тобто

,

те рівняння сфери із центром у крапці М0, і радіусом R має

(9.1)

або, після піднесення обох частин рівняння (9.1) у квадрат

(9.2)

Мал. 31

Рівнянню (9.2) не задовольняє радіус-вектор ні однієї крапки, для якої відстань М0М не дорівнює R, тому що й відстань М0М и радіус R - позитивні числа.

Рівняння (9.2) називається векторним рівнянням сфери. Це рівнянням сфери. Це рівняння є часткою случаємо векторного рівняння поверхні. Тому сфера є часткою случаємо рівняння поверхні, тому що k-сферу можна розглядати як сферу в (k + 1)-просторі.

Тому що k-сфера із центром у крапці М0(х0) і радіусом у якійсь (k + 1)- площини є перетинанням сфери з тим же центром і радіусом із зазначеної (k + 1)площиною, рівняннями k-сфери є рівняння (9.2) сфери з тим же центром і радіусом і рівняння (k + 1)-площини.

Якщо центр сфери перебуває на початку, х0=0, то рівняння (9.2) прийме вид

(9.3)

Рівняння (9.2) можна переписати у вигляді

(9.4)

або, множачи обидві частини цієї рівності на число а, у вигляді

(9.5)

Вектор і число з у рівнянні (9.5) пов'язані з вектором х0 центра сфери і її радіусом R співвідношеннями

, (9.6)

Тому, якщо дано рівняння (9.5) сфери, то центр і радіус цієї сфери визначаються співвідношеннями.



, (9.7)

Рівняння (9.5) при а = 1, тобто рівняння

(9.8)

називається нормальним рівнянням сфери. У випадку нормального рівняння сфери співвідношення (9.7) показує, що, для того щоб рівняння (9.5) було рівнянням сфери, необхідне виконання нерівності

(9.9)

У випадку, коли , рівнянню (9.5) задовольняє тільки одна крапка М0(х0), яку можна розглядати як сферу нульового радіуса. Для того, щоб загальне рівняння другого ступеня було б рівнянням сфери, необхідне виконання нерівності, рівносильного нерівності (9.9).

Геометрія k-сфер

1. Рівняння k-сфер

Визначимо k-сфери як перетинання сфери з (k+1)-площиною. Тому що (k+1)-площина у свою чергу є перетинанням n - k - 1 площин, а кожна із цих площин може бути замінена такою сферою, що зазначена площина є радикальною площиною для цієї сфери й даної сфери, k-сфера є перетинанням n - k незалежних сфер. Тому k - сферу можна задати n - k - рівняннями

У цьому випадку довільна сфера, що проходить через дану k-сферу, визначається рівнянням

(9.10)

При k = n - 2 сукупність сфер з рівняннями виду (9.10) становить пучок сфер.

Якщо дані дві сфери

, ,

то сукупність сфер з рівняннями

називається пучком сфер,

утримуючому дві сфери. Рівняння при

є рівнянням площини.

Взаємне розташування двох k-сфер

Дві k-сфери k-простору без загальних крапок будемо називати зачепленими, якщо всяка сфера, що проходить через одну із цих k-сфер, перетинається із усякою сферою, що проходить через іншу k-сферу. Будемо називати дві k-сфери k-простору без загальних крапок незачепленими, якщо існують непересічні сфери, що проходять через ці k-сфери.

На малюнку зображені різні види взаємного розташування двох окружностей в 3-просторі.



а) зачеплення б) перетинання в крапці

Мал. 32 в) незачеплення

Об'єм сфери

Об'єм сфери радіуса r, що будемо позначати Sk, виражається інтегралом

,

у якому змінне змінюється від 0 до 2, а змінні (при i > 1) від до тому цей інтеграл дорівнює добутку k інтегралів

тоді об'єм Sk сфери радіуса r в k-просторі при парному n дорівнює:



(9.11)

і для n парного:

Формули об'єму дають при k = 2 (уважаючи 0!! = 1), 3, 4 і 5 відповідно.

, .

Об'єм кулі

Об'єм кулі радіуса r, що будемо позначати Vk, виражається інтегралом

який за допомогою інтеграла (9.11) для обчислення об'єму сфери Sk може бути записаний у вигляді

Тому об'єм Vk кулі радіуса r в k-просторі при парному й непарному n відповідно дорівнює



, (9.12)

Формула (9.12) дає при k = 2, 3, 4, 5 відповідно

, , , (9.13)



Глава 3. Застосування багатомірної геометрії

§10. Про необхідність введення багатомірного простору (на прикладах задач)

У чому складається користь багатомірних просторів? Де вони застосовуються? Навіщо знадобилося розширювати подання про простір від реального тривимірного миру до настільки далеких абстракцій, які нелегко й не відразу укладаються у свідомості?

Для відповіді на ці питання необхідно розглянути кілька прикладів задач.

Приклад 1. Сума n чисел дорівнює одиниці. Які повинні бути ці числа, щоб сума їхніх квадратів була найменшою?

Мал. 33

Рішення. Одержимо відповідь на поставлене питання геометричним шляхом, розглядаючи спочатку випадок n = 2, потім n = 3, а потім обговоримо ситуацію при n > 3.

Отже, нехай спочатку n = 2. Інакше кажучи, розглядаючи числа х, в, що задовольняють умові х + в = 1, і потрібно знайти, у якому випадку сума квадратів х2 + в2 буде найменшою. Рівняння х + в = 1 визначає на координатній площині пряму (мал. 33). Розглянемо окружність S із центром на початку координат, що стосується цій прямій (крапка А). Якщо крапка М(х, у) прямій l відмінна від А, то вона лежить поза окружністю S і тому | ОМ| більше радіуса r цієї окружності, тобто . Якщо ж М = А, то сума х2 + в2 дорівнює r, тобто саме для крапки А ця сума приймає найменше значення. Крапка А має координати х = в = 1/2; це і є рішення поставленої алгебраїчної задачі при (n = 2).

Мал. 34

Нехай n = 3. Рівняння x + y + z =1 визначає в просторі площина L. Розглянемо сферу S c центром на початку координат, що стосується цієї площини в деякій крапці А (мал. 34). Для будь-якої крапки , відмінної від А, її відстань від крапки Про більше радіус r сфери S, і тому

,

при М = А маємо

Таким чином, саме для крапки А сума

приймає найменше значення. Крапка А має рівні координати: x = y = z (оскільки при повороті простору, що переставляє осі координат: , і площина L і сфера S переходять у себе, а тому їхня загальна крапка залишається нерухливої). А тому що

x + y + z =1,

то крапка А має координати

x = y = z = 1/3;

це і є рішення поставленої задачі (для n=3).

Розглянемо довільне n; міркування будемо вести в n-мірному просторі, крапками якого є послідовності (х1, х2, …, хn), що складаються з n дійсних чисел. Рівняння

визначає в цьому просторі «площина» L, що має розмірність n - 1 (гіперплощина в n-мірному просторі). Розглянемо сферу S із центром на початку координат О, що стосується гіперплощини L у деякій крапці А. Всі крапки гіперплощини L, крім А, лежать поза сферою S, тобто перебувають від початку координат о на відстані, рівній r. Отже, сума

приймає найменше значення в порівнянні з усіма іншими крапками гіперплощини L. Помітимо тепер, що всі координати крапки А рівні між собою:



(оскільки поворот простору, що переставляє осі координат:

і площина L і сфера S переходять у себе, а тому їхня загальна крапка залишається нерухливої), звідки

Отже, при

сума квадратів

приймає найменше значення для

.

Приклад 2. На три заводи З1, З2, З3 (мал. 35) потрібно завести сировину однакового виду, що зберігається на двох складах З1, З2 відповідно до даних, зазначеними в таблиці.



Наявність сировини	Потреба в сировину
З1	З2	З1	З2	З3
20 т	25 т	10 т	15 т	20 т

Потрібно знайти найбільш вигідний варіант перевезень, тобто варіант, для якого загальна кількість тонно-кілометрів буде найменшим.

Рішення. Позначимо через х и в кількість сировини, яку потрібно вивести зі складу З1 відповідно на заводи З1, З2. Тоді із другого складу потрібно довезти на ці заводи 10 - х і 15 - у тонн сировини. Тому що загальна кількість наявного на складах сировини збігається з потребою заводів, тобто все сировина повинне бути вивезене зі складів на заводи, те після забезпечення заводів З1 і З2 сировина, що залишилася на складах, повністю вивозиться на завод З3, тобто зі складу З1 на завод З3 вивозиться 20 - х - в, а зі складу З2 25 - (10 - х) - (15 - у) = х + у тонн.

Мал. 35

З огляду на відстані (мал. 35), знаходимо загальне число тонно-кілометрів:

5х + 7в + 10(20 - х - у) + 3(10 - х) - (15 - у) + 6(х + у) = 290 - 2х - в.



Помітимо тепер, що всі величини, що виражають кількість перевезеного по різних дорогах сировини, ненегативні:

Кожне із цих нерівностей визначає в системі координат х, у на півплощина, а система всіх нерівностей визначає перетинання цих на півплощин, тобто опуклий багатокутник Q (мал. 36). Помітимо, що остання нерівність можна відкинути: воно є наслідком перших двох.

Мал. 36

Таким чином, задача про знаходження найбільш вигідного варіанта перевезень зводиться математично до знаходження крапки М(х, у) багатокутника Q, у який функція 290 - 2х - у досягає найменшого значення. Замість цієї функції можна розглядати функцію - 2х - в.

Дійсно, якщо буде знайдене найменше значення функції - 2х - у на багатокутнику Q, те додавши до цього значення 290, одержимо найменше значення функції 290 - 2х - в. На малюнку 37 показано, що найменше значення лінійної функції, розглянутої на багатокутнику Q, досягається у вершині С. Інакше кажучи, найбільш вигідний варіант перевезень відповідає крапці З(10; 10), тобто х = 10, в = 10. Загальна кількість тонно-кілометрів для цих значень х, у дорівнює 290 - 2·10 - 10 = 260.

Мал. 37

У розглянутій задачі всі об'єми перевезень зі складів на заводи вдалося виразити через дві змінні х, в. Це дозволило дати геометричну інтерпретацію системи, що вийшла, нерівностей на координатній площині. Допустимо, однак, що при тих же двох складах число заводів дорівнює чотирьом з потребою в сировину відповідно 8, 10, 12 і 15 т. Тоді потрібно буде ввести три змінні x, y, z, що позначають кількість сировини, що вивозиться зі складу З1 на перші три заводи. Якщо задати відстані зі складів до заводів, то можна буде скласти вираження для загального числа тонно-кілометрів. Можна написати й нерівності, що виражають незаперечність кількості сировини, що вивозиться зі складів на заводи. Тепер ці нерівності будуть залежати від трьох змінних x, y, z. Кожне із цих нерівностей задає півпростір, а система всіх нерівностей визначає перетинання півпросторів, тобто опуклий багатогранник у тривимірному просторі.

Таким чином, для чотирьох заводів задача про перевезення сировини буде математично формулюватися як задача про найменше значення лінійної функції на тривимірному опуклому багатограннику.

Для двох складів і п'яти заводів (при збереженні тієї умови, що все сировина повинне бути вивезене повністю) будуть потрібні вже чотири змінні, що позначають кількість сировини, що вивозиться зі складу З1 на перші чотири заводи. Тепер ми будемо мати нерівності із чотирма змінними, і для одержання геометричної інтерпретації буде потрібно чотирьохмірний простір, а при більшому числі складів і заводів - простір ще більшої розмірності.

§11. Простір-Час класичної механіки

Аналогія між простором і часом була відома ще стародавнім грекам. Аристотель включав час у число безперервних величин поряд з лініями, поверхнями й тілами. Однак уперше розглядав час як координату поряд із просторовими координатами Галілей.

Час систематично розглядався як координата в теоретичній механіці.

Будемо характеризувати положення матеріальної крапки в просторі в цей момент часу просторовими координатами хi ( i = 1, 2, 3) і тимчасовою координатою t. У класичній механіці Галілея-Ньютона перехід від вихідної системи координат хi, t до іншої системи, що рухається щодо її прямолінійно й рівномірно визначається формулами

де - координати вектора руху першої системи стосовно другого. Формули показують, що якщо при переході від однієї системи координат до іншої системи, що рухається стосовно неї, просторові координати в другій системі виражаються не тільки через просторові координати в першій системі, але й через тимчасову координату в цій системі, те тимчасові координати в другій системі можуть відрізнятися від тимчасових координат у першій системі тільки зміною початку відліку, тобто час у механіку Галілея-Ньютона абсолютно.

Механіка Галілея-Ньютона добре погодиться із практикою при малих швидкостях, але при більших швидкостях, порівнянних зі швидкістю світла, ця механіка помітно розходиться із практикою; відповідно до механіки Галілея-Ньютона, якщо швидкість світла стосовно деякої системи координат дорівнює з, те стосовно системи координат, що рухається в тім же або зворотному напрямку зі швидкістю v, ця швидкість відповідно повинна бути дорівнює c - v або c + v. Але, як показує експеримент, швидкість світла та сама стосовно всіх систем координат, що рухаються друг щодо друга прямолінійно й рівномірно. Якщо швидкість v, у багато разів менше швидкості з, швидкості c - v і c + v практично не відрізними від швидкості з, але у випадку, коли швидкість v порівнянна зі швидкістю з, відмінність швидкості світла від швидкостей c - v і c + v легко помітити.

§ 12. Простір-Час спеціальної теорії відносності

Для того щоб виконувалася умова сталості швидкості світла для всіх систем координат, що рухаються рівномірно й прямолінійно друг щодо друга, досить, щоб для всіх таких систем прямокутних координат виконувалося співвідношення

тобто

(12.1)

Це умова не може бути виконане в механіку Галілея-Ньютона, де координата не може залежати від координати . Для того щоб задовольнити цій умові, варто відмовитися від поняття про абсолютний час і прийняти, що простір і час - не ізольовані друг від друга форми існування матерії, а дві сторони існування однієї й тієї ж форми.

Цій умові задовольняє механіка спеціальної теорії відносності Ейнштейна, що дає при швидкостях, порівнянних зі швидкістю світла, значно більша згода із практикою, чим механіка Галілея-Ньютона. Якщо ми позначимо добуток ct, що має розмірність довжини через х4, те, відповідно до спеціальної теорії відносності, при переході від однієї системи координат до іншої такої системи, що рухається щодо її рівномірно й прямолінійно, координати хi (i = 1, 2, 3, 4) перетворяться за законом

(12.2)

причому

(12.3)

де , .

Формула (12.2) збігається з формулою перетворення прямокутних координат звичайного n - простору при n = 4, але формула (12.3) відрізняється від відповідної умови в 4-просторі, у якому .

Тому у випадку спеціальної теорії відносності можна за аналогією зі звичайним 4-простором визначити в 4-просторі, крапки якого визначають положення матеріальних крапок у різні моменти часу, відстані між крапками, уважаючи за відстань між крапками М1 і М2 з координатами й квадратний корінь із вираження



Певне в такий спосіб відстань може бути як речовинним, так і чисто мнимим і рівним нулю. У першому випадку існує така система координат, у якій крапки М1 і М2 одночасні й відстань М1М2 дорівнює звичайній відстані між ними в цій системі координат. У другому випадку існує така система координат, у якій ці крапки мають однакові просторові координати й відстань М1М2 дорівнює добутку ic на відрізок часу між цими крапками в цій системі координат. У третьому випадку М1М2 = 0 і крапки М1 і М2 можна з'єднати променем світла.

Певне нами 4-простір називають простором Минковського. Перетворення (12.2) при , що задовольняють умовам (12.3), називають перетвореннями Лоренца.

Цей приклад показує плодотворність поняття 4-простори, указує на необхідність розширення поняття евклідова n-простору убік відмови від квадратичної форми, що виражає скалярний квадрат вектора х у функції його координат.

§13. Простір-Час загальної теорії відносності

Опис простору-часу за допомогою псевдо евклідова 4-простору індексу 3 у спеціальній теорії відносності, що погодиться із практикою краще, ніж опис простору-часу в класичній механіці, є тільки наближеним описом простору-часу. Наступне наближення було запропоновано самим Ейнштейном у його загальній теорії відносності. Відповідно до цієї теорії простір-час є псевдоримановим 4-простором індексу 3, кривизна в 2-мірних напрямках якого більше там, де більше щільність матерії. Таким чином, не тільки простір і час виявляються взаємозалежними, але їхні властивості виявляються залежними від матерії, формою існування якої вони є.

З того, що в малій області геометрія псевдориманових просторів близька до геометрії псевдо евклідова простору, утвореного векторами в одній із крапок цієї області, видно, що спеціальна теорія відносності добре погодиться із практикою в порівняно невеликих областях простору-часу, а в більших областях проявляються властивості, описувані загальною теорією відносності.

Хоча із прогресом науки ми довідаємося властивості все більших областей простору-часу, відома нам частина всесвіту залишається обмеженої й по властивостях цієї частини миру ми можемо судити про геометричні властивості світового простору-часу в цілому тільки в порядку грубого наближення.

Найбільш грубе наближення до картини світового простору-часу в цілому ми одержимо, якщо припустимо, що матерія розподілена в просторі-часу зовсім рівномірно й, отже, простір-час являє собою псевдориманово 4-простір індексу 3 постійні кривизни. Якщо ми уявимо собі такий простір у вигляді сфери речовинного або мнимого радіуса в псевдо евклідовим 5-просторі відповідно індексу 4 або 3, а поверхні t =const також у порядку грубого наближення уявимо собі перетинами цієї сфери паралельними площинами, то із часом «просторовий перетин» миру зменшується або розширюється залежно від положення січної площини. У першому випадку кривизна «просторового перетину» - постійна позитивна, у другому випадку - постійна негативна.

Мал. 38. а) б)

На мал. 38 зображені тривимірні аналоги сфер речовинного й мнимого радіуса в псевдо евклідовим 5-просторі. Викладена картина миру з першого погляду здається неправдоподібної, але вона підтверджується астрономічними спостереженнями, що свідчать про розширення відомої нам всесвіту. Це підтвердження вказує на можливість того, що реальний простір-час, є псевдоримановим простором змінної кривизни, відповідає цій картині миру «у середньому».



Висновок

Вивчення k-мірного простору досить корисно як для з'ясування багатьох закономірностей геометрії звичайного простору, що є часткою случаємо k-мірного простору при k = 3, так і для більше наочного подання багатьох закономірностей алгебри, геометрії й аналізу, пов'язаних з рівняннями з k невідомими.

Співвідношення k-мірної геометрії знаходять застосування й при рішенні транспортних задач про складання оптимального способу перевезення вантажів і т.д.

У даній роботі були розглянуті багатомірні геометричні образи в k-мірних просторах і чотирьохмірному простору, що наші очі ніколи не бачили. Також досліджувалися чотирьохмірні предмети простору. На основі викладеного матеріалу досліджували необхідність введення багатомірного простору системи, заданої k-параметрами, у якій з'являються поняття k-мірної лінії площини.

Література

1. Олександров О.Д., Нецветаєва Н.Ю. Геометрія. - К., 2000.

2. Атанасян Л.С. Геометрія. - К., 2003

3. Базилев В.Т. і ін. Геометрія. Посібник для студентів фіз.-мат. Факультетів пед. інститутів - К., 2003.

4. Вигнер Е. Незбагненна ефективність математики в природничих науках. - К., 2004

5. Гельфанд И.М., Глаголєва Е.Г., Кирилов Н.А. Метод координат. - К., 2003

6. Гордевский Д.З. Популярне введення в багатомірну геометрію. - Харків, 1994

7. Єфімов Н.В., Розендорн Е.Р. Лінійна алгебра й багатомірна геометрія. - К., 2003

8. Манин Ю.И. Нові розмірності в геометрії. - К., 2003

9. Моденов Л.С. Аналітична геометрія. - К., 2003

10. Парнаський І.В. Багатомірні простори. - К., 1998.

11. Понтрягин Л.С. Знайомство з вищою математикою. - К., 2004

12. Прохоров Ю.В. Великий енциклопедичний словник по математиці. - К., 2003.