Двойные интегралы и дифференциальные уравнения второго порядка

Министерство образования Российской Федерации

Институт дистанционного образования

ГОУ ВПО « Тюменский государственный университет »

Контрольная работа

по дисциплине: «Высшая математика»

Тема: «ДВОИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА»

УК (220501.65)/3. сокращенная

Выполнил студент Петренко Н. В.

Нижневартовск 2010

Контрольная работа

Вариант 5

1. Вычислить интегралы:

1.1. где D - прямоугольник

1.2. где D - область, ограниченная линиями

2. Найти общее решение уравнений:

2.1.

2.2.

Решение контрольной работы.

1. где D - прямоугольник

Построим область D:

Сводя двойной интеграл к повторному и расставляя пределы, получаем:

Ответ: I=20.

2. где D - область, ограниченная линиями

Построим область D, которая ограничена ветвью гиперболы у=6/х, расположенной в первой четверти и прямой у=7-х. Находим точки пересечения: 6/х=7-х; , откуда х=1 и х=6. Имеем две точки (1;6) и (6;1).

Запишем границы области D: Сводя двойной интеграл к повторному и расставляя пределы, получаем:

=126-72-36-7/2+1/3+6=24-19/6=(144-19)/6=125/6.

Ответ: I=125/6.

3.

Характеристическое уравнение имеет кратные корни k=2, поэтому общее решение имеет вид: .

Ответ: .

4.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ). Решением ЛНДУ является сумма решений соответствующего однородного (ЛОДУ) и любого частного решения. Решаем ДУ: у''+y'-2=0. Характеристическое уравнение имеет корни k =-2 и k=1, поэтому общее решение однородного ДУ имеет вид: . Частное решение будем искать в виде: . Дважды дифференцируем последнее: . Подставляем в заданное ДУ и приравниваем коэффициенты:

, откуда В=-3, С=-3, D=-4,5. Запишем общее решение заданного неоднородного ДУ: .

Ответ: .