Дослідження нормованих просторів
34
Курсова робота
Дослідження нормованих просторів
Введення
Поняття нормованого простору - одне із самих основних понять функціонального аналізу. Теорія нормованих просторів була побудована, головним чином, С.Банахом в 20-х роках 20 століття. У роботі ця теорія додається до вивчення сумуємих функцій і послідовностей з позицій функціонального аналізу. Ці функції й послідовності утворять нормовані простори, на яких уводяться операції додавання й множення на число, а також норма.
Основним об'єктом класичного функціонального аналізу є оператори, що діють із одного банахова простору в інше.
Метою даної роботи є розгляд лінійних операторів, що діють із одного простору сумуємих функцій в інше, а також у простір сумуємих послідовностей.
Основні поняття нормованих просторів викладені в першому розділі.
Другий розділ присвячений інтерполяції в просторах вимірних функцій. Розглянуто теорему Марцинкевича, що є однієї із класичних у теорії інтерполяції, і дане її докладний доказ. Приводиться доказ безперервності оператора згортки з використанням даної теореми. Також розглянута інтерполяційна теорема Рисса - Торина і її застосування.
У третьому розділі дані основні поняття простору сумуємих послідовностей, доведений зв'язок між коефіцієнтами Фур'є - періодичної функції і її нормою в за допомогою теореми Марцинкевича.
Глава I. Нормовані простори
§1. Поняття нормованого простору
Уведемо основні поняття теорії нормованих просторів.
Визначення. Непуста множина називається лінійним простором, якщо воно задовольняє наступним умовам:
Й. Для будь-яких двох елементів однозначно визначений елемент , називаний їхньою сумою, причому
1. (комутативність)
2. (асоціативність)
В існує такий елемент 0, що для всіх
4. Для кожного існує такий елемент , що .
II. Для будь-якого числа й будь-якого елемента визначений елемент , причому
5.
6.
III. Операції додавання й множення зв'язані між собою дистрибутивними законами:
7.
8.
Визначення. Лінійний простір називається нормованим, якщо на ньому задана ненегативна функція , називана нормою, що задовольняє умовам:
;
для будь-якого й будь-якого числа ;
для будь-яких (нерівність трикутника).
Визначення. Оператором називається відображення , де - це лінійні простори.
Визначення. Оператор називається лінійним, якщо для будь-яких елементів і будь-яких чисел R виконується рівність:
.
Визначення. Нехай - лінійні нормовані простори,
- лінійний оператор, .
Лінійний оператор безперервний у крапці , якщо з того, що треба, що .
Визначення. Лінійний оператор безперервний, якщо він безперервний у кожній крапці .
Визначення. Лінійний оператор називається обмеженим, якщо .
Твердження. Для лінійного нормованого простору безперервність лінійного оператора рівносильна його обмеженості.
Визначення. Найменша з констант M таких, що , називається нормою оператора А и позначається .
Зокрема, виконується .
Справедливо наступне твердження: для будь-якого обмеженого лінійного оператора .
§2. Простір сумуємих функцій
Серед різних класів нормованих просторів, що зустрічаються в аналізі, один з найважливіших - це простір сумуємих функцій. Далі будемо розглядати саме ці нормовані простори.
Визначення. Нехай - деяка фіксована вимірна множина з . Простором , де , називається нормований простір, елементами якого служать функції , вимірні й майже всюди кінцеві на , для яких виконується
Функції, еквівалентні один одному на , не різняться, а вважаються за той самий елемент простору . Зокрема, нульовий елемент в - це сукупність всіх функцій, рівних нулю майже всюди.
Додавання елементів в і множення їх на числа визначаються як звичайні додавання й множення функцій. Точніше, оскільки кожний елемент в - це клас еквівалентних між собою функцій, то для того, щоб скласти два таких класи, потрібно брати в них по представнику й потім сумою цих класів називають клас, що містить суму обраних представників. Результат не буде залежати від вибору представників у даних класах.
Визначення. Число називається нормою функції
Будуть виконуватися всі властивості норми:
і майже всюди;
Перша властивість cледует з визначення норми й того, що
Друге - із властивості інтеграла: постійний множник можна виносити за знак інтеграла. Третя властивість випливає з нерівності Минковського: для будь-яких функцій
Визначення. Функція називається обмеженої майже всюди, якщо існує ненегативне число таке, що майже всюди виконується нерівність . (*)
Визначення. Простором називається нормований простір, елементами якого служать майже всюди обмежені функції . Нормою називається найменша з констант, що задовольняють нерівності (*).
Для виконується майже всюди нерівність .
Через будемо позначати лінійний простір вимірних функцій, заданих на R.
Серед лінійних операторів, що діють у просторі , розглянемо наступні.
Визначення. Оператор , що діє із простору ( ) в , називається оператором слабкого типу (p,p), якщо
,
де - міра множини, і оператором типу (p,p), якщо .
По визначенню оператор типу є обмеженим, що рівносильно його безперервності.
Пропозиція 1. Будь-який оператор типу є оператор слабкого типу . Доказ.
Потрібно довести, що .
Скористаємося нерівністю Чебишева: .
Візьмемо будь-яке позитивне число . По нерівності Чебишева
.
Але за умовою .
З огляду на останнє співвідношення, маємо , що й було потрібно довести.
§3. Інтеграл Лебега-Стилтьеса
Далі знадобиться поняття інтеграла Лебега - Стилтьеса. Уведемо це поняття.
Визначення. Нехай на R задана монотонно неубутна функція , що для визначеності будемо вважати безперервної ліворуч. Визначимо міри всіх сегментів, інтервалів і напівсегментів рівностями
Таким чином, функція , що кожному сегменту ставить у відповідність міру цього сегмента, буде:
приймати дійсні ненегативні значення;
адитивної, тобто міра об'єднання є сума мір цих сегментів.
Застосувавши стандартне поширення міри, одержимо міру на якійсь - алгебрі.
Визначення. Міру , що виходить за допомогою такої побудови, називають мірою Лебега - Стилтьеса, що відповідає функції , а саму функцію називають виробляючою функцією цієї міри.
Визначення. Нехай - міра на R, породжена монотонної функції . Для цієї міри звичайним образом визначається клас сумуємих функцій і вводиться поняття інтеграла Лебега .
Такий інтеграл, узятий у міру , що відповідає виробляючої функції , називається інтегралом Лебега - Стилтьеса й позначається .
Тепер доведемо факт, що використовується при доказі інтерполяційної теореми.
Пропозиція 2. і для
і , тоді
(1) , і якщо , і , те
. (2)
Доказ.
Рівність (1) треба з визначення інтегралів Лебега й Лебега - Стилтьеса:
Якщо - послідовність розбивок дійсної осі:
, і ,
те інтеграли , де , якщо , прагнуть при .
З іншої сторони:
при .
Це й доводить рівність (1).
Нехай тепер . По (1), з огляду на, що , одержуємо (2')
При
Отже, зі співвідношення (2'), роблячи заміну змінних , одержимо першу рівність (2).
Далі, для кожного виконується
(інтегрування вроздріб: ).
Для доказу другої рівності в (2) досить спрямувати в останнім співвідношенні число до і використовувати оцінку:
при .
Пропозиція 2 доведене.
Зауваження. Якщо функція задана на , те, застосовуючи рівність (2) для функції , , і з огляду на, що , одержимо
(3)
Глава II. Інтерполяція в просторах сумуємих функцій
§1. Теорема Марцинкевича і її застосування
Однієї з найважливіших у теорії інтерполяції є теорема Ж.Марцинкевича, доведена їм в 1939 році. Перш ніж розглянути теорему, доведемо пропозицію.
Нехай дана функція . Покладемо для
, .
Пропозиція 3. Нехай , , для будь-якого позитивного числа й - функції, описані вище. Тоді .
Доказ.
34
Потрібно показати, що , тобто .
I. Для функції
1) якщо 0<t , те, тому що
2) Нехай t>1.
Позначимо , .
.
Кінцівка доведена в першому випадку. Розглянемо другий інтеграл.
Покажемо, що . Припустимо противне, що .
,
тому що . З іншого боку, . Але на , тобто , а це протиріччя. Одержали, що кінцево й тому що інтеграл від обмеженої функції по кінцевій мері кінцевий, те . Тоді .
II.для функції :
1) якщо , те .
2) Нехай .
Нехай
.
Кінцівка доведена в першому випадку. Потрібно показати, що кінцево.
Доведемо, що . Припустимо противне, що .
( ).
З іншої сторони . Але , тобто
.
Прийшли до протиріччя.
Одержали, що кінцево й тому що інтеграл від обмеженої функції по кінцевій мері кінцевий, те . Отже, . Пропозиція доведена.
Наслідок. Для всіх справедливо включення: .
Зауваження 2. Нехай оператор заданий на просторі й на . Тоді оператор можна поширити зі збереженням лінійності до оператора, що діє із простору
т.е. для будь-якої функції
Таке визначення функції не залежить від вибору й Дійсно. Візьмемо інше подання функції :
, де
Потрібно довести, що .
З умови треба . Ліва частина рівності - це функція із права частина - із Застосуємо до рівності оператор T:
.
Тому що T линійний у просторах і , те . Звідси , що й було потрібно довести.
Теорема Марцинкевича. Якщо лінійний оператор Т має слабкий тип і одночасно слабкий тип , то Т має тип для кожного з інтервалу
Доказ.
Уважаємо, що . Фіксуємо функцію й позитивне число . Оцінимо величину
Нехай і функції, описані вище.
Тоді й по зауваженню 2.
Отже, .
Використовуючи оцінки слабкого типу , знаходимо, що при позитивному
.
З останньої нерівності й формули (3) із зауваження 1 одержуємо
,
тобто оператор Т має тип . Теорема доведена.
Як застосування цієї теореми розглянемо наступний приклад.
Твердження 2. Нехай . Тоді оператор буде безперервним оператором у просторі , .
Доказ.
Розглянемо два випадки, коли й . Доведемо, що оператор є оператором типу для цих випадків. Тоді за пропозицією 1 буде оператором слабкого типу для й . Застосувавши інтерполяційну теорему Марцинкевича, одержимо, що - оператор типу для будь-якого , а це рівносильно його безперервності.
и.
Доведемо, що найдеться число , таке, що
З огляду на останню рівність і те, що для будь-якого дійсного числа вірно
,
одержимо
, де .
2) .
Потрібно довести, що
Для майже всюди виконується нерівність: . (*)
Позначимо , .
.
Тому що , те .
Виходячи з останнього співвідношення й нерівності (*), одержуємо
.
Таким чином, довели, що оператор згортки безперервний у просторі для будь-якого р1.
§2. Інтерполяційна теорема Рисса-Торина і її застосування
Перш ніж розглянути теорему Рисса - Торина і її додаток, приведемо визначення й доведемо факти, пов'язані з теорією банахових просторів, які знадобляться для цього.
Визначення. Послідовність метричного простору Х називається фундаментальної, якщо .
Вірно наступне твердження.
Твердження. Якщо послідовність сходиться, то вона фундаментальна.
Обернено вірно не завжди.
Визначення. Метричний простір називається повним, якщо в ньому будь-яка фундаментальна послідовність сходиться.
Визначення. Якщо простір , породжений нормою, є повним, то лінійний нормований простір називається банаховим.
Визначення. Нехай - банаховий простір, - підпростір в. називається всюди щільним у Х, якщо , тобто , така, що .
Твердження 4 . Нехай оператор , де щільно в - банаховий простір. Тоді оператор можна поширити на , тобто існує оператор , такий, що й .
Доказ.
Візьмемо з . По визначенню існує послідовність із така, що прагне до , при прагнучому к.
Доведемо, що з буде фундаментальною послідовністю. Тоді, тому що повне, послідовність буде збіжною.
Візьмемо довільне позитивне число . Знайдемо номер , для якого виконується .Тоді
.
Отже, послідовність фундаментальна.
Нехай прагне к. Визначно оператора рівністю .
а) Перевіримо коректність визначення оператора .
Отже, прагне до , прагне к. Візьмемо іншу послідовність , що має в межі . Тоді буде прагне до деякого елемента .Складемо нову послідовність Її межею буде . Нехай відповідна послідовність прагне к. З останньої можна вибрати дві підпослідовності й , що сходяться відповідно до і .Отже, і , тобто й збігаються.
б) Доведемо лінійність оператора А. Нехай Х; - довільні числа. Розглянемо елемент . По визначенню існують послідовності {xn},{yn}, такі, що . Тоді .
.
Одержали , що й означає по визначенню лінійність оператора А. При цьому, тому що якщо , те в якості можна взяти для всіх n. Тоді й .
в) Доведемо безперервність оператора А.
Візьмемо . , .
.
По теоремі про граничний перехід у нерівності буде виконуватися нерівність . Т.к. по визначенню - це найменша з констант, що задовольняють даній нерівності, те . (*)
З іншого боку, по визначенню , . Тому що , те . (**)
З огляду на нерівності (*) і (**) , установили рівність . Таким чином, твердження доведене.
Визначення. Функція називається простою, якщо вона являє собою кінцеву лінійну комбінацію характеристичних функцій попарно непересічних вимірних множин , де .
Теорема Лебега. Якщо послідовність на сходиться до і при всіх , де сумуєма на , то гранична функція сумуєма на й
.
Пропозиція 4. Множина простих функцій усюди щільно в , тобто , така, що ,де - проста функція.
Доказ.
I.Позначимо
,
де N.
34
Ясно, що для майже всіх . Тоді для майже всіх . Отже, .
З іншого боку, (*) ,тобто . Тому сумуєма. Застосуємо теорему Лебега до нерівності (*) : . Одержимо, що й, виходить, наблизили функціями . Візьмемо довільне позитивне число . Знайдемо функцію таку, що .
II. Наблизимо східчастою функцією.
Позначимо , де . Покладемо .
По властивості інтеграла Лебега для будь-якого позитивного найдеться , таке, що . Це означає, що .
Відрізок розіб'ємо на рівних частин крапками так, щоб .
Позначимо
.
Розглянемо функцію
.
.
,
.
У результаті найшлася проста функція така, що
.
III. Таким чином, . Пропозиція доведена.
Перша інтерполяційна теорема в теорії операторів була отримана М.Риссом в 1926 році у вигляді деякої нерівності для билинейних форм. Її уточнення й операторні формулювання були дані Г.О.Ториним. Вся теорія інтерполяції лінійних операторів спочатку розвивалася в напрямку узагальнення цієї теореми. Дамо її формулювання.
Теорема. Нехай . Оператор Т діє із простору в з нормою й одночасно з у з нормою .Тоді Т буде безперервним оператором із простору в з нормою , що задовольняє нерівності за умови, що 0<t<1 і ; .
Тепер розглянемо додаток теореми Рисса - Торина в доказі наступного факту.
Теорема. Нехай і для чисел виконується рівність .Тоді згортка .
Доказ.
Потрібно довести, що , тобто . Зафіксуємо довільну функцію з . Доведемо спочатку необхідний результат для частки випадку, коли функція g проста, а потім поширимо на довільні функції g.
I. Нехай функція проста.
1) Розглянемо оператор згортки на множині простих функцій і перевіримо, що він типу , де . У силу нерівності Гельдера . З огляду на геометричний зміст інтеграла, одержимо для будь-якого дійсного числа х. Тоді . Тому що , те, тобто дорівнює деякому числу . Таким чином, . Отже, найшлася константа , така, що . Це й означає, що оператор згортки Т на множині простих функцій типу .
2) Перевіримо, що оператор Т типу , тобто .
Розглянемо випадок, коли функція g має вигляд:
.
.
Позначимо
.
Тоді права частина рівності прийме вид
по нерівності Минковського.
(1)
Розглянемо перший доданок
(2)
Аналогічно другий доданок
. (3)
Таким чином, з огляду на (1),(2),(3), одержимо
.
Знайдемо
,
тому що .
Далі маємо
.
У результаті, ,тому що , те й дорівнює деякому числу .
Зовсім аналогічно доводиться для випадку, коли .
1) Таким чином, з пунктів I.1 і I.2 одержимо, що типу й , і, отже, буде типу за умови
, де .
; ,
тобто , що й дано за умовою.
Таким чином, застосувавши теорему Рисса - Торина, установили істинність доказуваного твердження для всіх простих функцій .
II. Нехай - довільна функція з .
За пропозицією 4 множина простих функцій усюди щільно в.
За твердженням 4 оператор згортки можна поширити на й тоді доказуваний факт вірний для будь-якої функції з . Теорема доведена.
Глава III. Простір сумуємих послідовностей
§1. Основні поняття
Розглянемо застосування теорії інтерполяції для просторів .
Нехай {z}zZ - послідовність ненегативних чисел. Визначимо на множині Z міру в такий спосіб: для будь-якого цілого числа . Простір сумуємих зі ступенем p послідовностей щодо міри m, тобто таких, що позначається .
Тому що міра m визначена на множині всіх підмножин множини Z, те будь-яку послідовність можна розглядати як вимірну функцію. Позначимо через лінійний простір всіх послідовностей.
Визначення. Число називається нормою послідовності xn з lp(m,Z).
У випадку, якщо для всіх z, те одержимо класичний простір lp(Z) послідовностей, сумуємих зі ступенем p .
Визначення. Оператор Т, що діє із простору в називається оператором слабкого типу (p,p), якщо , де , і оператором типу (p,p), якщо .
У цьому випадку залишається справедливим наступний факт: будь-який оператор типу є оператор слабкого типу . Перш ніж установити його істинність, доведемо твердження, що для цього знадобиться.
Твердження 5. Нехай дана послідовність із із ненегативними членами. Тоді .
Доказ.
Позначимо . Потрібно довести, що .
.
Одержали, що .
Твердження доведене.
Пропозиція 5. Будь-який оператор типу є оператор слабкого типу .
Доказ.
Дано, що й . Довести, що
.
Візьмемо довільне позитивне число . За твердженням 5
.
За умовою . Тоді , що й було потрібно довести.
Легко побачити, що теорема Марцинкевича буде справедлива й для операторів, що діють із просторів у простір .
§2. Зв'язок між коефіцієнтами Фур'є - періодичної функції і її нормою в
Теорія інтерполяції має численні додатки в теорії рядів Фур'є.
Визначення. Нехай -періодична функція, така що . Нормою в просторі називається число , а коефіцієнтами Фур'є функції називаються числа .
Для функцій із простору виконується рівність .
У випадку інших значень це, загалом кажучи, не вірно. Однак можна вказати наступну оцінку.
Пропозиція 6. Нехай періодична функція з . Тоді для будь-якого числа з відрізка [1,2] існує константа , така, що
.
Доказ.
Розглянемо оператор і визначний міру
,
тобто оператор діє з в.
Доведемо, що оператор слабкого типу : .
Зафіксуємо довільне позитивне число .
.
Нехай . Тоді . (2)
Далі маємо
.
З огляду на рівності (1) і (2), одержимо, що .
У результаті знайшли константу , таку, що
.
2) Доведемо, що типу : .
Уже говорилося, що для функцій із простору виконується рівність
. (3)
.
По нерівності (3) . За пропозицією 5 оператор буде слабкого типу .
3) По теоремі Марцинкевича буде типу для кожного з інтервалу (1,2), тобто , що й було потрібно довести.
Висновок
Поширимо міру зі збереженням властивостей 1 і 2, певну поки для сегментів, на більше широкий клас множин - так звані елементарні множини.
Назвемо множину елементарною, якщо її можна представити хоча б одним способом як об'єднання кінцевого числа попарно непересічних сегментів.
Визначимо тепер міру для елементарних множин у такий спосіб: якщо , де - попарно непересічні сегменти, те .
Далі поширимо міру й на нескінченні об'єднання сегментів. Для того, щоб при цьому не зустрічалися множини «нескінченної міри», обмежимося розглядом множин, що цілком належать відрізку . На сукупності всіх таких множин визначимо дві функції й :
Визначення. Верхньою мірою множини називається число, де нижня грань береться по всіляких покриттях множини А кінцевими або рахунковими системами сегментів.
Визначення. Нижньою мірою множини називається число .
Визначення. Множина називається вимірним, якщо . Їхнє загальне значення називається лебеговской мірою.
Отже, поширили міру з елементарних множин на більше широкий клас множин, називаних вимірними, замкнутий щодо операцій узяття рахункових сум і перетинань. Побудована міра є на цьому класі множин - аддитивной, тобто якщо - послідовність попарно непересічних вимірних множин і , те .
Однак, ми розглянули лише ті множини, які є підмножинами .
Неважко звільнитися й від цього обмеження. Представивши всю числову вісь як суму відрізків ( - ціле), будемо говорити, що множина вимірна, якщо його перетинання з кожним із цих відрізків вимірно, і ряд сходиться. При цьому покладемо по визначенню, .
Причому сукупність множин, вимірних щодо даної міри, також буде замкнута щодо операцій узяття рахункових сум і перетинань, а міра буде - аддитивна.
Визначення. Міру , що виходить за допомогою такої побудови, називають мірою Лебега - Стилтьеса, що відповідає функції , а саму функцію називають виробляючою функцією цієї міри.
Література
1.Вулих Б.З. Короткий курс теорії функцій речовинної змінної. - К., 2004
2.Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональні ряди. - К., 2003
3.Колмогоров А.Н., Фомін С.В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу. - К., 2004
4.Крейн С.Г., Петунин Ю.І., Семенов Е.М. Інтерполяція лінійних операторів. - К., 1999
5.Натансон І.П. Теорія функцій речовинної змінної. - К., 2005
