Дослідження кратних інтегралів
20
Курсова робота
По дисципліні: Вища математика
(Основи лінійного програмування)
На тему: Дослідження кратних інтегралів
Зміст
- 1. Кратні інтеграли
- Подвійний інтеграл
- Потрійний інтеграл
- Кратні інтеграли в криволінійних координатах
- Геометричні й фізичні додатки кратних інтегралів
- 2. Криволінійні й поверхневі інтеграли
- Криволінійні інтеграли
- Поверхневі інтеграли
- Геометричні й фізичні додатки
- Список літератури
1. Кратні інтегралиПодвійний інтегралРозглянемо в площині Оху замкнуту область D, обмежену лінією L. Розіб'ємо цю область якими-небудь лініями на п частин , а відповідні найбільші відстані між крапками в кожній із цих частин позначимо d1, d2,., dn. Виберемо в кожній частині крапку Рi. Нехай в області D задана функція z = f (x, y). Позначимо через f (P1), f (P2),…,f (Pn) значення цієї функції в обраних крапках і складемо суму добутків виду f (Pi) ДSi:, (1)називану інтегральною сумою для функції f (x, y) в області D. Якщо існує той самий межа інтегральних сум (1) при й , не залежний ні від способу розбивки області D на частині, ні від вибору крапок Pi у них, то він називається подвійним інтегралом від функції f (x, y) по області D і позначається. (2)Обчислення подвійного інтеграла по області D, обмеженої лініями x = a, x = b (a < b), де ц1 (х) і ц2 (х) безперервні на [a, b] (мал.1) зводиться до послідовного обчислення двох певних інтегралів, або так званого дворазового інтеграла:Мал.1= (3)
Потрійний інтегралПоняття потрійного інтеграла вводиться за аналогією з подвійним інтегралом. Нехай у просторі задана деяка область V, обмежена замкнутою поверхнею S. Задамо в цій замкнутій області безперервну функцію f (x, y, z). Потім розіб'ємо область V на довільні частини Дvi, уважаючи об'єм кожної частини рівним Дvi, і складемо інтегральну суму виду, (4)Межа при інтегральних сум (11), що не залежить від способу розбивки області V і вибору крапок Pi у кожної під області цієї області, називається потрійним інтегралом від функції f (x, y, z) по області V:. (5)Потрійний інтеграл від функції f (x,y,z) по області V дорівнює трикратному інтегралу по тій же області:. (6)
Кратні інтеграли в криволінійних координатахУведемо на площині криволінійні координати, називані полярними. Виберемо крапку О (полюс) і вихідний з її промінь (полярну вісь). Мал.2Координатами крапки М (мал.2) будуть довжина відрізка МО - полярний радіус? і кут? між МО й полярною віссю: М (?,?). Відзначимо, що для всіх крапок площини, крім полюса,? > 0, а полярний кут? будемо вважати позитивним при вимірі його в напрямку проти годинникової стрілки й негативним - при вимірі в протилежному напрямку.Зв'язок між полярними й декартовими координатами крапки М можна задати, якщо сполучити початок декартової системи координат з полюсом, а позитивну піввісь Ох - з полярною віссю (мал.3). Тоді x=сcosц, в=сsinц. Звідси , tg.Задамо в області D, обмеженої кривими с=Ц1 (ц) і с=Ц2 (ц), де ц1 < ц < ц2, безперервну функцію z = f (ц,?) (мал.4).Мал.4Тоді (7)У тривимірному просторі вводяться циліндричні й сферичні координати.Циліндричні координати крапки Р (?,?,z) - це полярні координати?,? проекції цієї крапки на площину Оху й апліката даної крапки z (мал.5). Мал.5 Мал.6Формули переходу від циліндричних координат до декартовим можна задати в такий спосіб:x =? cos?, y =? sin?, z = z. (8)У сферичних координатах положення крапки в просторі визначається лінійною координатою r - відстанню від крапки до початку декартової системи координат (або полюса сферичної системи),? - полярним кутом між позитивною піввіссю Ох і проекцією крапки на площину Оху, і? - кутом між позитивною піввіссю осі Оz і відрізком OP (мал.6). При цьомуЗадамо формули переходу від сферичних координат до декартової:x = r sin? cos?, y = r sin? sin?, z = r cos?. (9)Тоді формули переходу до циліндричних або сферичних координат у потрійному інтегралі будуть виглядати так:, (10)де F1 і F2 - функції, отримані при підстановці у функцію f замість x, y, z їхніх виражень через циліндричні (8) або сферичні (9) координати.
Геометричні й фізичні додатки кратних інтегралів1) Площа плоскої області S: (11)
Приклад 1.Знайти площу фігури D, обмеженої лініями в = 2, в = 5.Рішення.20Цю площу зручно обчислювати, уважаючи в зовнішньої змінної. Тоді границі області задаються рівняннями йде обчислюється за допомогою інтегрування вроздріб:Отже,2) Об'єм циліндроїда, тобто тіла, обмеженого частиною поверхні S: z = f (x,y), обмеженої контуром L, проекцією D цієї поверхні на площину Оху й відрізками, паралельними осі Оz і з'єднуючу кожну крапку контуру L з відповідною крапкою площини Оху: (12)3) Площа частини криволінійної поверхні S, заданої рівнянням z = f (x,y), обмеженої контуром L: (13)де D - проекція S на площину Оху.4) Момент інерції відносно початку координат Про матеріальну плоску фігуру D: (14)
Приклад 2.Знайти момент інерції однорідної круглої пластинки (x - a) 2 + (y - b) 2 < 4b2 відносно початку координат. Рішення.У силу однорідності пластинки покладемо її щільність? (х, у) = 1.20Центр кола розташований у крапці C (a, b), а його радіус дорівнює 2b.Рівняння границь пластинки мають виглядОбчислимо кожного з отриманих інтегралів окремо.Для обчислення інтеграла I1 зробимо заміну: при x = a - 2b при x = a + 2b Для обчислення інтеграла I2 перетворимо функцію по формулі різниці кубів:. ТодіОтже, Моменти інерції фігури D щодо осей Ох і Оу: (15)5) Маса плоскої фігури D змінної поверхневої щільності? =? (х, у): (16)
Приклад 3.Знайти масу пластинки D щільності г = ух3, якщо Рішення.20Координати центра мас плоскої фігури змінної поверхневої щільності? =? (х, у): (17)
Приклад 4.Знайти центр ваги однорідної пластини D, обмеженої кривими в2 = ах і . Рішення.Тому що пластина однорідна, тобто її щільність постійна, то можна прийняти неї за одиницю.20Тоді Знайдемо масу пластини, а для цього визначимо абсцису крапки перетинання обмежуючих її ліній:Відповідно6) Об'єм тіла V: (18)
Приклад 5.Знайти об'єм тіла V, обмеженого поверхнями Рішення.Знайдемо проекцію тіла на площину Оху (при цьому помітимо, що площина проектує на цю площину у вигляді прямій х = 0):20Визначимо абсцису крапки перетинання кривих в = х2 і х + в = 2: сторонній корінь. Тоді, використовуючи формулу (18), одержуємо:7) Маса тіла V щільності? =? (x, y, z): (19)8) Моменти інерції тіла V щодо координатних осей і початку координат: (20) (21)де? (х, y, z) - густина речовини.Статичні моменти тіла щодо координатних площин Oyz, Oxz, Oxy: (22)9) Координати центра мас тіла:
2. Криволінійні й поверхневі інтегралиКриволінійні інтегралиРозглянемо на площині або в просторі криву L і функцію f, певну в кожній крапці цієї кривої. Розіб'ємо криву на частині Дsi довжиною Дsi і виберемо на кожній із частин крапку Mi. Назвемо d довжину найбільшого відрізка кривій: .Криволінійним інтегралом першого роду від функції f по кривій L називається межа інтегральної суми , не залежний ні від способу розбивки кривій на відрізки, ні від вибору крапок Mi: (24)Якщо криву L можна задати параметричне:x = ц (t), y = ш (t), z = ч (t), t0 ? t? T,те спосіб обчислення криволінійного інтеграла першого роду задається формулою (25)Зокрема, якщо крива L задана на площині явно:в=ц (х), де х1 ? х ? х2, формула (40) перетвориться до виду:. (26)Тепер помножимо значення функції в крапці Mi не на довжину i-го відрізка, а на проекцію цього відрізка, скажемо, на вісь Ох, тобто на різницю xi - xi-1 = Дxi.Якщо існує кінцева межа при інтегральної суми , що не залежить від способу розбивки кривій на відрізки й вибору крапок Mi, то він називається криволінійним інтегралом другого роду від функції f (M) по кривій L і позначається. (27)Подібним чином можна визначити й криволінійні інтеграли 2-го роди видуЯкщо уздовж кривій L визначені функції P (M) =P (x, y, z), Q (M) = Q (x, y, z), R (M) = R (x, y, z), які можна вважати компонентами деякого вектора , і існують інтеграли,тоді їхню суму називають криволінійним інтегралом другого роду (загального виду) і думають.Якщо крива L задана параметричними рівняннямиx =? (t), y =? (t), z =? (t),?? t??, де?,?,? - функції, то. (28)Зв'язок між подвійним інтегралом і криволінійним інтегралом 2-го роди задається формулою Гріна: (29)де L - замкнутий контур, а D - область, обмежена цим контуром. Необхідними й достатніми умовами незалежності криволінійного інтегралавід шляху інтегрування є:. (30)При виконанні умов (30) вираження Pdx + Qdy +Rdz є повним диференціалом деякої функції й. Це дозволяє звести обчислення криволінійного інтеграла до визначення різниці значень і в кінцевій і початковій крапках контуру інтегрування, тому щоПри цьому функцію й можна знайти по формулі (31)де (x0, y0, z0) - крапка з області D, a C - довільна постійна.
Поверхневі інтегралиРозглянемо деяку поверхню S, обмежену контуром L, і розіб'ємо її на частині S1, S2,…,Sп (при цьому площа кожної частини теж позначимо Sп). Нехай у кожній крапці цієї поверхні задане значення функції f (x, y, z). Виберемо в кожній частині Si крапку Mi (xi, yi, zi) і складемо інтегральну сумуЯкщо існує кінцева межа при цієї інтегральної суми, що не залежить від способу розбивки поверхні на частині й вибору крапок Mi, то він називається поверхневим інтегралом першого роду від функції f (M) = f (x, y, z) по поверхні S і позначається. (32)Якщо поверхня S задається явно, тобто рівнянням виду z =? (x, y), обчислення поверхневого інтеграла 1-го роду зводиться до обчислення подвійного інтеграла: (33)де? - проекція поверхні S на площину Оху.Розіб'ємо поверхню S на частині S1, S2,…,Sп, виберемо в кожній частині Si крапку Mi (xi, yi, zi), і помножимо f (Mi) на площу Di проекції частини Si на площину Оху. Якщо існує кінцева межа суми,не залежний від способу розбивки поверхні й вибору крапок на ній, то він називається поверхневим інтегралом другого роду від функції f (M) по обраній стороні поверхні S і позначається (34)Подібним чином можна проектувати частини поверхні на координатні площини Оxz і Оyz. Одержимо два інших поверхневих інтеграли 2-го роди: и. Розглянувши суму таких інтегралів по однієї й тій же поверхні відповідно від функцій P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z), одержимо поверхневий інтеграл другого роду загального виду: (35)Якщо D, D? і D?? - проекції поверхні S на координатні площини Оху, Oxz і Oyz, те (36)Зв'язок між потрійним інтегралом по тривимірній області V і поверхневим інтегралом 2-го роди по замкнутій поверхні S, що обмежує тіло V, задається формулою Гаусса-Остроградського: (37)де запис "S+" означає, що інтеграл, що коштує праворуч, обчислюється по зовнішній стороні поверхні S. Формула Стокса встановлює зв'язок між поверхневим інтегралом 1-го роду по поверхні? і криволінійним інтегралом 2-го роду по обмежуючому його контурі? з урахуванням орієнтації поверхні: (38)
Геометричні й фізичні додатки1) Довжина кривої.Якщо підінтегральна функція f (x, y, z)? 1, то з визначення криволінійного інтеграла 1-го роду одержуємо, що в цьому випадку він дорівнює довжині кривої, по якій ведеться інтегрування: (39)2) Маса кривої.Уважаючи, що підінтегральна функція? (x, y, z) визначає щільність кожної крапки кривій, знайдемо масу кривої по формулі (40)
Приклад 6.Знайти масу кривої з лінійною щільністю заданої в полярних координатах рівнянням с = 4ц, де Рішення.Використовуємо формулу (40) з обліком того, що крива задана в полярних координатах:3) Моменти кривій l: - (41)статичні моменти плоскій кривій l щодо осей Ох і Оу; - (42)момент інерції просторовій кривій відносно початку координат; - (43)моменти інерції кривій щодо координатних осей.4) Координати центра мас кривій обчислюються по формулах. (44)5) Робота сили , що діє на крапку, що рухається по кривій (АВ):, (45)
Приклад 7.Обчислити роботу векторного поля уздовж відрізка прямій від крапки А (-2; - 3;1) до крапки В (1; 4;2).Рішення.Знайдемо канонічні й параметричні рівняння прямій АВ:Площа криволінійної поверхні, рівняння якоїz = f (x, y), можна знайти у вигляді: (46)(? - проекція S на площину Оху).7) Маса поверхні (47)
Приклад 8.Знайти масу поверхні з поверхневою щільністю г = 2z2 + 3.Рішення.На розглянутій поверхні ТодіПроекцією D цієї поверхні на координатну площину Оху є півкільце із границями у вигляді дуг концентричних окружностей радіусів 3 і 4.20Застосовуючи формулу (47) і переходячи до полярних координат, одержимо:8) Моменти поверхні: (48) статичні моменти поверхні щодо координатних площин Oxy, Oxz, Oyz; (49)моменти інерції поверхні щодо координатних осей; - (50)моменти інерції поверхні щодо координатних площин; - (51)момент інерції поверхні відносно початку координатКоординати центра мас поверхні:. (52)
Список літератури1. Фихтенгольц Г.М. Курс диференціального й інтегрального вирахування. К., 1999.
2. Кудрявцев Л.Д. Курс математичного аналізу. - К., 2000.
3. Ільїн В.А., Позняк Е.Г. Математичний аналіз. - К., 1999.
4. Смирнов В.І. Курс вищої математики. - Т.2. - К., 2005.
5. Бугрів Я.С., Нікольський С.М. Диференціальні рівняння. Кратні інтеграли. Ряди. Функції комплексного змінного. - К., 2001.
6. Пискунов М.С. Диференціальне й інтегральне вирахування. - К., 2004.
7. Мишкис А.Д. Лекції по вищій математиці. - К., 2003.
8. Титаренко В. І, Кратні, криволінійні й поверхневі інтеграли. Теорія поля. - К., 2006.