Доказательство теоремы Ферма для n=3

3

Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=3

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:

Аn+ Вn = Сn (1)

где n - целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.

Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:

Аn = Сn - Вn (2)

Рассмотрим частное решение уравнения (2) при показателе степени n=3. В этом случае уравнение (2) запишется следующим образом:

A3 = C3 - B3 = (C-B) • (C2 + C·B +B2) (3)

Обозначим: C - B = K (4)

Отсюда: C=B+K; B=C-K (5)

Из уравнений (3), (4) и (5) имеем:

A3 = K [C2+ C• (C-K) + (C-K) 2] =3K·C2 - 3K2 •C +K3 (6)

Отсюда:

3K·C2 - 3K2 •C - (A3 - K3) = 0 (7)

Уравнение (7) рассматриваем как квадратное параметрическое с параметрами А и К и переменной величиной С. Решая его, получим:

C = (8)

Число C будет целым только при условии, если:

= 3N•K2 (9)

Отсюда: 12K•A3 - 3K4 = 9N2 ·K4

A = K (10)

K = A (11)

Из анализа формулы (10) следует, что для того чтобы число A могло быть целым числом, число N должно быть нечетным числом.

Рассмотрим решение уравнения (10) на числовых примерах.

N =1; A=K

N =3; A = (1,9129…) · K

N =5; A = (2,6684…) • K

Рассмотрим решение уравнения (11) на числовых примерах.

1. N =1; K=A

N =3; K = (0,5227…) · A

N =5; A = (0,3747…) • A

Из приведенных примеров следует, что только при N =1 числа K и A являются целыми числами, при этом K = A. В этом случае из уравнения (8) следует:

C=K=A

А из уравнения (5) следует: B=0.

Следовательно, только при C=K=A и при B=0 уравнение (2) имеет решение в целых числах. Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при показателе степени n=3.