Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера

2

© Н.М. Козий, 2008, [UA]

Свидетельство Украины № 25256

о регистрации авторского права

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СИЛЬНОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА-ЭЙЛЕРА

Сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера формулируется следующим образом: любое четное число, большее двух, равно сумме двух простых чисел:

N = A + B,

где: А и В - простые числа.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Напишем арифметическую прогрессию: Р = [ 1, 2, 3, 4, 5… N]

Очевидно, что:

- количество членов прогрессии равно N;

- количество четных и нечетных членов прогрессии одинаково и равно:

n = 0, 5 N.

Напишем возрастающую V и убывающую U арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n - четное число:

V = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1, 0,5N +1… N-3, N-1]

U = [ N-1, N-3 … 0,5N +1, 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]

Очевидно, что часть прогрессии U:

U1 = [ N-1, N-3 … 0,5N +1]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:

V1 =[ 0,5N +1… N-3, N-1],

а часть прогрессии U:

U2 = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:

V2 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1].

Исходя из этого для числа N при n - четном запишем:

V0 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1]

U0 = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1].

При этом:

V0i + U0i = N,

где V0i и U0i - i - тые члены прогрессий V0 и U0.

При n - четном количество членов прогрессии V0 равно количеству членов прогрессии U0 и равно:

K = 0,5•n = 0,25·N. /1/

Напишем возрастающую V и убывающую U арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n - нечетное число:

V = [1, 3, 5, 7 … 0,5N… N-3, N-1]

U = [N-1, N-3 … 0,5N … 7, 5, 3, 1]

Очевидно, что часть прогрессии U:

U3 = [N-1, N-3 … 0,5N]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V :

V3 = [0,5 … N-3, N-1],

а часть прогрессии U:

U4 = [0,5N … 7, 5, 3, 1]

представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:

V4 = [1, 3, 5, 7 … 0,5N].

Исходя из этого для числа N при n - нечетном запишем:

V0 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N]

U0 = [ 0,5N … 7, 5, 3, 1].

При этом:

V0i + U0i = N,

где V0i и U0i - i - тые члены прогрессий V0 и U0.

При n -нечетном количество членов прогрессии V0 равно количеству членов прогрессии U0 и равно:

К=0,5·(n+1) = 0,25·(N + 2). /2/

Количество пар чисел V0i + U0i прогрессий V0 и U0 равно: П =К.

В общем случае обозначим:

Zpv - количество простых чисел в прогрессии V0;

Zsv -- количество составных чисел в прогрессии V0;

Zpu -- количество простых чисел в прогрессии U0;

Zsu -- количество составных чисел в прогрессии U0;

Пs/v - количество пар чисел V0i + U0i, состоящих из составных чисел прогрессии U0 и простых чисел прогрессии V0;

Пs/u- количество пар чисел V0i + U0i, состоящих из составных чисел прогрессии V0 и простых чисел прогрессии U0;

Пр -- количество пар чисел V0i + U0i, состоящих из простых чисел прогрессий V0 и U0.

Очевидно, что:

П = К = Zpv + Zsv = Zpu + Zsu ; /3/

Zsv = K - Zpv; Zsu= K - Zpu.

Из анализа значений числа N с использованием таблицы простых чисел следует:

-для чисел N ? 116: Zpv> Zsu; Zpu > Zsv;

- для чисел N = 118…136: Zpv=Zsu; Zpu = Zsv;

- для чисел N?138: Zpv<Zsu; Zpu < Zsv.

Составим прогрессии V0 и U0 для произвольно взятых чисел N, разделим их на подпрогрессии, установим значения величин Zpv, Zsv, Zpu, Zsu, Пs/v, Пs/u, Пр и соотношения между ними как для прогрессий V0 и U0 в целом, так и для входящих в них подпрогрессий.

ПРИМЕР 1. N=120; n=0,5N =0,5·120 = 60 -четное число.

В соответствии с зависимостями /1/ и /3/ количество пар чисел V0i + U0i равно:

П = К = 0,25·N=0,25•120 =30.

V0 ={ V01 =[ 1 3 5 7 9 11 13 ] V02 =[ 15 17 19 21 23] V03=[25 27]

U0 ={U01 = [119 117 115 113 111 109 107 ] U02 =[105 103 101 99 97 ] U03=[95 93]

Пр * * * * * *

V04 = [ 29 31 ] V05 = [ 33 35 ] V06= [ 37 39 41 43 45 47 ] V07= [ 49 51 53]

U04= [ 91 89 ] U05= [ 87 85 ] U06= [ 83 81 79 77 75 73 ] U07= [ 71 69 67]

Пр * * * * *

V08 = [ 55 57 59 ] }.

U08 = [ 65 63 61 ] }.

Пр *

Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.

*- пары простых чисел.

Для прогрессий V0 и U0 в целом имеем:

Zpv =17, Zsv =13, Zpv = Zsu, Пs/v =5, Пs/v ? Пs/u ,

Zpu =13, Zsu =17, Zpu = Zsv, Пs/u =1, Пр = 12.

Определим разности:

Rv = Zpv - Пs/v = 17 - 5 = 12;

Ru = Zpu - Пs/u = 13 - 1 = 12.

Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и Пр следует:

Rv =Ru = Пр = 12.

Для подпрогрессий V01 и U01 имеем:

Zpv =6, Zsv =1, Zpv > Zsu, Пs/v =3, Пs/v ? Пs/u,

Zpu =3, Zsu =4, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 3.

Определим разности:

Rv = Zpv - Пs/v = 6 - 3 = 3; Ru = Zpu - Пs/u = 3 - 0 = 3.

Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 3.

Для подпрогрессий V02 и U02 имеем:

Zpv =3, Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v =0, Пs/v = Пs/u = 0,

Zpu =3, Zsu =2, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 3.

Определим разности:

Rv = Zpv - Пs/v = 3 - 0 = 3; Ru = Zpu - Пs/u = 3 - 0 = 3.

Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 3.

Для подпрогрессий V04 и U04 имеем:

Zpv =2, Zsv =0, Zpv > Zsu, Пs/v =1, Пs/v ? Пs/u,

Zpu =1, Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 1.

Определим разности:

Rv = Zpv - Пs/v = 2 - 1 = 1; Ru = Zpu - Пs/u = 1 - 0 = 1.

Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 1.

Для подпрогрессий V06 и U06 имеем:

Zpv =4, Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v =1, Пs/v ? Пs/u,

Zpu =3, Zsu =3, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 3.

Определим разности:

Rv = Zpv - Пs/v = 4 - 1 = 3; Ru = Zpu - Пs/u = 3 - 0 = 3.

Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 3.

Для подпрогрессий V07 и U07 имеем:

Zpv =1, Zsv =2, Zpv = Zsu, Пs/v =0, Пs/v ? Пs/u ,

Zpu =2, Zsu =1, Zpu = Zsv, Пs/u =1, Пр = 1.

Определим разности:

Rv = Zpv - Пs/v = 1 - 0 = 1; Ru = Zpu - Пs/u = 2 - 1 = 1.

Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 1.

Для подпрогрессий V08 и U08 имеем:

Zpv =1, Zsv =2, Zpv < Zsu, Пs/v =0, Пs/v = Пs/u = 0,

Zpu =1, Zsu =2, Zpu < Zsv, Пs/u =0, Пр = 1.

Определим разности:

Rv = Zpv - Пs/v = 1 - 0 = 1; Ru = Zpu - Пs/u = 1 - 0 = 1.

Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 1.

ПРИМЕР 2. N=154; n=0,5N =0,5·154= 77 - нечетное число.

В соответствии с зависимостями /2/ и /3/ количество пар чисел V0i + U0i равно:

П = К=0,5(n+1) = 0,25(N + 2) = 0,25 (154 + 2) = 39.

V0 ={V01= [ 1 3 5 7 9 ] V02= [ 11 13 15 17 19 21 23] »

U0 ={U01= [153 151 149 147 145] U02= [143 141 139 137 135 133 131 ] »

Пр * * * *

V03=[ 25 27 29 31 33 35 37 39] V04=[ 41 43 45 47 49 51 53]

U03=[129 127 125 123 121 119 117 115] U04=[113 111 109 107 105 103 101]

Пр * * *

» V05= [55 57 59 61 63 65 67 69] V06= [ 71 73 ] V07 = [ 75 77 ] }.

» U05= [99 97 95 93 91 89 87 85] U06= [ 83 81 ] U07 = [ 79 77 ] }.

Пр *

Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.

*- пары простых чисел.

Для прогрессий V0 и U0 в целом имеем:

Zpv =21, Zsv =18, Zpv < Zsu, Пs/v =13, Пs/v ? Пs/u ,

Zpu =15, Zsu =24, Zpu < Zsv, Пs/u =7, Пр = 8.

Определим разности:

Rv = Zpv - Пs/v = 21 - 13 = 8; Ru = Zpu - Пs/u = 15 - 7 = 8.

Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 8.

Для подпрогрессий V01 и U01 имеем:

Zpv =4, Zsv =1, Zpv > Zsu, Пs/v =2, Пs/v ? Пs/u ,

Zpu =2, Zsu =3, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 2.

Определим разности:

Rv = Zpv - Пs/v = 4 - 2 = 2; Ru = Zpu - Пs/u = 2 - 0 = 2.

Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 2.

Для подпрогрессий V02 и U02 имеем:

Zpv =5, Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v =3, Пs/v ? Пs/u ,

Zpu =3, Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u =1, Пр = 2.

Определим разности:

Rv = Zpv - Пs/v = 5 - 3 = 2; Ru = Zpu - Пs/u = 3 - 1= 2.

Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 2.

Для подпрогрессий V04 и U04 имеем:

Zpv =4, Zsv =3, Zpv > Zsu, Пs/v =1, Пs/v ? Пs/u ,

Zpu =5, Zsu =2, Zpu > Zsv, Пs/u =2, Пр = 3.

Определим разности:

Rv = Zpv - Пs/v = 4 - 1 = 3;

Ru = Zpu - Пs/u = 5 - 2 = 3.

Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 3.

Для подпрогрессий V06 и U06 имеем:

Zpv =2, Zsv =0, Zpv > Zsu, Пs/v =1, Пs/v ? Пs/u ,

Zpu =1, Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 1.

Определим разности:

Rv = Zpv - Пs/v = 2 - 1 = 1; Ru = Zpu - Пs/u = 1 - 0 = 1.

Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 1.

Из анализа приведенных прогрессий и входящих в их состав подпрогрессий следуют определенные варианты сочетаний величин Zpv, Zsv, Zpu, Zsu , Пs/v, Пs/u, при которых прогрессии и входящие в них подпрогрессии содержат пары простых чисел V0i + U0i , удовлетворяющие условию:

V0i + U0i = N:

Вариант 1: Zpv=Zpu, Zsv=Zsu, Zpv>Zsu, Zpu>Zsv, Пs/v=Пs/u = 0 (подпрогрессия V02 - U02 для числа N =120);

Вариант 2: Zpv=Zpu, Zsv=Zsu, Zpv<Zsu, Zpu<Zsv, Пs/v= Пs/u = 0 (подпрогрессияV08 - U08 для числа N =120);

Вариант 3: Zpv>Zpu, Zsv<Zsu, Zpv>Zsu, Zpu>Zsv, Пs/v>Пs/u (подпрогрессии V01 - U01, V04 - U04, V06 - U06 для числа N =120 и подпрогрессии V01 - U01, V06 - U06 для числа 154);

Вариант 4: Zpv>Zpu, Zsv<Zsu, Zpv=Zsu, Zpu=Zsv, Пs/v>Пs/u (прогрессия V0- U0 для числа N =120);

Вариант 5: Zpv>Zpu, Zsv>Zsu, Zpv>Zsu, Zpu>Zsv, Пs/v>Пs/u (подпрогрессия V02- U02 для числа N =154);

Вариант 6: Zpv<Zpu, Zsv>Zsu, Zpv=Zsu, Zpu=Zsv, Пs/v<Пs/u (подпрогрессия V07- U07 для числа N =120);

Вариант 7: Zpv<Zpu, Zsv>Zsu, Zpv>Zsu, Zpu>Zsv, Пs/v<Пs/u (подпрогрессия V04- U04 для числа N =154);

Вариант 8: Zpv>Zpu, Zsv<Zsu, Zpv<Zsu, Zpu<Zsv, Пs/v>Пs/u (прогрессия V0- U0 для числа N =154).

В рассмотренных вариантах преобладает вариант 3 (в 5 из 12 подпрогрессий). Вероятно, что возможны и другие варианты сочетаний величин Zpv, Zsv, Zpu, Zsu , Пs/v, Пs/u.

Значения количества пар Пp простых чисел для некоторых четных чисел N (количества Пp приведены в скобках рядом с числами N):

80(5), 82(5), 84(8), 86(5), 88(4), 90(10), 120(12), 138(5), 150(13), 154(8), 180(15), 184(8), 222(11), 226(7), 228(13), 336(19), 644(17), 1000(28), 1312(22).

Из анализа приведенных данных следует, что строгой зависимости между значениями четных чисел N и количеством пар Пp простых чисел для них не существует, но прослеживается закономерность, в соответствии с которой с существенным увеличением значений числа N увеличивается количество пар Пp для них.

Из изложенного следует, что любое четное число N>4 равно сумме двух и более пар Пp простых чисел при условии, что эти числа могут быть равны. Примеры:

6=1+5=3+3; 8=1+7=3+5; 10=3+7=5+5; 12=1+11=5+7; 14=1+13=3+11=7+7.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛАБОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА

Слабая гипотеза Гольдбаха формулируется следующим образом: любое нечетное число М, большее семи, представимо в виде суммы трех нечетных простых чисел:

М = A + B + C,

где: A, B и C - простые числа.

При этом:

A ? B ? С

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Обозначим:

A + B =N.

Очевидно, что N - четное число.

Тогда:

M = N + C.

Отсюда:

N = M - C.

Вычтя из любого нечетного числа простое число, получим четное число. Выше при доказательстве сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера доказано, что любое четное число, большее двух, равно сумме одной пары или нескольких пар простых чисел. Следовательно, любое нечетное число М, большее семи, равно:

M = N + C = A + B + С,

где: A, B и C - простые числа.

При этом:

A ? B ? С

Автор: Козий Николай Михайлович, инженер-механик

E-mail: nik_krm@mail.ru

umbolic@gmail.com