Дискретная теория поля
Оглавление
Введение
1. Понятие поверхностного интеграла2. Свойства поверхностного интеграла3. Поток векторного поля через поверхностьЗаключениеСписок литературыВведение
Данная работа посвящена дискретной теории поля.Цель данной работы рассмотреть дискретную теорию поля.Задачи:- Определить понятие поверхностного интеграла.- Рассмотреть основные свойства поверхностных интегралов.- Рассмотреть примеры вычисления поверхностных интегралов.- Рассмотреть поток векторного поля через поверхность, как механический смысл поверхностного интеграла.Методологической и теоретической основой при написании работы послужила учебная литература и труды отечественных и зарубежных авторов.
1.
Понятие поверхностного интеграла
Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на части S1, S2,…, Sn (при этом площадь каждой части тоже обозначим Sn). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z) (Рис. 1).Выберем в каждой части Si точку Mi (xi, yi, zi) и составим интегральную сумму.Если существует конечный предел при этой интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек Mi, то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S и обозначается.Разобьем поверхность S на части S1, S2,…, Sn, выберем в каждой части Si точку Mi(xi, yi, zi), и умножим f(Mi) на площадь Di проекции части Si на плоскость Оху. Если существует конечный предел суммы,не зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек на ней, то он называется поверхностным интегралом второго рода от функции f(M) по выбранной стороне поверхности S и обозначаетсяПодобным образом можно проектировать части поверхности на координатные плоскости Оxz и Оyz. Получим два других поверхностных интеграла 2-го рода: и .Рассмотрев сумму таких интегралов по одной и той же поверхности соответственно от функций P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), получим поверхностный интеграл второго рода общего вида:Свойства поверхностного интеграла.
Рассмотрим свойства поверхностных интегралов первого рода:1. , где S - площадь поверхности.2. , k=const3. 4. Если поверхность разделена на части S1 и S2, то5. Если , то 6. 7. Теорема о среднем.Если функция F(x, y, z) непрерывна в любой точке поверхности S, то существует точка (a, b, g) такая, чтоS - площадь поверхности.Какова бы ни была функция f(x, у, z), определенная в точках поверхности (S) и ограниченная:,имеет место равенствов предположении существования одного из этих интегралов (что влечет за собой и существование другого).Таким образом, для сведения поверхностного интеграла первого типа к обыкновенному двойному нужно лишь заменить координаты х, у, z их выражениями через параметры, а элемент площади dS -- его выражением в криволинейных координатах.Рассмотрим несколько примеров вычисления поверхностных интегралов.Пример 1. Вычислить интеграл по верхней стороне полусферыРешение.Преобразуем уравнение поверхности к виду:Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг, уравнение которого:Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:Пример 2. Вычислить поверхностный интеграл распространенный на поверхность (S) эллипсоида:.Решение.Если воспользоваться представлением эллипсоида:, , ,то элемент поверхности представиться в виде.С другой стороны, подынтегральная функция.По соображениям симметрии вычисление приводится к первому октану, так что
Поток векторного поля через поверхность.
По определению.Каждое слагаемое суммы (*)может быть истолковано механически следующим образом: это произведение равно объему цилиндра с основанием ,и высотой . Если вектор F есть скорость жидкости, протекающей через поверхность а, то произведение (*) равно количеству жидкости, протекающей через площадку ; за единицу времени в направлении вектора (Рис. 3).Выражение дает общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность в положительном направлении, если под вектором F подразумевать вектор скорости течения жидкости в данной точке. Поэтому поверхностный интеграл называется потоком векторного поля F через поверхность .Из определения поверхностного интеграла следует, что если поверхность разбить на части , , ..., , тоВыразим единичный вектор я через его проекции на оси координат:.Подставляя в интеграл выражения векторов F и n через их проекции, получим:Произведение есть проекция площадки на плоскость Оху; аналогичное утверждение справедливо и для произведений:где , , проекции площадки на соответствующие координатные плоскости.На основании этого интеграл записывают также в другой форме:Пример.Найти поток векторного поля через часть плоскости ограниченную координатными плоскостями (нормаль к плоскости образует острый угол с осью Oz).Решение.Проекцией данной поверхности на координатную плоскость Оху является треугольник с вершинами в точках А(0;0), В(0;1), С(?; 0). Найдем координаты единичной нормали к плоскости:Вычислим соответствующий поверхностный интеграл:Заключение
В данной работе была рассмотрена дискретная теория поля. Вначале было введено понятие поверхностного интеграла. Поверхностный интеграл первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S обозначается.Поверхностный интеграл второго рода общего вида:Далее рассматриваются свойства поверхностного интеграла первого рода. Поверхностный интеграл первого типа сводиться к обыкновенному двойному. Рассмотрены примеры вычисления поверхностных интегралов.Рассмотрен механический смысл интеграла, откуда следует, что поверхностный интеграл есть поток векторного поля F через поверхность . Приведен пример вычисления потока векторного поля через часть плоскости.
Список литературы
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: "Наука", 1976. - 544 с.2. Титаренко В.И., Выск Н.Д. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля. М.: МАТИ, 2006. - 410 с.3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М.: "Наука", 1969. - 656 с.4. http://matclub.ru/lec3/lec42.htm5. http://ftoe.ru/list8/du43.htm